2020-2021学年湖北省荆州市某校高一（下）期中考试数学试卷

这是一份2020-2021学年湖北省荆州市某校高一（下）期中考试数学试卷，共22页。试卷主要包含了选择题)，多选题)，填空题，解答题)等内容，欢迎下载使用。
1. 已知向量a→=(x, 1)，b→=(4, x)，若向量a→//b→且方向相同时，x等于( )
A.±2B.−2C.2D.0
2. 设非零向量a→,b→,c→满足|a→|=|b→|=|c→|，a→+b→=c→，则a→与b→的夹角θ为（ ）
A.150∘B.120∘C.60∘D.30∘
3. 在梯形ABCD中，∠ABC=π2，AD // BC，BC=2AD=2AB=2，将梯形ABCD绕AD所在的直线旋转一周而形成的曲面所围成的几何体的体积为( )
A.2π3B.4π3C.5π3D.2π
4. 在△ABC中，若b=3，c=3，B=30∘，则a等于( )
A.3B.23或3C.33D.43或33
5. 如图，四边形ABCD是正方形，延长CD至E，使得DE=CD，若点P为BC的中点，且AP→=λAB→+μAE→，则λ+μ=( )

A.3B.2C.1D.52
6. 如图，四棱锥S−ABCD的所有的棱长都等于2，E是SA的中点，过C，D，E三点的平面与SB交于点F，则四边形DEFC的周长为( )

A.3+23B.3+3C.2+3D.2+23
7. 若G是△ABC的重心，a，b，c分别是角A，B，C的对边，且aGA→+bGB→+33cGC→=0→，则角A=( )
A.90∘B.60∘C.45∘D.30∘

8. 如图，在棱长为1的正方体ABCD−A1B1C1D1中，M，N分别是A1D1，A1B1的中点，过直线BD的平面α//平面AMN，则平面α截该正方体所得截面的面积为( )

A.2B.98C.3D.62
二、多选题)
9. 若复数z=21+i，其中i为虚数单位，则下列结论正确的是( )
A.z在复平面内对应的点为1,1 B.|z|=2
C.z2为纯虚数 D.z的共轭复数为−1−i
10. 在△ABC中， sinA+B+sinA−B=3sin2B，若C=π3，则ab等于( )
A.12B.13C.2D.3
11. 空间四边形ABCD中，AB=CD，且异面直线AB和CD成30∘角，E，F分别是边BC和AD的中点，则异面直线EF和AB所成角可以是( )
A.15∘B.30∘C.45∘D.75∘
12. 已知三棱锥S−ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC=2，则( )
A.三棱锥S−ABC的体积为26 B.三棱锥S−ABC的体积为23
C.三棱锥O−ABC的体积为212 D.三棱锥O−ABC的体积为223
三、填空题
13. 设i是虚数单位，z是复数z的共轭复数，若z⋅zi+2=2z，则z=________.
14. A是△BCD所在平面外一点，M，N，P分别是△ABC， △ACD， △ABD的重心，且S△BCD=33，则△MNP的面积为________.
15. 如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是一个底角为45∘、腰和上底长均为1的等腰梯形，则这个平面图形的面积是________.


16. 设函数f(x)=sin2x+3sinxcsx+32．若a，b，c分别是△ABC的内角A，B，C所对的边，a=23，c=4，f(A)是函数f(x)在0,π2上的最大值，则b的值是________.
四、解答题)
17. 已知△ABC的边AB=3 ，AC=22，且∠BAC=45∘．
(1)求BC边上的高AD的长． (2)求BC边上的中线AM的长．

18. 已知角A，B，C是△ABC的内角，a，b，c分别是其对边长，向量m→=(23sinA2,cs2A2)，n→=(csA2,−2)，m→⊥n→．
(1)求角A的大小； (2)若a=2，csB=33，求b的长．

19. 如图，PD⊥平面ABCD，四边形ABCD是矩形，PD=DC=2，BC=22．

(1)求PB与平面ADC所成的角的大小．

求异面直线PC，BD所成角正弦值．

20. 已知向量a→=(3csx，csx)，b→=(0, sinx)，c→=(sinx, csx)，d→=(sinx, sinx)．
(1)当x=π4时，求向量a→与b→的夹角θ；

(2)当x∈[0,π2]时，求c→⋅d→的最大值．

21. 如图，四边形AOCB中， OA→⋅OC→=0，AC=2，BC=1．

(1)求△AOC面积S的最小值．

(2)若AB=5，设∠ACO=θ，将OB长度用θ表示，并求其取值范围．

22. 如图，在三棱锥P−ABC中，AB=BC=22，PA=PB=PC=AC=4，O为AC的中点．

(1)证明：PO⊥平面ABC；

(2)若点M在棱BC上，且MC=2MB，求点C到平面POM的距离．
参考答案与试题解析
2020-2021学年湖北省荆州市某校高一（下）期中考试数学试卷
一、选择题
1.
【答案】
C
【考点】
向量的共线定理
【解析】
利用向量共线定理即可得出．
【解答】
解：∵ a→ // b→，∴ x2−4=0，解得x=±2．
当x=−2时，b→=−2a→，满足向量a→和b→方向相反，应舍去．
当x=2时，b→=2a→，满足向量a→和b→方向相同．
因此，实数x的值是2．
故选C．
2.
【答案】
B
【考点】
数量积表示两个向量的夹角
【解析】
此题暂无解析
【解答】
解：由|a→|=|b→|=|c→|，且a→+b→=c→，
得|a→+b→|=|b→|，
则a→+b→2=b→2，即a→2+b→2+2a→⋅b→=b→2，
故2a→⋅b→=−a→2，
则2|a→|⋅|b→|⋅csθ=−|a→|2，故 csθ=−|a→|22|a→|⋅|b→|=−12.
又 θ∈0,π ，所以θ=120∘．
故选B.
3.
【答案】
C
【考点】
柱体、锥体、台体的体积计算
旋转体（圆柱、圆锥、圆台）
【解析】
画出几何体的直观图，利用已知条件，求解几何体的体积即可．
【解答】
解：由题意可知几何体的直观图如图：旋转体是底面半径为1，高为2的圆柱，挖去一个相同底面高为1的倒圆锥，
几何体的体积为：12π⋅2−13×12π×1=5π3．
故选C．
4.
【答案】
B
【考点】
余弦定理
【解析】
根据余弦定理可得结果．
【解答】
解：∵b=3，c=3，B=30∘，
根据余弦定理得，b2=a2+c2−2accsB，
∴(3)2=a2+32−6a⋅cs30∘，
整理得a2−33a+6=0，
解得a=23或3．
故选B．
5.
【答案】
B
【考点】
向量在几何中的应用
平面向量的基本定理及其意义
【解析】
建立如图所示的直角坐标系，设正方形的边长为1，可以得到AP→=λAB→+μAE→的坐标表示，进而得到答案．
【解答】
解：由题意，设正方形的边长为1，
建立坐标系如图，
则B1,0， E−1,1，
∴ AB→=1,0， AE→=−1,1，
∵ AP→=λAB→+μAE→=λ−μ,μ，
又∵ P式BC的中点，
∴ AP→=1,12，
∴ λ−μ=1，μ=12，
解得：μ=12，λ=32，
∴ λ+μ=2.
故选B．
6.
【答案】
A
【考点】
直线与平面平行的判定
两条直线平行的判定
棱柱的结构特征
棱锥的结构特征
【解析】
判断四边形ABCD是菱形，四边形DEFC是等腰梯形，由此求出它的周长大小．
【解答】
解：四棱锥S−ABCD中，AB=BC=CD=DA=2，
所以四边形ABCD是菱形，
所以AB // CD.
又AB⊂平面SAB，CD⊄平面SAB，
所以CD // 平面SAB.
又平面CDEF∩平面SAB=EF，
所以CD // EF，
所以EF // AB.
因为E是SA的中点，所以F是SB的中点，
所以EF=12AB=1；
△SBC中，SB=BC=SC=2，所以CF=32BC=3；
同理DE=3，
所以四边形DEFC的周长为：
CD+DE+EF+FC=2+3+1+3=3+23．
故选A.
7.
【答案】
D
【考点】
三角形五心
余弦定理
平面向量的基本定理及其意义
零向量
【解析】
根据三角形重心的性质得到GA→+GB→+GC→=0→，可得CG→=GA→+GB→．由已知向量等式移项化简，可得CG→=3acGA→+3bcGB→，根据平面向量基本定理得到3ac=3bc=1，从而可得a=b=33c，最后根据余弦定理加以计算，可得角A的大小．
【解答】
解：∵ G是△ABC的重心，
∴ GA→+GB→+GC→=0→，可得CG→=GA→+GB→．
又∵ aGA→+bGB→+33cGC→=0→，
∴ 移项化简，得CG→=3acGA→+3bcGB→．
由平面向量基本定理，得3ac=3bc=1，
可得a=b=33c.
设c=3，可得a=b=1，
由余弦定理得csA=b2+c2−a22bc=1+3−12×1×3=32，
∵ A为三角形的内角，得0∘