高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练2.11.2《导数与函数的极值、最值》(教师版)

课时规范练

A组　基础对点练

1．设a∈R，若函数y＝ex＋ax，x∈R有大于零的极值点，则(　　)

A．a＜－1　　　　　　　　 B．a＞－1

C．a＞－  D．a＜－

解析：∵y＝ex＋ax，∴y′＝ex＋a.

∵函数y＝ex＋ax有大于零的极值点，

则方程y′＝ex＋a＝0有大于零的解，

∵x＞0时，－ex＜－1，∴a＝－ex＜－1.选A.

答案：A

2．已知函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，则f(2)等于(　　)

A．11或18  B．11

C．18  D．17或18

解析：∵函数f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1处有极值10，∴f(1)＝10，且f′(1)＝0，f′(x)＝3x2＋2ax＋b，

即解得或

而当时，f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2，x∈(－∞，1)，f′(x)＞0，x∈(1，＋∞)，f′(x)＞0，

故舍去．

∴f(x)＝x3＋4x2－11x＋16，∴f(2)＝18.选C.

答案：C

3．(岳阳模拟)下列函数中，既是奇函数又存在极值的是(　　)

A．y＝x3　　　　　　　 B．y＝ln(－x)

C．y＝xe－x  D．y＝x＋

解析：A、B为单调函数，不存在极值，C不是奇函数，故选D.

答案：D

4．若a＞0，b＞0，且函数f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2在x＝1处有极值，若t＝ab，则t的最大值为(　　)

A．2  B．3

C．6  D．9

解析：∵f(x)＝4x3－ax2－2bx＋2，∴f′(x)＝12x2－2ax－2b，又∵f(x)在x＝1处有极值，∴f′(1)＝12－2a－2b＝0⇒a＋b＝6，∵a＞0，b＞0，a＋b≥2， ∴ab≤9，当且仅当a＝b＝3时等号成立．故选D.

答案：D

5．已知f(x)＝2x3－6x2＋m(m为常数)在[－2,2]上有最大值3，那么此函数在[－2,2]上的最小值是(　　)

A．－37  B．－29

C．－5  D．以上都不对

解析：f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)，

所以f(x)在[－2,0]上单调递增，在(0,2]上单调递减．

所以x＝0为极大值点，也为最大值点．

所以f(0)＝m＝3，所以m＝3.所以f(－2)＝－37，f(2)＝－5.

所以最小值是－37.

答案：A

6．设函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c∈R)．若x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，则下列图象不可能为y＝f(x)图象的是(　　)

解析：因为[f(x)ex]′＝f′(x)ex＋f(x)(ex)′＝[f(x)＋f′(x)]ex，且x＝－1为函数f(x)ex的一个极值点，所以f(－1)＋f′(－1)＝0；选项D中，f(－1)＞0，f′(－ 1)＞0，不满足f′(－1)＋f(－1)＝0.

答案：D

7．函数y＝2x－的极大值是________．

解析：y′＝2＋，令y′＝0，得x＝－1.

当x＜－1时，y′＞0；当－1＜x＜0时，y′＜0.当x＞0，y′＞0，

所以当x＝－1时，y取极大值－3.

答案：－3

8．已知函数y＝f(x)＝x3＋3ax2＋3bx＋c在x＝2处有极值，其图象在x＝1处的切线平行于直线6x＋2y＋5＝0，则f(x)的极大值与极小值之差为________．

解析：因为y′＝3x2＋6ax＋3b，

⇒

所以y′＝3x2－6x，令3x2－6x＝0，则x＝0或x＝2.

所以f(x)极大值－f(x)极小值＝f(0)－f(2)＝4.

答案：4

9．已知函数f(x)＝x3＋mx2＋(m＋6)x＋1既存在极大值又存在极小值，则实数m的取值范围是________．

解析：因为f′(x)＝3x2＋2mx＋(m＋6)，所以Δ＝4m2－4×3(m＋6)＞0，解得m＞6或m＜－3，所以实数m的取值范围是(－∞，－3)∪(6，＋∞)．

答案：(－∞，－3)∪(6，＋∞)

10．已知函数f(x)＝ex(ax＋b)－x2－4x，曲线y＝f(x)在点(0，f(0))处的切线方程为y＝4x＋4.

(1)求a，b的值；

(2)讨论f(x)的单调性，并求f(x)的极大值．

解析：(1)f′(x)＝ex(ax＋a＋b)－2x－4.

由已知得f(0)＝4，f′(0)＝4，故b＝4，a＋b＝8.

从而a＝4，b＝4.

(2)由(1)知f(x)＝4ex(x＋1)－x2－4x，

f′(x)＝4ex(x＋2)－2x－4＝4(x＋2).

令f′(x)＝0，得x＝－ln 2或x＝－2.

从而当x∈(－∞，－2)∪(－ln 2，＋∞)时，f′(x)＞0；

当x∈(－2，－ln 2)时，f′(x)＜0.

故f(x)在(－∞，－2)，(－ln 2，＋∞)上单调递增，在(－2，－ln 2)上单调递减．

当x＝－2时，函数f(x)取得极大值，极大值为f(－2)＝4(1－e－2)．

B组　能力提升练

11．已知e为自然对数的底数，设函数f(x)＝(ex－1)(x－1)k(k＝1,2)，则(　　)

A．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极小值

B．当k＝1时，f(x)在x＝1处取到极大值

C．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极小值

D．当k＝2时，f(x)在x＝1处取到极大值

解析：当k＝1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)，0,1是函数f(x)的零点．当0＜x＜1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)＜0，当x＞1时，f(x)＝(ex－1)(x－1)＞0,1不会是极值 点．当k＝2时，f(x)＝(ex－1)(x－1)2，零点还是0,1，但是当0＜x＜1，x＞1时，f(x)＞0，由极值的概念，知选C.

答案：C

12．若0＜x1＜x2＜1，则(　　)

A．ex2－ex1＞ln x2－ln x1

B．ex1－ex2＜ln x2－ln x1

C．x2ex1＞x1ex2

D．x2ex1＜x1ex2

解析：令f(x)＝，则f′(x)＝＝.当0＜x＜1时，f′(x)＜0，即f(x)在(0,1)上单调递减，∵0＜x1＜x2＜1，

∴f(x2)＜f(x1)，即＜，∴x2ex1＞x1ex2，故选C.

答案：C

13．已知奇函数f(x)＝则函数h(x)的最大值为__________．

解析：先求出x>0时，f(x)＝－1的最小值．当x>0时，f′(x)＝，∴x∈(0,1)时，f′(x)<0，函数单调递减，x∈(1，＋∞)时，f′(x)>0，函数单调递增，∴x＝1时，函数取得极小值即最小值，为e－1，∴由已知条件得h(x)的最大值为1－e.

答案：1－e

14．若函数f(x)＝x3－3x在区间(a,6－a2)上有最小值，则实数a的取值范围是________．

解析：若f′(x)＝3x2－3＝0，则x＝±1，且x＝1为函数的极小值点，x＝－1为函数的极大值点．函数f(x)在区间(a,6－a2)上有最小值，则函数f(x)的极小值点必在区间(a,6－a2)内，且左端点的函数值不小于f(1)，即实数a满足a＜1＜6－a2且f(a)＝a3－3a≥f(1)＝－2.解a＜1＜6－a2，得－＜a＜1.不等式a3－3a≥f(1)＝－2，即a3－3a＋2≥0，a3－1－3(a－1)≥0，(a－1)(a2＋a－2)≥0，即(a－1)2(a＋2)≥0，即a≥－2，故实数a的取值范围为[－2,1)．

答案：[－2,1)

15．已知a，b是实数，1和－1是函数f(x)＝x3＋ax2＋bx的两个极值点．

(1)求a和b的值．

(2)设函数g(x)的导函数g′(x)＝f(x)＋2，求g(x)的极值点．

解析：(1)由题设知f′(x)＝3x2＋2ax＋b，且f′(－1)＝3－2a＋b＝0，f′(1)＝3＋2a＋b＝0，解得a＝0，b＝－3.

将a＝0，b＝－3代入检验知符合题意．

(2)由(1)知f(x)＝x3－3x.

因为f(x)＋2＝(x－1)2(x＋2)，所以g′(x)＝0的根为x1＝x2＝1，x3＝－2，于是函数g(x)的极值点只可能是x＝1或x＝－2.

当x＜－2时，g′(x)＜0；当－2＜x＜1时，g′(x)＞0，故x＝－2是g(x)的极小值点．

当－2＜x＜1或x＞1时，g′(x)＞0，故x＝1不是g(x)的极值点．

所以g(x)的极小值点为x＝－2，无极大值点．

16．已知函数f(x)＝x3－x2－ax－2的图象过点A(4，)．

(1)求函数f(x)的单调区间．

(2)若函数g(x)＝f(x)－2m＋3有3个零点，求m的取值范围．

解析：(1)因为函数f(x)＝x3－x2－ax－2的图象过点A(4，)．

所以－4a－4a－2＝，解得a＝2，

即f(x)＝x3－x2－2x－2，所以f′(x)＝x2－x－2.

由f′(x)＝x2－x－2＜0，解得－1＜x＜2；

由f′(x)＞0，得x＜－1或x＞2.

所以函数f(x)的递减区间是(－1,2)，递增区间是(－∞，－1)，(2，＋∞)．

(2)由(1)知f(x)的极大值＝f(－1)＝－－＋2－2＝－，

同理，f(x)的极小值＝f(2)＝－2－4－2＝－，

由数形结合思想，要使函数g(x)＝f(x)－2m＋3有三个零点，

则－＜2m－3＜－，解得－＜m＜.

所以m的取值范围为.