专题17.1 勾股定理（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）学案

专题17.1  勾股定理（知识讲解）

【学习目标】

1. 掌握勾股定理的内容及证明方法，能够熟练地运用勾股定理由已知直角三角形中的两条边长求出第三条边长．

2. 掌握勾股定理，能够运用勾股定理解决简单的实际问题，会运用方程思想解决问题．

3. 熟练应用勾股定理解决直角三角形中的线段最值和实际问题，进一步运用方程思想解决问题．

【要点梳理】

要点一、勾股定理

直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.如果直角三角形的两直角边长分别为，斜边长为，那么.

要点诠释：（1）勾股定理揭示了一个直角三角形三边之间的数量关系.

         （2）利用勾股定理，当设定一条直角边长为未知数后，根据题目已知的线段长可以建立方程求解，这样就将数与形有机地结合起来，达到了解决问题的目的.

　 （3）理解勾股定理的一些变式：

，， .

要点二、勾股定理的证明

方法一：著名的赵爽弦图（如图①，其中四个直角三角形较大的直角边长都为，较小的直角边长都为，斜边长都为），大正方形的面积可以表示为，也可以表示为，由此推导出重要的勾股定理：如果直角三角形两条直角边长为，，斜边长为，则．

证明：梯形ABCD的面积为，

也可以表示为，

∴，

整理得：；

方法二：（1）图②为美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”，请你利用图②推导勾股定理．

　证明： ，所以.

要点三、勾股定理的作用

1. 已知直角三角形的任意两条边长，求第三边；
2. 用于解决带有平方关系的证明问题；
3. 利用勾股定理，作出长为的线段.
4. 利用勾股定理，求最值

【典型例题】

类型一、勾股定理的证明

1．勾股定理神秘而美妙，它的证法多样，其巧妙各有不同，其中的“面积法”给了小聪以灵感，他惊喜的发现，当两个全等的直角三角形如图1或图2摆放时，都可以用“面积法”来证明，请你利用图1或图2证明勾股定理（其中∠DAB＝90°）

求证：a2+b2＝c2．

利用图1进行证明：

证明：∵∠DAB＝90°，点C，A，E在一条直线上，BC∥DE，则CE＝a+b，

∵S四边形BCED＝S△ABC+S△ABD+S△AED＝ab+c2+ab，

又∵S四边形BCED＝（a+b）2，

∴ab+c2+ab＝（a+b）2，

∴a2+b2＝c2．

利用图2进行证明：

证明：如图，连结DB，过点D作BC边上的高DF，则DF＝EC＝b﹣a，∵S四边形ADCB＝S△ACD+S△ABC＝b2+ab．

又∵S四边形ADCB＝S△ADB+S△DCB＝c2+a（b﹣a），

∴b2+ab＝c2+a（b﹣a），

∴a2+b2＝c2．

【思路点拨】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是利用构图法来证明勾股定理.

类型二、勾股定理的直接应用

2．在 Rt△ABC 中，∠C=90°

① 若 a=40，c=41， 则 b=            ；

②若 c=13， b=5，则 a=            ；

③ 己 知 a：b=3：4， c=15， 则 a=       ；b=       ．

解：∵在中，，

∴,

（1）∵，>0,

∴；

（2）∵，>0

∴

（3）∵，

∴设，

又∵，，

∴，

∴，

∴；

故答案为：①9；②12；③9；12.

【总结升华】已知直角三角形的两边长，求第三边长，关键是先弄清楚所求边是直角边还是斜边，再决定用勾股原式还是变式．

举一反三：

【变式1】求下列直角三角形未知边AB的长

解：∵在中，，

∴，

又∵，

∴．

∴.

【思路点拨】本题考查了勾股定理：在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和等于斜边长的平方．

【变式2】如图，在中，，若，，则上的高是多少？

解：Rt△ABC中，∵∠C=90°，AC=6，CB=8，

∴由勾股定理，得．

由面积公式，得，即，

∴．

【思路点拨】本题考查了勾股定理和三角形面积公式的应用，正确掌握直角三角形的性质是解题关键．

类型三、利用勾股定理作长度为的线段

3.细心观察图形，认真分析各式，然后解答问题．

OA22=，；

OA32=12+，；

OA42=12+，…

（1）请用含有n（n是正整数）的等式表示上述变规律：OAn2=______；Sn=______．

（2）求出OA10的长．

（3）若一个三角形的面积是，计算说明他是第几个三角形？

（4）求出S12+S22+S32+…+S102的值．

【答案】（1）OAn2＝n；Sn＝；（2）OA10＝；（3）说明他是第20个三角形；（4）．

【解析】

（1）利用已知可得OAn2，注意观察数据的变化，
（2）结合（1）中规律即可求出OA102的值即可求出，
（3）若一个三角形的面积是，利用前面公式可以得到它是第几个三角形，
（4）根据题意列出式子即可求出．

解：（1）结合已知数据，可得：OAn2＝n；Sn＝；

（2）∵OAn2＝n，

∴OA10＝；

（3）若一个三角形的面积是，根据：Sn＝＝，

∴＝2＝，

∴说明他是第20个三角形，

（4）S12+S22+S32+…+S102，

＝，

＝，

＝，

＝．

故答案为（1）OAn2＝n；Sn＝；（2）OA10＝；（3）说明他是第20个三角形；（4）．

【点拨】本题考查规律型：图形的变化类，勾股定理的应用.

【变式】如图，直线l垂直数轴于原点在数轴上，用尺规作出表示的点E（不写作法，保留作图痕迹）．

【答案】如图所示，见解析；点E是表示．

【分析】由，根据勾股定理可知：作一个直角边分别为2、3的直角三角形，斜边即为，然后以原点为圆心，以为半径作圆，与原点左侧交点即为所求.

解：由，根据勾股定理可知：作一个直角边分别为2、3的直角三角形，斜边即为，然后以原点为圆心，以为半径作圆，与原点左侧交点即为所求.

如图所示，点E是表示．

【点拨】此题考查的是在数轴上找到表示无理数的点，利用勾股定理画出长度为的线段是解决此题的关键.

类型四、勾股定理的方程思想 

4.如图，在中， ，为边上一点，且，．
（1）求的长；   

（2）若，求的面积．

解：（1）设，则，

在中，，，

则，

解得（负值舍去），

．

（2），

，

，

．

【点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟悉相关性质是解题的关键．

【变式】古代数学的“折竹抵地”问题：“今有竹高九尺，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？”意思是：现有竹子高9尺，折后竹尖抵地与竹子底部的距离为3尺，问折处高几尺？即：如图，尺，尺，则等于多少尺？

解：设尺，则尺，

由题意得：，

则是直角三角形，

由勾股定理得：，即，

解得，

即尺，

答：等于4尺．

【点拨】本题考查了勾股定理的实际应用，熟练掌握勾股定理是解题关键．

类型五、利用勾股定理求最值

5.如图，等腰中，，，点E是的垂直平分线上的动点，点D是边上的动点，则的最小值是________．

【答案】

【分析】根据EF是线段AB的垂直平分线可知，点B关于直线EF的对称点为点A，则AE＝BE，故BE＋DE的最小值为AD时最小，由垂线段最短得当AD⊥BC时最短，由于△ABC是等腰三角形，可得BD＝2，根据勾股定理即可得出结论．

解：连接AD，

∵EF是线段AB的垂直平分线，

∴点B关于直线EF的对称点为点A．

∴AE＝BE．

∴BE＋DE的最小值为AD．

∵由垂线段最短

则当AD⊥BC时最短．

∵△ABC是等腰三角形，AB＝AC＝6，BC＝4，

∴当AD⊥BC时，BD＝2．

∴AD＝＝．

故答案为：．

【思路点拨】本题考查了勾股定理的应用，熟知等腰三角形三线合一的性质和利用轴对称构造最短路线是解答此题的关键．

【变式】如图，一个高，底面周长的圆柱形水塔，现制造一个螺旋形登梯，为了减小坡度，要求登梯绕塔环绕一周半到达顶端，问登梯至少为___________长．

【答案】20m．

【分析】要求登梯的长，需将圆柱的侧面展开，进而根据“两点之间线段最短”得出结果，在求线段长时，借助于勾股定理．

解：将圆柱表面按一周半开展开呈长方形，    

∵圆柱高16m，底面周长8m，设螺旋形登梯长为xm，

∴x2=（1×8+4）2+162=400，

∴登梯至少=20m

故答案为：20m

【点拨】本题考查圆柱形侧面展开图新问题，涉及勾股定理，掌握按要求将圆柱侧面展开图形的方法，会利用圆周，高与对角线组成直角三角形，用勾股定理解决问题是关键．

类型六、利用勾股定理解决折叠问题

6.如图，点E为矩形的边上一点，以为折痕将向上折叠，点B恰好落在边上的点F处，若，，则的长是__________．

【答案】10

【分析】根据折叠与勾股定理的性质求出AF=4,设BC为x，则AD=x=FC，得到DF=x-4,在Rt△CDF中得到FC2=DF2+CD2，故可求出BC的长．

解：∵折叠，，，

∴EF=5，BC=FC

∴AF=

设BC为x，则AD=x=FC，DF=x-4,

由CD=AB=AE+BE=8

∴在Rt△CDF中得到FC2=DF2+CD2，

故x2=(x-4)2+82，

解得x=10

即BC=10

故答案为：10．

【点拨】此题主要考查勾股定理的应用，解题的关键是熟知折叠的性质及勾股定理的应用．

【变式】如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使点D与点B重合，已知AB＝3，AD＝9，则BE的长为_____．

解：根据翻折性质：，则，

设，则，

在中，由勾股定理可得：

解得：

故答案为：5．

【点拨】本题考查了翻折的性质及勾股定理求解边长，熟练运用勾股定理建立方程求解是解题关键．

类型七、利用勾股定理解决实际问题

7.某段限速公路m上规定小汽车的行驶速度不得超过70千米/小时，如图所示，已知测速站C到公路m的距离CD为米，一辆在该公路上由北向南匀速行驶的小汽车，在A处测得测速站在汽车的南偏东30°方向，在B处测得测速站在汽车的南偏东60°方向，此车从A行驶到B所用的时间为3秒

（1）求从A到B行驶的路程

（2）通过计算判断此车是否超速？

解：（1）设BD=x米，则有BC=2x米，由题意得：∠CAD=30°，∠CBD=60°，

∴∠ACB=30°，

∴∠CAB=∠BCA，

∴AB=BC=2x米，

∵AD⊥CD，米，

∴米，

∴米，

∴，

解得，

∴AB=60米；

（2）由（1）得：AB=60米，

∴此小汽车的速度为：60÷3=20m/s，

∵70千米/小时=m/s，

∴20m/s>m/s，

∴此车超速．

【总结升华】本题主要考查方位角及含30°角的直角三角形的性质、勾股定理，熟练掌握方位角及含30°角的直角三角形的性质、勾股定理是解题的关键．

【变式】如图，铁路和公路在点处交汇，．公路上处距点240米．如果火车行驶时，周围200米以内会受到噪音的影响．那么火车在铁路上沿方向以72千米/时的速度行驶时，处受噪音影响的时间为多少？（补充知识：在直角三角形中，所对的直角边是斜边长的一半）

【答案】处受噪音影响的时间为16秒．

【分析】

首先过点A作AC⊥MN，求出最短距离AC的长度，然后在MN上取点B、D，使AB=AD=200，根据勾股定理得出BC和CD的长度，即可求出BD，然后计算出时间即可．

解：如图：过点A作AC⊥MN，

∵∠QON=30°，OA=240米，
∴AC=120米<200米，
在MN上取点B、D，使AB=AD=200，当火车在BD上时A处产生噪音影响，
∵AC=120米，
∴由勾股定理得：BC=160米，CD=160米，

即BD=320米，
∵72千米/小时=20米/秒，
∴影响时间应是：320÷20=16秒．

答：处受噪音影响的时间为16秒．

【点拨】本题主要考查了勾股定理，解本题要点在于找出受影响的路段，从而利用勾股定理求出其长度．