高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练2.9《函数模型及其应用》(教师版)

这是一份高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练2.9《函数模型及其应用》(教师版)，共9页。试卷主要包含了某电信公司推出两种手机收费方式等内容，欢迎下载使用。
课时规范练A组　基础对点练1．下列函数中随x的增大而增长速度最快的是(　　)A．v＝·ex　　　　　 B．v＝100ln xC．v＝x100  D．v＝100×2x答案：A2．(开封质检)用长度为24(单位：米)的材料围成一矩形场地，中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为(　　)A．3米  B．4米C．6米  D．12米解析：设隔墙的长为x(0＜x＜6)米，矩形的面积为y平方米，则y＝x×＝2x(6－x)＝－2(x－3)2＋18，所以当x＝3时，y取得最大值．答案：A3．某商场销售A型商品，已知该商品的进价是每件3元，且销售单价与日均销售量的关系如表所示：销售单价/元45678910日均销售量/件400360320280240200160请根据以上数据分析，要使该商品的日均销售利润最大，则此商品的定价(单位：元/件)应为(　　)A．4  B．5.5C．8.5  D．10解析：由题意可设定价为x元/件，利润为y元，则y＝(x－3)[400－40(x－4)]＝40(－x2＋17x－42)，故当x＝8.5时，y有最大值，故选C.答案：C4．(济南模拟)某种动物繁殖量y只与时间x年的关系为y＝alog3(x＋1)，设这种动物第2年有100只，到第8年它们将发展到(　　)A．200只  B．300只C．400只  D．500只解析：∵繁殖数量y只与时间x年的关系为y＝alog3(x＋1)，这种动物第2年有100只，∴100＝alog3(2＋1)，∴a＝100，∴y＝100log3(x＋1)，∴当x＝8时，y＝100log3(8＋1)＝100×2＝200.故选A.答案：A5.某厂有许多形状为直角梯形的铁皮边角料，如图，为降  低消耗，开源节流，现要从这些边角料上截取矩形铁片  (如图中阴影部分)备用，当截取的矩形面积最大时，矩形两边长x，y应为(　　)A．x＝15，y＝12  B．x＝12，y＝15C．x＝14，y＝10  D．x＝10，y＝14解析：由三角形相似得＝，得x＝(24－y)，由0＜x≤20得，8≤y＜24，所以S＝xy＝－(y－12)2＋180，所以当y＝12时，S有最大值，此时x＝15.答案：A6．某电视新产品投放市场后第一个月销售100台，第二个月销售200台，第三个月销售400台，第四个月销售790台，则下列函数模型中能较好地反映销量y 与投放市场的月数x之间关系的是(　　)A．y＝100x  B．y＝50x2－50x＋100C．y＝50×2x  D．y＝100log2x＋100解析：根据函数模型的增长差异和题目中的数据可知，应为指数型函数模型，代入数据验证即可得．答案：C7．(南昌模拟)某电信公司推出两种手机收费方式：A种方式是月租20元，B种方式是月租0元．一个月的本地网内通话时间t(分钟)与电话费S(元)的函数关系如图所示，当通话150分钟时，这两种方式的电话费相差__________．解析：依题意可设SA(t)＝20＋kt，SB(t)＝mt.又SA(100)＝SB(100)，∴100k＋20＝100m，得k－m＝－0.2，于是SA(150)－SB(150)＝20＋150k－150m＝20＋150×(－0.2)＝－10，即两种方式的电话费相差10元．答案：10元8．(唐山模拟)某人计划购买一辆A型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车一年的保险费、汽油费、年检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率 约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，试问，大约使用________年后，花费在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元？解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元．依题意可得，14.4(1－0.9x)＋2.4x＝14.4.化简得：x－6×0.9x＝0，令f(x)＝x－6×0.9x.因为f(3)＝－1.374＜0，f(4)＝0.063 4＞0，所以函数f(x)在(3,4)上应有一个零点．故大约使用4年后，花费在该车上的费用达到14.4万元．答案：49．一片森林原来面积为a，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐到面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.(1)求每年砍伐面积的百分比；(2)到今年为止，该森林已砍伐了多少年？10．某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的 全部零件的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不低于51元．(1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元？(2)设一次订购量为x个，零件的实际出厂单价为p元，写出函数p＝f(x)的表达式；(3)当销售商一次订购多少个时，该厂获得的利润为6 000元？( 工厂售出一个零件的利润＝实际出厂单价－成本)解析：(1)设每个零件的实际出厂价格恰好降为51元时，一次订购量为x0个，则x0＝100＋＝550(个)，因此，当一次订购量为550个时，每个零件的实际出厂价格恰好降为51元．(2)当0≤x≤100时，p＝60；当100＜x＜550时，p＝60－0.02(x－100)＝62－；当x≥550时，p＝51.所以p＝(3)设销售商的一次订购量为x个时，工厂获得的利润为L元，则L＝(p－40)x＝当0≤x≤100时，L≤2 000；当x≥550时，L≥6 050；当100＜x＜550时，L＝22x－.由解得x＝500.B组　能力提升练11．世界人口在过去40年翻了一番，则每年人口平均增长率约是(参考数据lg 2≈0.301 0,100.007 5≈1.017)(　　)A．1.5%  B．1.6%C．1.7%  D．1.8%解析：由题意得(1＋x)40＝2，∴40lg(1＋x)＝lg 2，∴lg(1＋x)≈0.007 5，∴1＋x＝100.007 5，∴x≈0.017＝1.7%.故选C.答案：C12．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为 q(x)＝则当该服装厂所获效益最大时，x＝(　　)A．20  B．60C．80  D．40解析：设效益为f(x)则f(x)＝100xq(x)＝当0＜x≤20时，f(x)＝＝126 000－，f(x)在区间(0,20]上单调递增，所以当x＝20时，f(x)有最大值120 000.当20＜x≤180时，f(x)＝9 000x－300·x，则f′(x)＝9 000－450·，令f′(x)＝0，∴x＝80.当20＜x＜80时，f′(x)＞0，f(x)单调递增，当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)单调递减，所以当x＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.故选C.答案：C13．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次性购物付款总额：(1)如果不超过200元，则不给予优惠．(2)如果超过200元但不超过500元，则按标价给予9折优惠．(3)如果超过500元，则500元按第(2)条给予优惠，剩余部分给予7折优惠．某人单独购买A，B商品分别付款100元和450元，假设他一次性购买A，B两件商品，则应付款是________元．解析：设商品总额为x元，应付金额为y元，则y＝令0.9x＝450，得x＝500，则0.7×(500＋100)＋100＝520(元)．答案：52014．(沈阳模拟)一个容器装有细沙a cm3，细沙从容器底部一个细微的小孔慢慢地匀速漏出，t min后剩余的细沙量为y＝ae－bt(cm3)，经过8 min后发现容器内还有一半的沙子，则再经过________ min，容器中的沙子只有开始时的八分之一．解析：依题意有a·e－b×8＝a，所以b＝，所以y＝a·e－t.若容器中的沙子只有开始时的八分之一，则有a·e－t＝a，解得t＝24，所以再经过的时间为24－8＝16 min.答案：1615．随着中国一带一路的深入发展，中国某陶瓷厂为了适应发展，制定了以下生产计划，每天生产陶瓷的固定成本为14 000元，每生产一件产品，成本增加 210元．已知该产品的日销售量f(x)(单位：件)与产量x(单位：件)之间的关系式为f(x)＝，每件产品的售价g(x)(单位：元)与产量x之间的关系式为g(x)＝.(1)写出该陶瓷厂的日销售利润Q(x)(单位：元)与产量x之间的关系式；(2)若要使得日销售利润最大，则该陶瓷厂每天应生产多少件产品，并求出最大利润．解析：(1)设总成本为c(x)(单位：元)则c(x)＝14 000＋210x，所以日销售利润Q(x)＝f(x)g(x)－c(x)＝(2)由(1)知，当0≤x≤400时，Q′(x)＝－x2＋x－210.令Q′(x)＝0，解得x＝100或x＝700(舍去)．易知当x∈[0,100)时，Q′(x)＜0；当x∈(100,400]时，Q′(x)＞0.所以Q(x)在区间[0,100)上单调递减，在区间(100,400]上单调递增．因为Q(0)＝－14 000，Q(400)＝30 000，所以Q(x)在x＝400时取到最大值，且最大值为30 000.当400＜x＜500时，Q(x)＝－x2＋834x－143 600.当x＝＝417时，Q(x)取得最大值，最大值为Q(x)max＝－4172＋834×417－143 600＝30 289.综上所述，若要使得日销售利润最大，则该陶瓷厂每天应生产417件产品，其最大利润为30 289元．16．(湖北八校联考)已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a元时，生产x(x＞0)件产品的销 售收入是R(x)＝－x2＋500x(元)，P(x)为每天生产x件产品的平均利润(平均利润＝)．销售商从工厂以每件a元进货后，又以每件b元销售，且b＝a＋λ(c－a)，其中c为最高限价(a＜b＜c)，λ为销售乐观系数，据市场调查，λ由当b－a是c－b，c－a的比例中项时来确定．(1)每天生产量x为多少时，平均利润P(x)取得最大值？并求P(x)的最大值；(2)求乐观系数λ的值；(3)若c＝600，当厂家平均利润最大时，求a与b的值．解析：(1)依题意设总利润为L(x)，则L(x)＝－x2＋500x－100x－40 000＝－x2＋400x－40 000(x＞0)，∴P(x)＝＝－x－＋400≤－200＋400＝200，当且仅当x＝，即x＝400时等号成立．故当每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元．(2)由b＝a＋λ(c－a)，得λ＝.∵b－a是c－b，c－a的比例中项，∴(b－a)2＝(c－b)(c－a)，两边同时除以(b－a)2，得1＝·＝(－1)，∴1＝(－1)·，解得λ＝或λ＝(舍去)．故乐观系数λ的值为.(3)∵厂家平均利润最大，∴a＝＋100＋P(x)＝＋100＋200＝400.由b＝a＋λ(c－a)，结合(2)可得b－a＝λ(c－a)＝100(－1)，∴b＝100(＋3)．故a与b的值分别为400,100(＋3)．