高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练3.6《简单的三角恒等变换》(教师版)

这是一份高考数学(文数)一轮复习创新思维课时练3.6《简单的三角恒等变换》(教师版)，共7页。试卷主要包含了化简，化简eq \f)＝，计算等内容，欢迎下载使用。
1．化简：eq \f(1－cs α,1＋cs α)＝( )
A．sin2α B．tan2α
C．sin2 eq \f(α,2) D．tan2 eq \f(α,2)
解析：原式＝eq \f(2sin2 \f(α,2),2cs2 \f(α,2))＝tan2 eq \f(α,2).
答案：D
2．(沈阳模拟)化简eq \f(cs 40°,cs 25°\r(1－sin 40°))＝( )
A．1 B.eq \r(3)
C.eq \r(2) D．2
解析：原式＝eq \f(cs220°－sin220°,cs 25°\r(cs 20°－sin 20°2))＝eq \f(cs 20°＋sin 20°,cs 25°)＝eq \f(\r(2)cs45°－20°,cs 25°)＝eq \r(2).
答案：C
3．若tan α＝eq \f(1,3)，tan(α＋β)＝eq \f(1,2)，则tan β＝( )
A.eq \f(1,7) B.eq \f(1,6)
C.eq \f(5,7) D.eq \f(5,6)
解析：tan β＝tan [(α＋β)－α]＝eq \f(tanα＋β－tan α,1＋tanα＋βtan α)＝eq \f(\f(1,2)－\f(1,3),1＋\f(1,2)×\f(1,3))＝eq \f(1,7).
答案：A
4．设函数f(x)＝sin2x＋bsin x＋c，则f(x)的最小正周期( )
A．与b有关，且与c有关
B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关
D．与b无关，但与c有关
解析：f(x)＝sin2x＋bsin x＋c＝eq \f(1－cs 2x,2)＋bsin x＋c＝－eq \f(cs 2x,2)＋bsin x＋c＋eq \f(1,2)，其中当b＝0时，f(x)＝－eq \f(cs 2x,2)＋c＋eq \f(1,2)，此时周期为π；当b≠0时，周期为2π，而c不影响周期．
答案：B
5．计算：eq \f(4tan \f(π,12),3tan2\f( π,12)－3)＝( )
A.eq \f(2\r(3),3) B．－eq \f(2\r(3),3)
C.eq \f(2\r(3),9) D．－eq \f(2\r(3),9)
解析：原式＝－eq \f(2,3)·eq \f(2tan \f(π,12),1－tan2 \f(π,12))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,3)))·tan eq \f(π,6)＝－eq \f(2\r(3),9).
答案：D
6．已知锐角α，β满足sin α－cs α＝eq \f(1,6)，tan α＋tan β＋eq \r(3)·tan αtan β＝eq \r(3)，则α，β的大小关系是( )
A．α＜eq \f(π,4)＜β B．β＜eq \f(π,4)＜α
C.eq \f(π,4)＜α＜β D.eq \f(π,4)＜β＜α
解析：因为α是锐角且sin α－cs α＝eq \f(1,6)＞0，
所以sin α＞cs α，即tan α＞1，故α＞eq \f(π,4)，
又因为tan α＋tan β＝eq \r(3)(1－tan αtan β)，
所以tan(α＋β)＝eq \f(tan α＋tan β,1－tan αtan β)＝eq \r(3)，
故α＋β＝eq \f(π,3)，
所以α＝eq \f(π,3)－β＞eq \f(π,4)，故β＜eq \f(π,12)，所以β＜eq \f(π,4)＜α.
答案：B
7．函数f(x)＝2cs x＋sin x的最大值为________．
解析：根据辅助角公式，可以得到f(x)＝2cs x＋sin x＝eq \r(5) sin(x＋φ)，由于sin(x＋φ)的最大值为1，故f(x)的最大值为eq \r(5).
答案：eq \r(5)
8．已知f(x)＝2tanx －eq \f(2sin2\f(x,2)－1,sin \f(x,2)·cs \f(x,2))，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝________.
解析：因为f(x)＝2tan x－eq \f(－cs x,\f(1,2) sin x)＝2tan x＋2·eq \f(cs x,sin x)＝eq \f(2sin x,cs x)＋eq \f(2cs x,sin x)＝eq \f(2,sin xcs x)＝eq \f(4,sin 2x)，
所以feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,12)))＝eq \f(4,sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,12))))＝eq \f(4,sin\f( π,6))＝8.
答案：8
9．已知函数f(x)＝cs2x＋sin xcs x，x∈R.
(1)求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))的值．
(2)若sin α＝eq \f(3,5)，且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，求feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,24))).
解析：(1)f(x)＝eq \f(1,2)＋eq \f(1,2)cs 2x＋eq \f(1,2) sin 2x＝eq \f(\r(2),2) sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,4)))＋eq \f(1,2)，
故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)))＝eq \f(\r(2),2) sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2×\f(π,6)＋\f(π,4)))＋eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,3)＋\f(π,4)))＋eq \f(1,2)＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2)×\f(\r(2),2)＋\f(1,2)×\f(\r(2),2)))＋eq \f(1,2)＝eq \f(\r(3)＋3,4).
(2)因为sin α＝eq \f(3,5)且α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，
cs α＝－eq \r(1－sin2α)＝－eq \f(4,5)，故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,24)))
＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(α,2)＋\f(π,24)))＋\f(π,4)))＋eq \f(1,2)
＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,3)))＋eq \f(1,2)
＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin αcs \f(π,3)＋cs αsin \f(π,3)))＋eq \f(1,2)
＝eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,5)×\f(1,2)＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(4,5)))×\f(\r(3),2)))＋eq \f(1,2)
＝eq \f(3\r(2)－4\r(6),20)＋eq \f(1,2).
10．已知函数f(x)＝(a＋2cs2x)cs(2x＋θ)为奇函数，且f(eq \f(π,4))＝0，其中a∈R，θ∈(0，π)．
(1)求a，θ的值；
(2)若f(eq \f(α,4))＝－eq \f(2,5)，α∈(eq \f(π,2)，π)，求sin(α＋eq \f(π,3))的值．
解析：(1)因为f(x)＝(a＋2cs2x)cs(2x＋θ)是奇函数，而y1＝a＋2cs2x为偶函数，所以y2＝cs(2x＋θ)为奇函数，由θ∈(0，π)，得θ＝eq \f(π,2)，所以f(x)＝－sin 2x·(a ＋2cs2x)，
由f(eq \f(π,4))＝0得－(a＋1)＝0，即a＝－1.
(2)由(1)得f(x)＝－eq \f(1,2)sin 4x，
因为f(eq \f(α,4))＝－eq \f(1,2)sin α＝－eq \f(2,5)，即sin α＝eq \f(4,5)，
又α∈(eq \f(π,2)，π)，从而cs α＝－eq \f(3,5)，
所以sin(α＋eq \f(π,3))＝sin αcs eq \f(π,3)＋cs αsin eq \f(π,3)＝eq \f(4－3\r(3),10).
B组 能力提升练
11．(烟台模拟)已知函数f(x)＝eq \r(3)sin(ωx＋φ)－cs(ωx＋φ)(0＜φ＜π，ω＞0)为偶函数，且函数y＝f(x)的图象的两相邻对称轴的距离为eq \f(π,2)，则feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)))＝( )
A.eq \r(2) B.eq \r(3)
C.eq \r(5) D.eq \r(7)
解析：因为f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(ωx＋φ－\f(π,6)))为偶函数，
所以φ－eq \f(π,6)＝kπ＋eq \f(π,2)，k∈Z，
又0＜φ＜π，所以φ＝eq \f(2π,3).
又因为f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为eq \f(π,2)，
所以T＝π，故ω＝2.
所以f(x)＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(2π,3)－\f(π,6)))＝2sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x＋\f(π,2)))＝2cs 2x.
故feq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,8)))＝2cs eq \f(π,4)＝eq \r(2).
答案：A
12．已知函数f(x)＝eq \r(3)sin ωx＋cs ωx(ω>0)，x∈R.在曲线y＝f(x)与直线y＝1的交点中，若相邻交点距离的最小值为eq \f(π,3)，则f(x)的最小正周期为( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(2π,3)
C．π D．2π
解析：由题意得函数f(x)＝2sin(ωx＋eq \f(π,6))(ω>0)，又曲线y＝f(x)与直线y＝1相邻交点距离的最小值是eq \f(π,3)，由正弦函数的图象知，ωx＋eq \f(π,6)＝eq \f(π,6)和ωx＋eq \f(π,6)＝eq \f(5π,6)对应的x的值相差eq \f(π,3)，即eq \f(2π,3ω)＝eq \f(π,3)，解得ω＝2，所以f(x)的最小正周期是T＝eq \f(2π,ω)＝π.
答案：C
13．函数f(x)＝eq \f(1,2)(1＋cs 2x)·sin2x(x∈R)是( )
A．最小正周期为π的奇函数
B．最小正周期为eq \f(π,2)的奇函数
C．最小正周期为π的偶函数
D．最小正周期为eq \f(π,2)的偶函数
解析： f(x)＝eq \f(1,4)(1＋cs 2x)(1－cs 2x)＝eq \f(1,4)(1－cs22x)＝eq \f(1,4)sin22x＝eq \f(1,8)(1－cs 4x)，f(－x)＝eq \f(1,8)(1－cs 4x)＝f(x)，因此函数f(x)是最小正周期为eq \f(π,2)的偶函数，选D.
答案：D
14．已知函数f(x)＝(sin x＋cs x)sin x，x∈R，则f(x)的最小值是__________．
解析：f(x)＝sin2x＋sin x·cs x＝eq \f(1－cs 2x,2)＋eq \f(1,2)sin 2x＝eq \f(\r(2),2)sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＋eq \f(1,2)，当sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2x－\f(π,4)))＝－1时，
f(x)min＝eq \f(1－\r(2),2).
答案：eq \f(1－\r(2),2)
15．已知函数f(x)＝Acs2(ωx＋φ)＋1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(A>0，ω>0，0