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(全国通用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题8-1 立体几何中的轨迹问题（原卷+解析）学案
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这是一份(全国通用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题8-1 立体几何中的轨迹问题（原卷+解析）学案，文件包含全国通用高考数学二轮热点题型归纳与变式演练专题8-1立体几何中的轨迹问题解析版docx、全国通用高考数学二轮热点题型归纳与变式演练专题8-1立体几何中的轨迹问题原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共49页， 欢迎下载使用。
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】由动点保持平行求轨迹1
\l "_Tc26924" 【题型二】由动点保持垂直求轨迹2
\l "_Tc12217" 【题型三】由动点保持等距（或定长）求轨迹4
\l "_Tc30563" 【题型四】由动点保持等角（或定角）求轨迹5
\l "_Tc30563" 【题型五】投影求轨迹6
\l "_Tc30563" 【题型六】翻折与动点求轨迹7
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练8
【题型一】由动点保持平行性求轨迹
【典例分析】
如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面A1BD，则点M轨迹的长度是（ ）
A．aB．aC．D．
【提分秘籍】
基本规律
1.线面平行转化为面面平行得轨迹
2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹
【变式演练】
1.在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（ ）
A．三角形边界的一部分B．一个点
C．线段的一部分D．圆的一部分
2.已知正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
3.在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，P是上底面内一点（含边界），若平面BDEF，则Р点的轨迹长为（ ）
A．1B．C．2D．
【题型二】动点保持垂直性求轨迹
【典例分析】
在正方体中，Q是正方形内的动点，，则Q点的轨迹是（ ）
A．点B．线段C．线段D．平面
【提分秘籍】
基本规律
1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹
2.利用空间坐标运算求轨迹
3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹
【变式演练】
1.在正方体中，点在侧面及其边界上运动，且保持，则动点的轨迹为
A．线段B．线段
C．的中点与的中点连成的线段D．的中点与的中点连成的线段
2.在棱长为1的正方体中，M，N分别为，的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足．给出下列说法：
①点P可以是棱的中点；
②线段MP的最大值为；
③点P的轨迹是正方形；
④点P轨迹的长度为．
其中所有正确说法的序号是________．
3.如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，则下列说法不正确的是（ ）
A．与不可能平行
B．与是异面直线
C．点的轨迹是一条线段
D．三棱锥的体积为定值
【题型三】由动点保持等距（或者定距）求轨迹
【典例分析】
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，A1D1距离相等的点，则点P的轨迹是（ ）
A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线
【提分秘籍】
基本规律
1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹
2.利用空间坐标计算求轨迹
【变式演练】
1.如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为正方形内（包括边界）的一个动点，且满足．则点在正方形内的轨迹为（ ）
A．B．
C．D．
2.如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，长为的线段的一个端点在线段上运动，另一个端点在底面上运动，则线段的中点的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
3.四棱锥P﹣OABC中，底面OABC是正方形，OP⊥OA，OA＝OP＝a．D是棱OP上的一动点，E是正方形OABC内一动点，DE的中点为Q，当DE＝a时，Q的轨迹是球面的一部分，其表面积为3π，则a的值是（ ）
A．B．C．D．6
【题型四】由动点保持等角（或定角）求轨迹
【典例分析】
正方体中，，分别为，的中点，是边上的一个点（包括端点），是平面上一动点，满足直线 与直线 夹角与直线与直线 的夹角相等，则点所在轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．抛物线或双曲线
【提分秘籍】
基本规律
直线与面成定角，可能是圆锥侧面。
直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面
利用空间坐标系计算求轨迹
【变式演练】
1.如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．直线B．抛物线
C．椭圆D．双曲线的一支
2.如图所示，为长方体，且AB=BC=2，=4，点P为平面上一动点，若，则P点的轨迹为（ ）
A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．圆
3.在长方体中，，，M为棱BC的中点，动点P满足，则点P的轨迹与长方体的侧面的交线长等于___________.
【题型五】 投影求轨迹
【典例分析】
1822年，比利时数学家 Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
球的非正投影，可能是椭圆面
多面体的投影，多为多边形。
【变式演练】
1.如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率__________．
【题型六】翻折与动点求轨迹（难点）
【典例分析】
如图，将四边形中，沿着翻折到，则翻折过程中线段中点的轨迹是（ ）
A．椭圆的一段B．抛物线的一段
C．双曲线的一段D．一段圆弧
【提分秘籍】
基本规律
1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹
2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹
3.可以利用空间坐标运算求轨迹
【变式演练】
1.已知△ABC的边长都为2，在边AB上任取一点D，沿CD将△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD内过点B作BP⊥平面ACD，垂足为P，那么随着点D的变化，点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．π
2.如图，等腰梯形中，，，，，沿着把折起至，使在平面上的射影恰好落在上．当边长变化时，点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
3.已知矩形中，，，如图，将沿着进行翻折，使得点与点重合，若点在平面上的射影在四边形内部（包含边界），则动点的轨迹长度是（ ）
A．B．C．D．
1．（多选题）（海南省海口市北京师范大学海口附属学校2021-2022学年12月月考）如图，已知正方体的棱长为的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是( )
A．若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线
B．若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为
C．若与所成的角为，则的轨迹为双曲线
D．若与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆
2.（多选题）（广东省六校2022届高三上学期第三次联考数学试题）如图的正方体中，棱长为2，点是棱的中点，点在正方体表面上运动.以下命题正确的有（ ）
A．侧面上不存在点，使得
B．点到面的距离与点到面的距离之比为
C．若点满足平面，则动点的轨迹长度为
D．若点到点的距离为，则动点的轨迹长度为
3.（多选题）（2022年全国著名重点中学领航高考冲刺试卷（六））如图，在正方体中，E为的中点，点F在线段上运动，G为底面ABCD内一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则点G在线段AC上
C．当点F从A向运动时，三棱锥的体积由小变大
D．若，GE与底面ABCD所成角相等，则动点G的轨迹为圆的一部分
4.（吉林省梅河口市第五中学2021-2022上学期第一次月考）在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点可以是棱的中点B．线段的最大值为
C．点的轨迹是平行四边形D．点轨迹的长度为
5.（广东省深圳市平冈高级中学2021届高三上学期9月第一次月考）如图所示，在棱长为a的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是（ ）
A．aB．C．D．
6.（湖南省永州市2021-2022学年高三上学期第一次适应性考试）已知在三棱锥中，为线段的中点，点在(含边界位置)内，则满足平面的点的轨迹为（ ）
A．线段，的中点连接而成的线段
B．线段的中点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段
C．线段的中点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段
D．线段靠近点的三等分点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段
7.（辽宁省实验中学2021-2022学年上学期联考）已知正六棱柱的棱长均为，点在棱上运动，点在底面内运动，，为的中点，则动点的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
8.（福建省厦门双十中学2020-2021学年）四棱锥中，底面是正方形，，．是棱上的一动点，E是正方形内一动点，的中点为，当时，的轨迹是球面的一部分，其表面积为，则的值是（ ）
A．B．C．D．6
9.（浙江省2020届高三）棱长为的正方体中，点P在平面内运动，点到直线的距离为定值，若动点的轨迹为椭圆，则此定值可能为（ ）
A．B．C．D．
10.（上海市建平中学2020-2021学年期中）已知菱形边长为2，，沿对角线折叠成三棱锥，使得二面角为60°，设为的中点，为三棱锥表面上动点，且总满足，则点轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
11.（河南省郸城县第一高级中学2021-2022学年高三第一次模拟）在三棱锥中，G是的重心，P是面内一点，且平面.
（1）画出点P的轨迹，并说明理由；
（2）平面，，，，当最短时，求二面角的余弦值.
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TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】由动点保持平行求轨迹1
\l "_Tc26924" 【题型二】由动点保持垂直求轨迹2
\l "_Tc12217" 【题型三】由动点保持等距（或定长）求轨迹4
\l "_Tc30563" 【题型四】由动点保持等角（或定角）求轨迹5
\l "_Tc30563" 【题型五】投影求轨迹6
\l "_Tc30563" 【题型六】翻折与动点求轨迹7
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练8
【题型一】由动点保持平行性求轨迹
【典例分析】
如图，在边长为a的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E、F、G、H、N分别是CC1、C1D1、DD1、CD、BC的中点，M在四边形EFGH边上及其内部运动，若MN∥面A1BD，则点M轨迹的长度是（ ）
A．aB．aC．D．
【提分秘籍】
基本规律
1.线面平行转化为面面平行得轨迹
2.平行时可利用法向量垂直关系求轨迹
【变式演练】
1.在三棱台中，点在上，且，点是三角形内（含边界）的一个动点，且有平面平面，则动点的轨迹是（ ）
A．三角形边界的一部分B．一个点
C．线段的一部分D．圆的一部分
2.已知正方体的棱长为，、分别是棱、的中点，点为底面内（包括边界）的一动点，若直线与平面无公共点，则点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
3.在棱长为2的正方体中，点E，F分别是棱，的中点，P是上底面内一点（含边界），若平面BDEF，则Р点的轨迹长为（ ）
A．1B．C．2D．
【题型二】动点保持垂直性求轨迹
【典例分析】
在正方体中，Q是正方形内的动点，，则Q点的轨迹是（ ）
A．点B．线段C．线段D．平面
【提分秘籍】
基本规律
1.可利用线线线面垂直，转化为面面垂直，得交线求轨迹
2.利用空间坐标运算求轨迹
3.利用垂直关系转化为平行关系求轨迹
【变式演练】
1.在正方体中，点在侧面及其边界上运动，且保持，则动点的轨迹为
A．线段B．线段
C．的中点与的中点连成的线段D．的中点与的中点连成的线段
2.在棱长为1的正方体中，M，N分别为，的中点，点P在正方体的表面上运动，且满足．给出下列说法：
①点P可以是棱的中点；
②线段MP的最大值为；
③点P的轨迹是正方形；
④点P轨迹的长度为．
其中所有正确说法的序号是________．
3.如图，在正方体中，是棱的中点，是侧面内的动点，且与平面的垂线垂直，则下列说法不正确的是（ ）
A．与不可能平行
B．与是异面直线
C．点的轨迹是一条线段
D．三棱锥的体积为定值
【题型三】由动点保持等距（或者定距）求轨迹
【典例分析】
已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，P为底面ABCD内一点，若P到棱CD，A1D1距离相等的点，则点P的轨迹是（ ）
A．直线B．椭圆C．抛物线D．双曲线
【提分秘籍】
基本规律
1.距离，可转化为在一个平面内的距离关系，借助于圆锥曲线定义或者球和圆的定义等知识求解轨迹
2.利用空间坐标计算求轨迹
【变式演练】
1.如图，在四棱锥中，侧面为正三角形，底面为正方形，侧面底面，为正方形内（包括边界）的一个动点，且满足．则点在正方形内的轨迹为（ ）
A．B．
C．D．
2.如图，在棱长为的正方体中，、分别是、的中点，长为的线段的一个端点在线段上运动，另一个端点在底面上运动，则线段的中点的轨迹（曲面）与正方体（各个面）所围成的几何体的体积为（ ）
A．B．C．D．
3.四棱锥P﹣OABC中，底面OABC是正方形，OP⊥OA，OA＝OP＝a．D是棱OP上的一动点，E是正方形OABC内一动点，DE的中点为Q，当DE＝a时，Q的轨迹是球面的一部分，其表面积为3π，则a的值是（ ）
A．B．C．D．6
【题型四】由动点保持等角（或定角）求轨迹
【典例分析】
正方体中，，分别为，的中点，是边上的一个点（包括端点），是平面上一动点，满足直线 与直线 夹角与直线与直线 的夹角相等，则点所在轨迹为（ ）
A．椭圆B．双曲线C．抛物线D．抛物线或双曲线
【提分秘籍】
基本规律
直线与面成定角，可能是圆锥侧面。
直线与定直线成等角，可能是圆锥侧面
利用空间坐标系计算求轨迹
【变式演练】
1.如图，斜线段与平面所成的角为，为斜足，平面上的动点满足，则点的轨迹是（ ）
A．直线B．抛物线
C．椭圆D．双曲线的一支
2.如图所示，为长方体，且AB=BC=2，=4，点P为平面上一动点，若，则P点的轨迹为（ ）
A．抛物线B．椭圆C．双曲线D．圆
3.在长方体中，，，M为棱BC的中点，动点P满足，则点P的轨迹与长方体的侧面的交线长等于___________.
【题型五】 投影求轨迹
【典例分析】
1822年，比利时数学家 Dandelin利用圆锥曲线的两个内切球，证明了用一个平面去截圆锥，可以得到椭圆（其中两球与截面的切点即为椭圆的焦点），实现了椭圆截线定义与轨迹定义的统一性．在生活中，有一个常见的现象：用手电筒斜照地面上的篮球，留下的影子会形成椭圆．这是由于光线形成的圆锥被地面所截产生了椭圆的截面．如图，在地面的某个占正上方有一个点光源，将小球放置在地面，使得与小球相切．若，小球半径为2，则小球在地面的影子形成的椭圆的离心率为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
球的非正投影，可能是椭圆面
多面体的投影，多为多边形。
【变式演练】
1.如图，已知水平地面上有一半径为3的球，球心为，在平行光线的照射下，其投影的边缘轨迹为椭圆C．如图，椭圆中心为O，球与地面的接触点为E，．若光线与地面所成角为，椭圆的离心率__________．
【题型六】翻折与动点求轨迹（难点）
【典例分析】
如图，将四边形中，沿着翻折到，则翻折过程中线段中点的轨迹是（ ）
A．椭圆的一段B．抛物线的一段
C．双曲线的一段D．一段圆弧
【提分秘籍】
基本规律
1.翻折过程中寻找不变的垂直的关系求轨迹
2.翻折过程中寻找不变的长度关系求轨迹
3.可以利用空间坐标运算求轨迹
【变式演练】
1.已知△ABC的边长都为2，在边AB上任取一点D，沿CD将△BCD折起，使平面BCD⊥平面ACD．在平面BCD内过点B作BP⊥平面ACD，垂足为P，那么随着点D的变化，点P的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．π
2.如图，等腰梯形中，，，，，沿着把折起至，使在平面上的射影恰好落在上．当边长变化时，点的轨迹长度为（ ）
A．B．C．D．
3.已知矩形中，，，如图，将沿着进行翻折，使得点与点重合，若点在平面上的射影在四边形内部（包含边界），则动点的轨迹长度是（ ）
A．B．C．D．
1．（多选题）（海南省海口市北京师范大学海口附属学校2021-2022学年12月月考）如图，已知正方体的棱长为的中点，为正方形所在平面内一动点，则下列结论正确的是( )
A．若到直线与直线的距离相等，则的轨迹为抛物线
B．若，则的中点的轨迹所围成图形的面积为
C．若与所成的角为，则的轨迹为双曲线
D．若与平面所成的角为，则的轨迹为椭圆
2.（多选题）（广东省六校2022届高三上学期第三次联考数学试题）如图的正方体中，棱长为2，点是棱的中点，点在正方体表面上运动.以下命题正确的有（ ）
A．侧面上不存在点，使得
B．点到面的距离与点到面的距离之比为
C．若点满足平面，则动点的轨迹长度为
D．若点到点的距离为，则动点的轨迹长度为
3.（多选题）（2022年全国著名重点中学领航高考冲刺试卷（六））如图，在正方体中，E为的中点，点F在线段上运动，G为底面ABCD内一动点，则下列说法正确的是（ ）
A．
B．若，则点G在线段AC上
C．当点F从A向运动时，三棱锥的体积由小变大
D．若，GE与底面ABCD所成角相等，则动点G的轨迹为圆的一部分
4.（吉林省梅河口市第五中学2021-2022上学期第一次月考）在棱长为1的正方体中，，分别为，的中点，为底面的中心，点在正方体的表面上运动，且满足，则下列说法正确的是（ ）
A．点可以是棱的中点B．线段的最大值为
C．点的轨迹是平行四边形D．点轨迹的长度为
5.（广东省深圳市平冈高级中学2021届高三上学期9月第一次月考）如图所示，在棱长为a的正方体ABCD -A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点，F是侧面CDD1C1上的动点，且B1F∥平面A1BE，则F在侧面CDD1C1上的轨迹的长度是（ ）
A．aB．C．D．
6.（湖南省永州市2021-2022学年高三上学期第一次适应性考试）已知在三棱锥中，为线段的中点，点在(含边界位置)内，则满足平面的点的轨迹为（ ）
A．线段，的中点连接而成的线段
B．线段的中点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段
C．线段的中点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段
D．线段靠近点的三等分点与线段靠近点的三等分点连接而成的线段
7.（辽宁省实验中学2021-2022学年上学期联考）已知正六棱柱的棱长均为，点在棱上运动，点在底面内运动，，为的中点，则动点的轨迹与正六棱柱的侧面和底面围成的较小部分的体积为（ ）
A．B．C．D．
8.（福建省厦门双十中学2020-2021学年）四棱锥中，底面是正方形，，．是棱上的一动点，E是正方形内一动点，的中点为，当时，的轨迹是球面的一部分，其表面积为，则的值是（ ）
A．B．C．D．6
9.（浙江省2020届高三）棱长为的正方体中，点P在平面内运动，点到直线的距离为定值，若动点的轨迹为椭圆，则此定值可能为（ ）
A．B．C．D．
10.（上海市建平中学2020-2021学年期中）已知菱形边长为2，，沿对角线折叠成三棱锥，使得二面角为60°，设为的中点，为三棱锥表面上动点，且总满足，则点轨迹的长度为（ ）
A．B．C．D．
11.（河南省郸城县第一高级中学2021-2022学年高三第一次模拟）在三棱锥中，G是的重心，P是面内一点，且平面.
（1）画出点P的轨迹，并说明理由；
（2）平面，，，，当最短时，求二面角的余弦值.
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