(全国通用)高考数学二轮热点题型归纳与变式演练 专题3-2 含参讨论（原卷+解析）学案

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目录
TOC \ "1-3" \h \u \l "_Tc29376" 一、热点题型归纳1
\l "_Tc17993" 【题型一】 讨论思维基础：求导后一元一次参数在常数位置（单参）1
\l "_Tc26924" 【题型二】 讨论思维基础：求导后一元一次参数在系数位置（单参）2
\l "_Tc12217" 【题型三】 讨论思维基础：求导后一元一次参数在“斜率”和常数位置（双参）3
\l "_Tc30563" 【题型四】 上下平移思维基础：反比例函数型4
\l "_Tc30563" 【题型五】 上下平移：指数型5
\l "_Tc30563" 【题型六】 上下平移：对数型6
\l "_Tc30563" 【题型七】 一元二次可因式分解型7
\l "_Tc30563" 【题型八】 一元二次不能因式分解型8
\l "_Tc30563" 【题型九】 双线法：指数型9
\l "_Tc30563" 【题型十】 双线法：对数型10
\l "_Tc30563" 【题型十一】 含三角函数讨论11
\l "_Tc30563" 【题型十二】 二阶求导型12
\l "_Tc30563" 【题型十三】 已知单调性求参13
\l "_Tc30563" 【题型十四】 不确定单调增或减求参13
\l "_Tc30563" 【题型十五】 存在单调增（减）区间求参14
\l "_Tc30563" 【题型十六】 非单调函数求参15
\l "_Tc21895" 二、最新模考题组练16
讨论核心思维：对于许多中等学生而言，研究单调性需要解，但是这个是计算，容易解错或者遗漏，优秀学生则容易在此处花费时间，本专题核心思想是怎么把可能复杂的解不等式计算转化为简单的等式计算，快速找到讨论点。
导数求单调性含参讨论，直接题型大多是位于大题第一问，而大题第二问，以及小题难题，往往却需要分类讨论的应用能力。本专题围绕研究的是讨论点的寻找和训练，故所选大题，解析答案处大多数把第二问暂时去掉。
前三个专题是思维基础，要把这看似简单的题型讲解透彻
【题型一】 讨论思维基础：求导后一元一次型参数在常数位置（单参）
【典例分析】
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若函数与的图像有两个不同的公共点，求的取值范围.
【提分秘籍】
基本规律
1.如定义域不是R，而是区间形式，则存在区间端点值。记下区间端点值。
2.求导分解因式后，不确定正负的部分是一元一次形式：kx+b，其中k是已知（非零），参数在b处。
3.可得零点，令x等于定义域端点值，则可得讨论点。
4.以讨论点为分界点，分段讨论，不要忘了分界点。
【变式演练】
1.已知函数，，其中.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
2.已知函数.
（1）求的单调区间
（2）若的极值点为，且，证明：.
【题型二】 讨论思维基础：求导后一元一次型参数在系数位置（单参）
【典例分析】
已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）若是的两个极值点，证明：.
【提分秘籍】
基本规律
对于求导后kx+b，其中b是已知，参数在k处
1.令k=0，得第一讨论点
2.令动根=定义域端点值，可得其余讨论点
3.以讨论点为分界点，分段讨论，不要忘了分界点。
4.注意对应讨论点斜率正负。根的位置，画出对应图像，查找落在定义域部分正负
【变式演练】
1.已知函数fx=alnx+1x+4，其中a∈R．
（1）讨论函数fx的单调性；
（2）对任意x∈1,e，不等式fx≥1x+x+12恒成立，求实数a的取值范围．
2.己知函数(其中为自然对数的底数)
（1）讨论函数的单调性;
（2）当时，若恒成立，求实数的取值范围.
3.已知函数，，其中.
（1）试讨论函数的单调性；
（2）若，证明：.
【题型三】 讨论思维基础：求导后一元一次型参数在“斜率”和常数位置（双参）
【典例分析】
已知函数，其中，．
（1）讨论函数的单调性；
（2）设函数的导函数为．若函数恰有两个零点，，证明：．
【提分秘籍】
基本规律
对于求导后kx+b，其中k、b皆为参数 ，同第二种类型
1.令k=0，得第一讨论点
2.令动根=定义域端点值，可得其余讨论点
3.注意对应讨论点斜率正负。根的位置，画出对应图像，查找落在定义域部分正负
4.以讨论点为分界点，分段讨论，不要忘了分界点。
【变式演练】
1.已知函数，其中e为自然对数的底数．
（1）求函数f（x）的单调区间；
（2）取a＝0并记此时曲线y＝f（x）在点（其中）处的切线为l，l与x轴、y轴所围成的三角形面积为，求的解析式及的最大值．
2.函数()．讨论的单调性﹒
3.已知．
（1）求的单调区间；
（2）设，，为函数的两个零点，求证：．
【题型四】 上下平移思维基础：反比例函数型
【典例分析】
已知函数．
（1）求的极值；
（2）若（e为自然对数的底数）时恒成立，求a的取值范围．
【提分秘籍】
基本规律
若 ，
1.在定义域内画出r(x)图像
2.以参数b的平移为讨论点，进行分类讨论。
3.一定要注意理解“反比例”函数的水平渐近线
4.还要注意定义域的不同，是否决定“反比例函数”是否有界。
5.授课时要讲清楚，如果把导函数一通分，就变成了其余类型的分类讨论了。可和“反比例”讨论法作对比
【变式演练】
1.设函数.
（1）若在点处的切线为，求a，b的值；
（2）求的单调区间.
2.已知．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，对任意都有成立，求实数a的最大值．
【题型五】 上下平移：指数型
【典例分析】
已知函数.
（1）讨论函数的极值；
（2）若函数在上的最小值是，求实数的值.
【提分秘籍】
基本规律
指数型，主要是底数为e的类型。若 ，
1.当a=0可得讨论点
2.讨论a，b同号时
3.当a，b异号时，令动根等于定义域端点值，可得讨论点
4.在定义域内画出r(x)图像
5.要注意的水平渐近线，以及定义域内的有界性。
【变式演练】
1.设函数.
（1）求函数的极值；
（2）若在时恒成立，求的取值范围.
2.设函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）若函数有两个不同的零点，，为的导函数，求证：．
【题型六】 上下平移：对数函数型
【典例分析】
已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围；
（3）设，求证：．
【提分秘籍】
基本规律
形如若 ，此函数必为单调函数。
1.底数含参，可得底数大于或者小于1讨论点
2.k的正负，可得讨论点
3.令可得动根，令其等于定义域端点值，可得讨论
4.在定义域内画出对应讨论的图像
【变式演练】
1.已知函数，（其中a为非零实数）．（1）讨论的单调性；
（2）若函数（e为自然对数的底数）有两个零点．
①求实数a的取值范围；
②设两个零点分别为、，求证：．
2.已知函数．
（1）求函数的单调区间；
（2）当函数与函数图象的公切线经过坐标原点时，求实数的取值集合；
（3）证明：当时，函数有两个零点，，且满足．
3.设为实数，且，函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围.
【题型七】 一元二次可因式分解型
【典例分析】
已知函数．（1）设讨论函数的单调性；
（2）当时，函数在区间（，a，）上的最大值和最小值分别为和，求实数t的取值范围．
【提分秘籍】
基本规律
1.定义域
2.可分解为f(x)=(mx-a)(nx-b)型
3.二次项系数如果有参，令其等于零，可得讨论点
4.动根等于定根，可得讨论点
5.动根等于定义域端点值，可得讨论点
6.以上讨论点，序轴标记，画出对应讨论图像，在定义域内看正负得增减即可。
【变式演练】
1.已知函数.
（1）讨论的单调性.
（2）当时，证明：.
2.设函数，其中.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，若的图像与直线没有公共点，求的取值范围.
3.已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，方程有四个根，求实数的取值范围．
【题型八】 一元二次不能因式分解：判别式+韦达定理+求根公式
【典例分析】
已知函数（）.
（1）讨论的单调性；
（2）若，且正数满足，证明.
【提分秘籍】
基本规律
1.定义域
2.二次项系数等于零，得讨论点
3.判别式等于零得讨论点
4.韦达定理等于零得讨论点
5求根公式求出根，待用。（注意根的分母是否含参数，如含参，注意相应参数范围时候根的大小）
6.序轴标记讨论点，分类讨论
7.讨论思考顺序：开口上下→判别式正负→韦达定理→求根公式
【变式演练】
1.已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）设存在两个极值点，且，若，求证：.
2.已知函数（）
（1）讨论的单调性
（2）当时，若函数的两个零点为，判断是否其导函数的零点？并说明理由
3.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，，求的取值范围.
【题型九】 双线法：指数型
【典例分析】
已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若函数有两个不同的零点，求的取值范围．
【提分秘籍】
基本规律
以【典例分析】题说明双线法思维分解图
1.第一线：
2.第二线：
3.双线共系：
4.可讨论动根与定根的大小关系，然后知两线函数值积的正负
5.要留意指数函数有渐近线，所以讨论时候注意“第二线”是否有根
【变式演练】
1.已知函数，其中．
（1）讨论的单调性；
（2）若，设，求证：函数在区间内有唯一的一个零点．
2.已知函数（其中，为自然对数的底数）．
（1）讨论函数的单调性；
（2）当时，，求的取值范围．
3.已知函数.
（1）讨论的单调性；
（2）当时，令，若是函数的极值点，且，求证：.
【题型十】 双线法：对数型
【典例分析】
已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，恒成立，求实数的取值范围．
【提分秘籍】
基本规律
1.同指数双线法思维
2.要注意对数定义域限制（竖直渐近线）
【题型十一】 含三角函数型讨论
【典例分析】
已知函数.
（1）求函数的单调区间；
（2）如果对于任意的，恒成立，求实数的取值范围；
（3）设函数.过点作函数的图象的所有切线，令各切点的横坐标构成数列，求数列的所有项之和S的值.
【提分秘籍】
基本规律
1.三角形式注意适当合理的恒等变形
2.充分利用三角函数正余弦的有界性。
【变式演练】
1.已知函数．
（1）讨论函数在区间上的单调性；
（2）求函数的最值．
2.已知.
（1）求的单调区间；
（2）若，证明:当时，有且只有两个零点.
【题型十二】 二阶求导讨论型
【典例分析】
已知函数（其中为自然对数的底数）.
（1）讨论函数的导函数的单调性；
（2）设，若x＝0为g（x）的极小值点，求实数a的取值范围.
【提分秘籍】
基本规律
1.一阶导函数难以“看出”正负
2.二阶导函数基本符合常见讨论思维
3.一节导函数大多数存在“零点”或者最值作为“看正负”的关键数据
【变式演练】
1.己知函数，，其中为常数，函数与轴的交点为，函数的图象与y轴的交点为，函数在点的切线与函数在点处的切线互相平行．（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）求函数的单调区间；
2.已知函数.
（1）判断在上的单调性；
（2）时，求证：（为自然对数的底数）.
3.已知函数f(x)=(x+a)ln(x+1)-ax.
（1）若a=2，求f(x)的单调区间；
（2）若a≤-2，-12x(1-e-x).
【题型十三】 已知单调性求参
【典例分析】
已知函数.（1）若在上是增函数，求的取值范围；
【提分秘籍】
基本规律
已知单调性（增或者减），可转化为导函数恒大于零或者小于零，则为恒成立。大多数可参变分离。
【变式演练】
1.已知函数．
（1）若在上为增函数，求实数的取值范围；
2.已知函数．
（1）若函数在定义域上是单调递增函数，求实数的取值范围；
3.已知函数．（1）若函数在上是减函数，求实数的取值范围；
【题型十四】 不确定单调增或减求参
【典例分析】
已知函数f(x)＝x2＋alnx.(2)若g(x)＝f(x)＋在[1，＋∞)上是单调函数，求实数a的取值范围．
【提分秘籍】
基本规律
需要对单调性分增减讨论。
【变式演练】
1.已知函数，其中为常数．(Ⅱ)若在区间上单调函数，求实数的取值范围；
2、已知函数．
（1）若是定义域上的单调函数，求的取值范围；
（2）若在定义域上有两个极值点，，证明：．
3.已知函数f(x)=ex-ax2-bx-1（a，bR），e=2.71828…为自然对数的底数．
（1）设g(x)=f′(x)，若g(x)是（0，2）上的单调函数，求a的取值范围；
（2）若f（2）=0，函数f(x)在（0，2）上有零点，求a的取值范围．
【题型十五】 存在单调增（减）区间
【典例分析】
已知函数在处的切线与直线垂直，函数.
（1）求实数的值；（2）若函数存在单调递减区间，求实数的取值范围；
【提分秘籍】
基本规律
1.可一元二次根的分布
2.可参变分离求“存在”型最值
3.可转化为“有解”型分类讨论
【变式演练】
1.已知函数，其中a为实常数．
（1）若f(x)在上存在单调递增区间，求a的取值范围；
2.已知函数．
（1）若曲线在点处的切线方程为，求实数a，b的值；
（2）若函数在区间上存在单调增区间，求实数a的取值范围；
（3）若在区间上存在极大值，求实数a的取值范围（直接写出结果）．
3.已知函数，.
（1）若函数存在单调增区间，求实数的取值范围；
（2）若，为函数的两个不同极值点，证明：.
【题型十六】 非单调函数求参
【典例分析】
已知函数，其中.
（1）如果曲线与轴相切，求的值；
（2）如果函数在区间上不是单调函数，求的取值范围.
【提分秘籍】
基本规律
1.可转化为“否命题”
2.可借助函数图像最值值域等来研究
【变式演练】
1.已知函数的导数为，函数.
（1）求；
（2）求最小正周期及单调递减区间；
（3）若，不是单调函数，求实数的取值范围.
2.已知函数.
（1）设，若存在两个极值点，，且，求证：；
（2）设，在不单调，且恒成立，求的取值范围.（为自然对数的底数）.
3.设函数，，
（1）当时，若函数在上单调递增，求的取值范围：
（2）若函数在定义城内不单调，求的取值范围：
（3）是否存在实数，使得对任意正实数恒成立?若存在，求出满足条件的实数；若不存在，请说明理由.
1.已知函数，.
（1）讨论的单调性；
（2）若关于的不等式在上恒成立，求的取值范围.
2.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）若恒成立，求实数a的值．
3.已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）当时，求函数在内的零点个数．

4.已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
5.已知函数（）.
（1）求函数的单调区间；
（2）当时，若，（）满足，求证：.
6.已知函数．
（1）讨论函数的单调性；
（2）若不等式对任意恒成立，求实数a的取值范围．
7.设函数.
（1）求函数的单调增区间；
（2）当时，记，是否存在整数，使得关于x的不等式有解？若存在，请求出的最小值；若不存在，请说明理由.（参考数据：）

8.已知函数
（1）若，试求曲线在点处的切线方程；
（2）讨论的单调性．

9.已知函数.
（1）当时，求函数的极值；
（2）讨论函数的单调性.

10.已知，．
（1）求的单调区间；
（2）若时，恒成立，求m的取值范围．

11.已知函数.
（1）求在（为自然对数的底数）上的最大值；
（2）对任意给定的正实数，曲线上是否存在两点P，Q，使得是以О为直角顶点的直角三角形，且此直角三角形斜边的中点在y轴上?
12.已知函数
（1）若函数在处的切线方程为，求的值；
（2）若函数在区间上存在单调增区间，求的取值范围；
（3）当时，证明：对任意恒成立.
13.设函数（）（是一个无理数）
（1）若函数在定义域上不是单调函数，求a的取值范围；
（2）设函数的两个极值点为和，记过点、的直线
的斜率为k，是否存在a， 使得？若存在，求出a的取值集合；若不存在，请说明理由．
14.已知函数f（x）=x2﹣2x+alnx，是函数f（x）的极值点．
（1）若，求函数f（x）的最小值；
（2）若f（x）不是单调函数，且无最小值，证明：f（x0）＜0．