专题16.1 二次根式（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）学案

专题16.1  二次根式（知识讲解）

【知识目标】

1、认知二次根式的概念，掌握被开方数是非负数的原因.

2、掌握三个重要的结论： ≥0，（≥0），（≥0），（≥0），利用它们进行计算和化简．

【知识要点】

要点一、二次根式及代数式的概念
1.二次根式：一般地，我们把形如(a≥0)的式子叫做二次根式，“”称为二次根号．
要点诠释：
　　二次根式的两个要素：①根指数为2；②被开方数为非负数.

2.代数式：形如2，a，p-q，m n，，x3，这些式子，用基本的运算符号加、减、乘、除、乘方、开方把数和表示数的字母连接起来的式子，我们称这样的式子为代数式.

要点二、二次根式的性质
1.≥0，（≥0）；
2. （≥0）；
3..
要点诠释：
1.二次根式(a≥0)的值是非负数。一个非负数可以写成它的算术平方根的形式，

即.

2.与要注意区别与联系：1).的取值范围不同，中≥0，中为任意值。

2).≥0时，==；<0时，无意义，=.

【典型例题】

类型一、二次根式的概念
1．当a为实数时，下列各式、、、、、是二次根式的有多少个（    ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

【答案】B

【详解】解：∵，，，，

∴、、、四个是二次根式，

因为是实数时，、不能保证是非负数，因此与不是二次根式，

故选：B.

【总结升华】本题主要考查了二次根式的定义，关键是掌握二次根式中的被开方数为非负数．

【变式】下列各式中：①；②；③；④；⑤，一定是二次根式的个数是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

【答案】C

【分析】根据二次根式的定义，被开方数≥0，进行分析解答．

【详解】

①，须满足，故不符合题意；②，被开方数＞0，故符合题意；

③，被开方数＞0，故符合题意；④被开方数≥0，故符合题意；

⑤，须满足，故不符合题意；

故选C．

【总结升华】本题考查二次根式的定义，熟练掌握被开方数的非负性是关键．

2.若有意义，则x的取值范围是（）

A． B．

C．且 D．且

【答案】D

【分析】根据二次根式有意义的条件可得，再根据分式有意义的条件可得，再解即可．

【详解】由题意得：，且，
解得：且，
故选：D．

【总结升华】此题主要考查了二次根式和分式有意义条件，关键是掌握分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．

【变式】下列格式中，一定是二次根式的是（  ）.

  A.    B.   C.     D.

【答案】B.

类型二、二次根式的性质
3.若，则实数x满足的条件是（    ）

A．x=2 B．x≥2 C．x＜2 D．x≤2

【答案】D

【分析】根据二次根式的性质即可得出，由此得解．

【详解】∵，

∴，即．

故选：D．

【总结升华】本题考查二次根式的性质．熟记二次根式的性质是解题关键．

举一反三：

【变式】（1）=_____________. 

（2）=_____________.  

【答案】(1) 10;(2)  0. 

4.实数在数轴上的位置如图所示，则化简结果为（　　）

A．7 B．-7 C． D．无法确定

【答案】A

【分析】

先根据点a在数轴上的位置判断出及的符号，再把原式进行化简即可．

【详解】

解：∵由图可知，5＜a＜10，
∴，，
∴原式，

故选：A．

【总结升华】本题考查的是二次根式的性质与化简，先根据题意得出的取值范围是解答此题的关键．

【变式】等式成立的条件是  （    ）

A．x≥1 B．x≥﹣1 C．﹣1≤x≤1 D．x≥1或x≤﹣1

【答案】A

【解析】

∵等式成立，

∴ ，解得

故选A.

【总结升华】成立的条件是：且.