(全国通用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题8-4 立体几何中求角度、距离类型（原卷+解析）学案

这是一份(全国通用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题8-4 立体几何中求角度、距离类型（原卷+解析）学案，文件包含全国通用高考数学二轮热点题型归纳与变式演练专题8-4立体几何中求角度距离类型解析版docx、全国通用高考数学二轮热点题型归纳与变式演练专题8-4立体几何中求角度距离类型原卷版docx等2份学案配套教学资源，其中学案共66页， 欢迎下载使用。

目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
【题型一】 求异面直线所成的角1
【题型二】 求直线和平面所成角2
【题型三】 求二面角的平面角4
【题型四】 翻折中的角度5
【题型五】 三种角度之间的相互关系7
【题型六】 三种角度比大小8
【题型七】 球中的角度9
【题型八】 压轴小题中的角度题型10
【题型九】 距离11
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练12
【题型一】 求异面直线所成的角
【典例分析】
如图，已知，分别是正四面体的侧面与侧面上动点（不包含侧面边界），则异面直线，所成角不可能的是
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
异面直线求解：
（1）平移异面直线中的一条或两条，作出异面直线所成的角；
（2）证明作出的角就是所求异面直线所成的角（小题可跨越这一步）；
（3）求该角的值，常利用正余弦定理解三角形求得；
（4）取舍：由异面直线所成的角的取值范围是，当所作的角为钝角时，应取它的补角作为两条异面直线所成的角．
（5）也可以建系求：异面直线夹角（平移角，也是锐角和直角）
【变式演练】
1.从正方体八个顶点的两两连线中任取两条直线a，b，且a，b是异面直线，则a，b所成角的余弦值的所有可能取值构成的集合是（ ）
A．；B．
C．；D．．
2.如图，已知正三棱锥，，，点，分别棱，上（不包含端点），则直线，所成的角的取值范围是______.
3.在四棱锥中，底面，底面为正方形，，点为正方形内部的一点，且，则直线与所成角的余弦值的取值范围为
A．B．C．D．
【题型二】 求直线和平面所成角
【典例分析】
如图，在四棱锥P−ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB∥CD，AD＝CD＝，AB＝，PA＝，DA⊥AB，点Q在PB上，且满足PQ∶QB=1∶3，求直线CQ与平面PAC所成角的正弦值．
【提分秘籍】
基本规律
求直线与平面所成的角的一般步骤：
（1）利用面面垂直的性质定理，得到线面垂直，进而确定线面角的垂足，明确斜线在平面内的射影，即可确定线面角；
（2）在构成线面角的直角三角形中，可利用等体积法求解垂线段的长度，从而不必作出线面角，则线面角满足（为斜线段长），进而可求得线面角；
（3）通过建系，利用坐标系向量求解：直线与平面所成的角（射影角，也是夹角，），
【变式演练】
1.如图，已知，分别是圆柱上､下底面圆的直径，且，若该圆柱的侧面积是其上底面面积的倍，则与平面所成的角为（ ）
A．B．C．D．
2.设正方体棱长为1，平面经过顶点，且与棱AB､AD､所在直线所成的角都相等，则满足条件的平面共有（ ）个.
A．1B．2C．3D．4
3.如图，在四面体VABC中，已知VA⊥平面VBC，VA与平面ABC所成的角为45°，D是BC上一动点，设直线VD与平面ABC所成的角为θ，则（ ）
A．θ≤60°B．θ≥30°C．θ≤45°D．θ≤75°
【题型三】 求二面角的平面角
【典例分析】
已知四面体的每个顶点都在球O（О为球心）的球面上，为等边三角形，，，且，则二面角的正切值为（ ）
A．B．C．D．
【提分秘籍】
基本规律
求二面角所成的角的方法：
直接法（几何法）：作出二面角的平面角
定义法：直接选棱上一点，在俩半平面内做棱的垂线。
垂面法：寻找一个半平面的垂面，然后与另一半平面有交线，在交线上选择合适的点，在垂面内做垂线，再永定依法，如果垂面和棱垂直，那么就直接出平面角。
2.向量法：二面角（法向量的方向角，）
。
其中锐钝判断法。：
（1.）观察法；
（2）同进同出互补，一进一出相等；
【变式演练】
1.设，是平面内所成角为的两条直线，过，分别作平面，，且锐二面角的大小为，锐二面角的大小为，则平面，所成的锐二面角的平面角的余弦值可能是（ ）
A．B．C．D．
2.过正方形的顶点作线段平面，若，则平面与平面所成的锐二面角的余弦值为（ ）
A．B．C．D．
3.如图，在长方体中，，，，分别是，，的中点，记直线与所成的角为，平面与平面所成二面角为，则（ ）
A．B．
C．D．
【题型四】 翻折中的角度
【典例分析】
如图，矩形中，，，．将梯形ADEF沿着EF翻折成梯形，则与平面所成角可以是（ ）
A．90°B．75°C．45°D．30°
【提分秘籍】
基本规律
.翻折题型要寻找“变化”中的“不变”
【变式演练】
1.如图，矩形中，已知，，为的中点． 将沿着向上翻折至，记锐二面角的平面角为，与平面所成的角为，则下列结论不可能成立的是（ ）
A．B．
C．D．
2.已知，，D是的中点，将沿翻折，得到，设与平面所成的角为，与平面所成的角为，与平面所成的角为，则（ ）
A．B．C．D．
3.如图，矩形中，已知为的中点．将沿着向上翻折至得到四棱锥．平面与平面所成锐二面角为，直线与平面所成角为，则下列说法错误的是（ ）
A．若为中点，则无论翻折到哪个位置都有平面平面
B．若为中点，则无论翻折到哪个位置都有平面
C．
D．存在某一翻折位置，使
【题型五】 三种角度之间的相互关系
【典例分析】
过正方体棱的中点与直线所成角为，且与平面所成角为的直线条数为（ ）
【变式演练】
1.如图，二面角的大小是，线段．，与所成的角为．直线与平面所成的角的正弦值是（ ）
A．B．C．D．
2.已知正方体和空间任意直线，若直线与直线所成的角为，与直线所成的角为，与平面所成的角为，与平面所成的角为，则（ ）
A．B．
C．D．
3.已知平面内的，射线与所成的角均为135°，则与平面所成的角的余弦值是（ ）
A．B．C．D．
【题型六】 三种角度比大小
【典例分析】
如图，在三棱锥中，，，，分别为，的中点，记平面与平面所成的角为，直线，与平面所成的角分别为，，若，则（ ）
A．， B．， C．，D．，
【变式演练】
1.如图，在等边三角形中，分别是线段上异于端点的动点，且，现将三角形沿直线折起，使平面平面，当从滑动到的过程中，则下列选项中错误的是（ ）
A．的大小不会发生变化B．二面角的平面角的大小不会发生变化
C．与平面所成的角变大D．与所成的角先变小后变大
2.如图，在三棱锥中，，，D是棱上一点（不含端点）且，记为，直线与平面所成角为，直线与平面所成角为，则（ ）
A．B．C．D．
3.已知三棱锥，记二面角的平面角是，直线与平面所成的角是，直线与所成的角是，则（ ）
A．B．C．D．
【题型七】 球中的角度
【典例分析】
已知AB、CD是圆O的两条直径，且，如图1，沿AB折起，使两个半圆面所在的平面垂直，折到点位置，如图2．设直线与直线OC所成的角为，则（ ）
A．且B．且
C．且D．且
【变式演练】
1.已知三棱锥的四个顶点在球的球面上，平面，，与平面所成的角为，则球的表面积为（ ）
A．B．C．D．
2.一圆柱形容器，底面半径为1，高为3，里面装有一个小球，小球的表面和圆柱侧面、下底面均相切.过圆柱上底面圆周上一点作一个平面，使得与小球恰好相切，则与圆柱下底面所成最小的锐二面角的正弦值为（ ）
3.一球内接一圆锥，圆锥的轴截面为正三角形，过作与球相切的平面，则直线与平面所成的角为（ ）
A．30°B．45°C．15°D．60°
【题型八】 压轴小题中的角度题型
【典例分析】
如图，在等边三角形中，分别是线段上异于端点的动点，且，现将三角形沿直线折起，使平面平面，当从滑动到的过程中，则下列选项中错误的是（ ）
A．的大小不会发生变化B．二面角的平面角的大小不会发生变化
C．与平面所成的角变大D．与所成的角先变小后变大
【变式演练】
1.在正四面体（所有棱长均相等的三棱锥）中，点在棱上，满足，点为线段上的动点.设直线与平面所成的角为，则（ ）
A．存在某个位置，使得B．存在某个位置，使得
C．存在某个位置，使得平面平面D．存在某个位置，使得
2.如图，在边长为4的正三角形ABC中，D，E，F分别为各边的中点，G，H分别为DE，AF的中点，将沿DE，EF，DF折成正四面体，则在此正四面体中，下列说法正确的是______．
异面直线PG与DH所成的角的余弦值为；
；
与PD所成的角为；
与EF所成角为
3.斜线与平面成15°角，斜足为，为在内的射影，为的中点，是内过点的动直线，若上存在点，使，则则的最大值是_______，此时二面角平面角的正弦值是_______
【题型九】 距离
【典例分析】
已知正方体的棱长为，点为中点，点､在四边形内（包括边界），点到平面的距离等于它到点的距离，直线平面，则的最小值为___________.
【提分秘籍】
基本规律
点到面的距离
直接法：点到安可以直接作出垂线
等体积转化法
向量法
【变式演练】
1.已知三棱锥的所有顶点都在球O的球面上，满足，，为球O的直径且，则点P到底面的距离为（ ）
A．B．C．D．
2.空间给定不共面的A，B，C，D四个点，其中任意两点间的距离都不相同，考虑具有如下性质的平面：A，B，C，D中有三个点到的距离相同，另一个点到的距离是前三个点到的距离的2倍，这样的平面的个数是___________个
3.如图，长方体的底面是正方形，其侧面展开图是边长为的正方形，､分别是侧棱､上的动点，，点在棱上，且，若平面，则___________.
1.已知三棱锥中，棱，，的中点分别是M，N，O，，，都是正三角形，则异面直线与所成角的余弦值为___________.

2.在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，过点C做直线l，使得直线l与直线BA1和B1D1所成的角均为，则这样的直线l（ ）
A．不存在B．2条
C．4条D．无数条

3.设三棱锥的底面是正三角形，侧棱长均相等，P是棱上的点（不含端点），记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角是则三个角，，中最小的角是（ ）
A．B．C．D．不能确定
4.如图，四边形中，，，沿直线将折成，使点在平面上的射影在内（不含边界），记二面角的平面角大小为，直线､与平面所成角分别为､，则（ ）
A．B． C．D．

5.已知直角梯形满足:，且△为正三角形.将△沿着直线翻折至△，且，二面角的平面角大小分别为，直线与平面所成角分别是，则（ ）
A． B．
C． D．

6.，为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形的直角边所在直线与，都垂直，斜边以直线为旋转轴旋转，有下列结论：①当直线与成角时，与成角；②当直线与成角时，与成角；③直线与所成角的最大值为；④直线与所成角的最小值为；其中正确的是___________（填写所有正确结论的编号）

7.在正三棱柱中，，点M是线段的中点，点N是线段AB的中点，记直线与CN所成角为，二面角的平面角为，则（ ）
A．B．C．D．

8.已知平面α与β所成锐二面角的平面角为，P为α，β外一定点，过点P的一条直线与α和β所成的角都是，则这样的直线有且仅有（ ）
A．1条B．2条C．3条D．4条

9.如图，梯形为直角梯形，，，，，将沿折起，使点到点的位置，得到三棱锥，其中点在底面上的射影在的内部.记直线与直线所成的角为，直线与平面所成的角为，二面角的平面角为，则（ ）
A．B．C．D．

10.如图，在四棱锥中，，平面平面，若，，与平面所成的角为，则以下结论正确的是（ ）

A．B．C．D．
11.如图 ，边长为2的正方形ABCD和正方形 ABEF所在的面成角 ，M、N分 别 是线段 AC、BF上 的 点，且AM =FN．则 线 段 MN的 长 的 取 值范围 是（ ）.

A．B．C．D．