初中数学浙教版九年级上册3.3 垂径定理课时练习

     浙教版数学九年级上册

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一、单选题

1．如图是某个球放进盒子内的截面图，球的一部分露出盒子外，已知⊙O交矩形ABCD的边AD于点E，F，已知AB＝EF＝2，则球的半径长为（　　） 

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】解：由题意得：⊙O与BC相切，记切点为G，作直线OG，分别交AD、劣弧 于点H、I，连接OF，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴AD BC，

∵IG⊥BC，

∴IG⊥AD，

∴FH＝ EF＝1，

∵四边形ABCD是矩形，

∴HA⊥AB，

∴AB⊥BG，

∵IG⊥BC，

∴四边形ABGH是矩形，

∴GH=AB=2,

设⊙O的半径为r，则OH＝2﹣r，

在Rt△OFH中，由勾股定理得：

，

解得：r＝ ，

即球的半径长为 ，

2．如图，⊙O半径为5，弦AB长为8，M是弦AB上一个动点，则线段OM的最小值为（　　） 

A．2 B．3 C．4 D．5

【答案】B

【解析】根据垂线段最短可知，当 时，线段OM的值最小

此时，连接OA，由垂径定理可知，

在 由勾股定理得

3．下列说法不正确的是（　　） 

A．圆是轴对称图形，它有无数条对称轴

B．圆的半径、弦长的一半、弦上的弦心距能组成一直角三角形，且圆的半径是此直角三角形的斜边

C．弦长相等，则弦所对的弦心距也相等

D．垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧

【答案】C

【解析】解：A、圆是轴对称图形，过圆心的每条直线都是圆的对称轴，故A正确； 

B、若圆的半径、弦长的一半、弦上的弦心距能组成一直角三角形，则此弦一定不是直径，由垂径定理知，B正确；

C、在同圆或等圆中，弦长相等，则弦所对的弦心距才相等；故C错误；

D、此结论是垂径定理，故D正确；

4．如图，在 中，点 在弦 上移动，连接 过点 作 交 于点 .若 则 的最大值是（　　）

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】解：连接OD，如图，

∵CD⊥OC，

∴∠DCO=90∘，

∴CD= ，

当OC的值最小时，CD的值最大，

而OC⊥AB时，OC最小，此时D. B两点重合，

∴CD=CB= AB= ×2=1.

即CD的最大值为1.

5．如图，AB是⊙O的直径，AB⊥CD, AB=10,CD=8, 则BE为（　　）
 

A．3 B．2 C．5 D．4

【答案】B

【解析】如图，连接OC．

∵AB是⊙O的直径，AB=10，
∴OC=OB= AB=5；
又∵AB⊥CD于E，CD=8，
∴CE= CD=4（垂径定理)；
在Rt△COE中，OE=3（勾股定理)，
∴BE=OB-OE=5-3=2，即BE=2；

6．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（图中的弧AB），点O是这段弧的圆心，C是弧AB上一点，OC⊥AB，垂足为D．若这段弯路的半径是100m，CD=20m，则A、B两点的直线距离是（　　）

A．60m B．80m C．100m D．120m

【答案】D

【解析】解：∵OC⊥AB，

∴AB=2AD=2BD，

∵OC=100m，CD=20m，

∴OD=80m，

根据勾股定理可得：OA2=BD2+AD2，

即1002=802+AD2，

解得：AD=60，

∴AB=2AD=120m．

7．如图，已知圆O的半径为10，AB⊥CD，垂足为P，且AB＝CD＝16，则OP的长为（　　） 

A．6 B．6  C．8 D．8

【答案】B

【解析】作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OP，OB，OD，

∵AB=CD=16，

∴BM=DN=8，

∴OM=ON= =6，

∵AB⊥CD，

∴∠DPB=90°，

∵OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，

∴∠OMP=∠ONP=90°

∴四边形MONP是矩形，

∵OM=ON，

∴四边形MONP是正方形，

∴OP= ．

8．如图所示，圆O的弦AB垂直平分半径OC，则四边形OACB（　　）
 

A．是正方形 B．是长方形

C．是菱形 D．以上答案都不对

【答案】C

【解析】根据垂径定理和特殊四边形的判定方法求解．
由垂径定理知，OC垂直平分AB，即OC与AB互相垂直平分，所以四边形OACB是菱形．

二、填空题

9．半径为3的圆中，一条弦长为4，则圆心到这条弦的距离是　     　．  

【答案】

【解析】过O作OC⊥AB于C，连接OA，

则由垂径定理得：AC=BC= AB= ×4=2，

在Rt△AOC中，由勾股定理得：OC= = = ，即d= ，

10．如图，点P为弦AB上的一点，连接OP，过点P作PC⊥OP，PC交☉O于C.若AP=8，PB=2，则PC的长是　     　

【答案】4

【解析】解：延长CP交⊙O于点D，

∵PC⊥OP，

∴PC=PD，

∵PC•PD=PB•PA，

∴PC2=PB•PA，

∵AP=8，PB=2，

∴PC2=16，

∴PC的长为：4

11．如图，小丽荡秋千，秋千链子的长OA为2.5米，秋千向两边摆动的角度相同，摆动的水平距离AB为3米，则秋千摆至最高位置时与最低价位置时的高度之差（即CD）为　     　米． 

【答案】0.5

【解析】解：∵点C为弧AB的中点，O为圆心 

由垂径定理知：AB⊥OC，AD=BD= AB=1.5米，

在Rt△OAD中，根据勾股定理，OD= =2（米），

∴CD=OC﹣OD=2.5﹣2=0.5（米）；

12．将五个边长为2的正方形按如图所示放置，若A， B， C， D四点恰好在圆上，则这个圆的面积为 　     　.（结果保留π）

【答案】

【解析】解：作AB的垂直平分线交圆O于点E，F，交AB于点G，DC于点M，取EF的中点O，连接AO，DO，

∵AB=2，DC=6，GM=6
∴AE=AB=1，DM=DC=3，   
设OG=x，则OM=6-x，
在Rt△AOE和Rt△DOM中
AE2+OE2=OM2+DM2
∴1+x2=32+（6-x）2
解之：
∴
∴这个圆的面积为.
13．如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，AB⊥BC，AB=2cm，CD=4cm．以BC上一点O为圆心的圆经过A、D两点，且∠AOD=90°，则圆心O到弦AD的距离是　     　 cm．

【答案】

【解析】解：如图，作AE⊥CD，垂足为E，OF⊥AD，垂足为F，

则四边形AECB是矩形，

CE=AB=2cm，DE=CD﹣CE=4﹣2=2cm，

∵∠AOD=90°，AO=OD，

所以△AOD是等腰直角三角形，

AO=OD，∠OAD=∠ADO=45°，BO=CD，

∵AB∥CD，

∴∠BAD+∠ADC=180°

∴∠ODC+∠OAB=90°，

∵∠ODC+∠DOC=90°，

∴∠DOC=∠BAO，

∵∠B=∠C=90°

∴△ABO≌△OCD，

∴OC=AB=2cm，OB=CD=4cm，BC=BO+OC=AE=6cm，

由勾股定理知，AD2=AE2+DE2，

得AD=2cm，

∴AO=OD=2cm，

S△AOD=AO•DO=AD•OF，

∴OF=cm．

14．如图，AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，则OH的长为　     　

【答案】3

【解析】解： AB为⊙O的直径，弦CD⊥AB于点H，若AB=10，CD=8，

在中，

三、解答题

15．如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB，垂足为E，如果AB=20，CD=16，求线段OE的长．

【答案】解：连接OD，如图所示：

∵弦CD⊥AB，AB为圆O的直径，∴E为CD的中点，

又CD=16，∴CE=DE= CD=8，又OD= AB=10，

∵CD⊥AB，∴∠OED=90°，

在Rt△ODE中，DE=8，OD=10，

根据勾股定理得：OE2+DE2=OD2，∴OE= =6

【解析】连接OD，利用垂径定理，可求出DE的长，再求出OD的长，然后利用勾股定理求出OE的长。

16．如图，已知AB是⊙O的弦，点C在线段AB上，OC=AC=4，CB=8．
求⊙O的半径．
 

【答案】联结OA， 过 点O作OD⊥AB， 垂足为点D．
∵AC=4，CB=8，∴AB=12．
∵OD⊥AB，∴AD=DB=6，
∴CH=2．
在中，，OC="4" ，CH=2，
∴．
在中，，
．
∴⊙O的半径是．
 

【解析】连接OA，过点O作OD⊥AB，垂足为点D，根据垂径定理求出AD，求出CD，根据勾股定理求出OD，在△ADO中根据勾股定理求出OA即可．

17．如图，在⊙O中   ，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD． 

【答案】解：延长AD交⊙O于E，

∵OC⊥AD，

∴  ，AE=2AD，

∵ ，

∴ ，

∴AB=AE，

∴AB=2AD

【解析】 延长AD交⊙O于E，根据垂径定理得出   ，AE=2AD，又   故 ，根据等弧所对的弦相等得出 AB=AE，故 AB=2AD。 

18．有一辆载有集装箱的卡车，高2.5米，宽1.6米，要开进如图所示的上边是半圆，下边是长方形的桥洞，已知半圆的直径为2米，长方形的另一条边长是2.3米，这辆卡车能否通过此桥洞？通过计算说明理由.

【答案】解：如图，

设M，N为卡车的宽度，
过M，N作AB的垂线交半圆于点C，D，过O作OE⊥CD，E为垂足，
则CD=MN=1.6，AB=2，
∴CE=DE=0.8，
∵OC=OA=1，
在Rt△OCE中，OE=，
∴CM=2.3+0.6=2.9>2.5，
∴这辆卡车能通过.

【解析】首先根据题意画出图形，根据勾股定理求出OE的长度，从而求出CM的长度，判断CM的长度与2.5的大小关系，如果CM大于2.5可以通过，否则不能通过，即可求解.