(全国通用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题11-1 参数方程与极坐标大题15种归类（原卷+解析）学案

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 消参难点1：分母二次分式型消参1
\l "_Tc26924" 【题型二】 消参难点2：正余弦对偶型3
\l "_Tc12217" 【题型三】 消参难点3：构造正切公式型3
\l "_Tc30563" 【题型四】 参数方程核心思维1：参数方程即动点坐标4
\l "_Tc30563" 【题型五】 参数方程核心思维2：抛物线的参数方程可化为斜率5
\l "_Tc30563" 【题型六】 极坐标思维1：极坐标弦长公式6
\l "_Tc30563" 【题型七】 极坐标思维2：两根韦达定理型7
\l "_Tc30563" 【题型八】 极坐标思维3：求最值与范围型8
\l "_Tc30563" 【题型九】 极坐标思维4：多线多交点型9
\l "_Tc30563" 【题型十】 极坐标思维5：极坐标分段型10
\l "_Tc30563" 【题型十一】直线参数方程思维1：换“起点”与标准化t11
\l "_Tc30563" 【题型十二】直线参数方程思维2：弦长公式12
\l "_Tc30563" 【题型十三】直线参数方程思维3：解析关于t的韦达定理14
\l "_Tc30563" 【题型十四】直线参数方程思维4：综合难度较大的题15
\l "_Tc30563" 【题型十五】综合：轨迹15
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练16
【题型一】消参难点1：分母二次分式型消参
【典例分析】
在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（t为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线l的极坐标方程为．
（1）求C和l的直角坐标方程；（2）求C上的点到l距离的最小值．
【提分秘籍】
基本规律
【典例分析】这道题的具体消参计算过程
方法1：万能代换型 消去参数：
方法二：分析数据配凑法。
方法三：简洁的根本是计算中间一步的细节处理
发现x是对应齐次单变量参数形式，可以反解出
因为t是平方形式，所以需要y平方后代入，计算细节在于代入后，分母那个计算，一定要先通分，这样出来几乎没有计算量
【变式演练】
1.在直角坐标系中，曲线C的参数方程为(t为参数)，以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
(1)求C的普通方程和的直角坐标方程；
(2)求C上的点到距离的最大值．
2.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程是．
（1）写出曲线的普通方程和的直角坐标方程；
（2）求上的点到距离的最小值．
【题型二】 消参难点2：正余弦对偶型
【典例分析】
在直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，取相同长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）设直线与轴的交点为，经过点的动直线与曲线交于，两点，证明：为定值
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.在直角坐标系中，曲线的参数方程为为参数)，若以直角坐标系中的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为为参数)．(1)求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
(2)若曲线与曲线有公共点，求的取值范围．
2.在直角坐标系，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）写出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，，求的值．
【题型三】 消参难点3：构造正切公式型
【典例分析】
在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程；
（2）射线与曲线交于点（异于原点）、与直线交于点，求的值.
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，(为参数)，曲线的参数方程为，(为参数，且)．（1）求与的普通方程，
（2）若分别为与上的动点，求的最小值．
2.在直角坐标系中，曲线的参数方程为(为参数).以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为()，将曲线向左平移2个单位长度得到曲线.
（1）求曲线的普通方程和极坐标方程；（2）设直线与曲线交于两点，求的取值范围.
【题型四】 参数方程核心思维1：参数方程即动点坐标
【典例分析】
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（t为参数），在以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的方程为.（1）求曲线、的直角坐标方程；
（2）若为曲线上的任意一点，求的最小值.
【提分秘籍】
基本规律
椭圆为主的参数方程，理解成动点坐标。
【变式演练】
1.已知直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且曲线的左焦点在直线上．
（1）若直线与曲线交于两点，求的值；（2）求曲线的内接矩形的周长的最大值．
2.已知曲线的极坐标方程是，以极点为原点，极轴为轴的正半轴建立平面直角坐标系，直线的参数方程为 (为参数)写出直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；
(2)设曲线经过伸缩变换后得到曲线，设为上任意一点，
求的最小值，并求相应的点的坐标.
3.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为．
（1）求直线的普通方程以及曲线C的参数方程；
（2）过曲线C上任意一点M作与直线的夹角为的直线，交于点N，求的最小值
【题型五】 参数方程核心思维2：抛物线的参数方程可化为斜率
【典例分析】
在平面真角坐标系xOy中，曲线的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若曲线与曲线交于M，N两点，直线OM和ON的斜率分别为和，求的值．
【提分秘籍】
基本规律
抛物线上动点，可转化为与原点连线的斜率或斜率倒数
【变式演练】
1.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）求的普通方程和的直角坐标方程；
（Ⅱ）若与交于，两点，求的值.
2.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）；以原点为极点，轴的非负半轴为极轴且取相同的长度单位建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求直线和曲线的直角坐标方程；
（2）设直线和曲线交于，两点，直线，，的斜率分别为，，，求证：．
【题型六】 极坐标思维1：极坐标弦长
【典例分析】
在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为
（1）若，求直线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程：
（2）若直线与曲线交于、两点，且，求直线的斜率．
【提分秘籍】
基本规律
极坐标体系下的弦长公式
【变式演练】
1.在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，由曲线上的点按坐标变换得到曲线.（1）求曲线的极坐标方程；（2）若射线和与曲线的交点分别为点，求.
2.在直角坐标系中，以原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系，由曲线上的点按坐标变换得到曲线.
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若射线和与曲线的交点分别为点，求.
【题型七】 极坐标思维2：两根韦达定理型
【典例分析】
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，已知射线的极坐标方程为.
（1）求曲线的极坐标方程与射线的直角坐标方程；
（2）若射线与曲线交于，两点，求.
【提分秘籍】
基本规律
极坐标体系中的一元二次方程与韦达定理
【变式演练】
1.直线的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(其中).
（1）点的直角坐标为(2,2)，且点在曲线内，求实数m的取值范围；
（2）若，当变化时，求直线被曲线截得的弦长的取值范围.
2.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴的极坐标系中，曲线的极坐标方程为
（1）若，求直线的极坐标方程以及曲线的直角坐标方程：
（2）若直线与曲线交于、两点，且，求直线的斜率．
3.已知在平面直角坐标系内，曲线的参数方程为（为参数）．以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）把曲线和直线化为直角坐标方程；
（2）过原点引一条射线分别交曲线和直线于，两点，射线上另有一点满足，求点的轨迹方程（写成直角坐标形式的普通方程）．
【题型八】 极坐标思维3：求最值与范围
【典例分析】
在直角坐标系中，圆的参数方程为（为参数），以为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为．
（1）求的极坐标方程；
（2）射线与圆的交点为，，与直线的交点为，求的取值范围．
【变式演练】
1.在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，点P是曲线上的动点，点Q在OP的延长线上，且，点Q的轨迹为．
（1）求直线l及曲线的极坐标方程；
（2）若射线与直线l交于点M，与曲线交于点（与原点不重合），求的最大值.
2.直线的参数方程为(其中为参数)，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为(其中).
（1）点的直角坐标为(2,2)，且点在曲线内，求实数m的取值范围；
（2）若，当变化时，求直线被曲线截得的弦长的取值范围.
3.在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系.（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若曲线上两点，有，求面积最小值.
【题型九】 极坐标思维4：多线型
【典例分析】
知曲线C的参数方程为x=102csθy=sinθ（θ为参数），以平面直角坐标系的原点为极点，x的非负半轴为极轴建立极坐标系.（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；
（Ⅱ）P，Q为曲线C上两点，若OP⋅OQ=0，求|OP|2⋅|OQ|2|OP|2+|OQ|2的值.
【提分秘籍】
基本规律
多曲线交点在极坐标体系中的计算
【变式演练】
1.已知曲线的参数方程是 （是参数， ），直线的参数方程是 （是参数），曲线与直线有一个公共点在轴上，以坐标原点为极点，轴的非负半轴为极轴建立极坐标系
（1）求曲线的极坐标方程；
（2）若点，，在曲线上，求的值．
2.极坐标系与直角坐标系有相同的长度单位，以原点为极点，以轴正半轴为极轴，曲线的极坐标方程为，曲线的参数方程为（为参数，），射线与曲线交于（不包括极点O）三点（1）求证：；
（2）当时，B，C两点在曲线上，求与的值
【题型十】 极坐标思维5：极坐标分段型
【典例分析】
在直角坐标系中，曲线，如图将分别绕原点逆时针旋转，，得到曲线，，．以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系．
（1）分别写出曲线的极坐标方程；
（2）设交于两点，交于两点（其中均不与原点重合），若四边形的面积为，求的值.
【提分秘籍】
基本规律
1.极坐标的定义；
2.数形结合思想与方程思想
【变式演练】
1.在极坐标系中，极点为，一条封闭的曲线由四段曲线组成：，，，.（1）求该封闭曲线所围成的图形面积；
（2）若直线：与曲线恰有3个公共点，求的值.
2.如图，有一种赛车跑道类似“梨形”曲线，由圆弧和线段AB，CD四部分组成，在极坐标系Ox中，A（2，），B（1，），C（1，），D（2，），弧所在圆的圆心分别是（0，0），（2，0），曲线M1是弧，曲线M2是弧．
（1）分别写出M1，M2的极坐标方程：
（2）点E，F位于曲线M2上，且，求△EOF面积的取值范围．
3.如图，在以为极点，轴为极轴的板坐标系中，圆，，的方程分别为，，.
（1）若相交于异于极点的点，求点的极坐标；
（2）若直线与分别相交于异于极点的两点，求的最大值.
【题型十一】 直线参数方程思维1：换“起点”与化标准t
【典例分析】

【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.已知平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数）.以原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为，且直线与曲线交于、两点.
（1）求实数的取值范围；
（2）若，点，求的值.
2.已知直线的参数方程为（为参数），曲线的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线的右顶点到直线的距离；
（2）若点的坐标为，设直线与曲线交于，两点，求的值.
【题型十二】 直线参数方程思维2：弦长公式
【典例分析】
在直角坐标系中，以原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系. 已知曲线的极坐标方程为 ，直线 的参数方程为 (为参数)．
（I）分别求曲线的直角坐标方程和直线 的普通方程；
（II）设曲线和直线相交于两点，求弦长的值．
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数）以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为.
（1）求l的普通方程和曲线C的直角坐标方程；
（2）若l与C相交于AB两点，且，求m的值.
2.已知曲线的极坐标方程是.以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为轴的正半轴，建立平面直角坐标系，直线的参数方程是（为参数）.
（Ⅰ）将曲线的极坐标方程化为直角坐标方程；
（Ⅱ）若直线与曲线相交于，两点，且，求直线的倾斜角的值.
3.以直角坐标系的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，且两个坐标系取相等的长度单位．已知直线的参数方程为 (t为参数，0<<)，曲线C的极坐标方程为．
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）设直线l与曲线C相交于A、B两点，当变化时，求|AB|的最小值．
【题型十三】 直线参数方程思维3：解析关于t的韦达定理
【典例分析】
以平面直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知点的直角坐标为，若直线的极坐标方程为，曲线的参数方程是，（为参数).
（1）求直线的直角坐标方程和曲线的普通方程；
（2）设直线与曲线交于两点，求.
【提分秘籍】
基本规律
【变式演练】
1.在直角坐标系中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线，直线l的参数方程为：（t为参数），直线l与曲线C分别交于两点.
（1）写出曲线C和直线l的普通方程；
（2）若点，求的值.
2.在直角坐标系xOy中，已知直线l过点P（2，2）.以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρ﹣ρcs2θ﹣4csθ＝0.
（1）求C的直角坐标方程；
（2）若l与C交于A，B两点，求的最大值.
3.已知曲线C的参数方程为，（为参数）.（1）若点在曲线C上，求m的值；
（2）过点的直线l和曲线C交于A，B两点，求的取值范围.
【题型十四】 直线参数方程思维4：综合难度较大的题
【典例分析】
直角坐标系中曲线C的参数方程为（为参数）.
（1）求曲线C的直角坐标方程；
（2）经过点M（2,1）作直线交曲线C于A，B两点，若M恰好为线段AB的三等分点，求直线的斜率.
【变式演练】
1.在直角坐标系中，直线（为参数，），在以为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线。
（Ⅰ）求曲线的直角坐标方程；
（Ⅱ）已知点，若直线与曲线交于两点，且，求。
2.在平面直角坐标系xy中，以O为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，直线l的极坐标方程为θ=，曲线C的参数方程为．
（1）写出直线l与曲线C的直角坐标方程；
（2）过点M平行于直线l1的直线与曲线C交于A、B两点，若|MA|•|MB|= 8/3，求点M轨迹的直角坐标方程．
【题型十五】 综合：轨迹
【典例分析】
在直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．
（1）为曲线上的动点，点在线段上，且满足，求点的轨迹的直角坐标方程；
（2）设点A的极坐标为，点在曲线上，求面积的最大值．
【提分秘籍】
基本规律
主要是极坐标体系下的轨迹，常规轨迹可参考圆准曲线求轨迹专题
【变式演练】
1.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），直线的参数方程为．设与的交点为，当变化时，的轨迹为曲线．
（1）写出的普通方程；
（2）以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，设，为与的交点，求的极径．
2.在极坐标系中，为极点，点在曲线：上，直线过点且与垂直，垂足为.（1）当时，求及的极坐标方程；
（2）当在上运动且在线段上时，求点轨迹的极坐标方程.
3.在直角坐标系xOy中，直线l过点且倾斜角为.以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程为，l与C交于M，N两点.
（1）求C的直角坐标方程和的取值范围；（2）求MN中点H的轨迹的参数方程.
1.曲线C的参数方程为（为参数）,直线l的参数方程为（为参数）.（1）求曲线C的一般方程;（2）求直线l被曲线C截得的弦长.

2.在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），为曲线上的动点，动点满足（且），点的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程，并说明是什么曲线；
（2）在以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴的极坐标系中，点的极坐标为，射线与的异于极点的交点为，已知面积的最大值为，求的值.

3.在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以x轴的非负半轴为极轴，建立极坐标系，已知直线l的参数方程为（t为参数），圆C的极坐标方程是.
（1）求直线l与圆C的公共点个数；
（2）在平面直角坐标系中，圆C经过伸缩变换得到曲线，设为曲线上一点，求的最大值，并求相应点M的坐标.

4.平面直角坐标系中, 已知曲线,将曲线上所有点横坐标, 纵坐标分别伸长为原来的倍和倍后, 得到曲线.
（1）试写出曲线参数方程；
（2）在曲线上求点,使得点到直线的距离最大, 并求距离最大值.

5.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为：（为参数），以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为：.
（1）求曲线的极坐标方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求取得最大值时直线的直角坐标方程.

6.在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（其中为参数）曲线的普通方程为，以坐标原点为极点，以轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求曲线和曲线的极坐标方程；
（2）射线:依次与曲线和曲线交于、两点，射线:依次与曲线和曲线交于、两点，求的最大值.

7.在直角坐标系xOy中，圆C1的参数方程为x=−1+csty=sint（t为参数），圆C2与圆C1外切于原点O，且两圆圆心的距离C1C2=3，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系.
（1）求圆C1和圆C2的极坐标方程；
（2）过点O的直线l1，l2与圆C2异于点O的交点分别为点A，D，与圆C1异于点O的交点分别为点C，B，且l1⊥l2，求四边形面积ABCD的最大值.

8.试卷在直角坐标系xOy中，直线l的方程是y = 8，圆C的参数方程是（φ为参数）。以O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系。
（Ⅰ）求直线l和圆C的极坐标方程；
（Ⅱ）射线OM：θ = α（其中）与圆C交于O、P两点，与直线l交于点M，射线ON：与圆C交于O、Q两点，与直线l交于点N，求的最大值。

9.在平面直角坐标系中，以坐标原点O为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.已知直线的参数方程为（为参数），曲线C的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程和直线的普通方程；
（2）设直线与曲线交于两点，点，求的值.

10.在极坐标系中，已知圆的圆心，半径
（Ⅰ）求圆的极坐标方程；
（Ⅱ）若，直线的参数方程为（为参数），直线交圆于两点，求弦长的取值范围
11.已知曲线的参数方程为（为参数）.以直角坐标系的原点为极点，轴的正半轴为极轴建立坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的普通方程和曲线的直角坐标方程；
（2）若过点的直线与曲线交于，两点，与曲线交于，两点，求的最大值.

12.如图，在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，极坐标系中，弧所在圆的圆心分别为，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧，曲线是弧.
（1）分别写出的极坐标方程；
（2）直线的参数方程为（为参数），点的直角坐标为，若直线与曲线有两个不同交点，求实数的取值范围，并求出的取值范围.

13.在极坐标系中，已知点到直线的距离为3.
（1）求实数的值；
（2）设是直线上的动点，在线段上，且满足，求点轨迹方程，并指出轨迹是什么图形.