专题17.2 勾股定理（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

专题17.2  勾股定理（专项练习）

一、单选题

1．下列各组数是勾股数的是（　　）

A．0.3，0.4，0.5 B．5，7，9

C．4，5，6 D．6，8，10

2．如图 ，点 A 表示的实数是（    ）

A． B． C． D．

3．如图，为了测量池塘的宽度，在池塘周围的平地上选择了、、三点，且、、、四点在同一条直线上，，已测得，，，，则池塘的宽度（    ）

A． B． C． D．

4．如图，直角三角形的三边上的半圆面积之间的关系是（    ）

A． B． C． D．无法判断

5．边长为2的正方形的对角线长是（      ）

A． B．2 C．2 D．4

6．如图，一轮船以12海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以5海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口2小时后两船相距（   ）

A．13 海里 B．16 海里 C．20 海里 D．26 海里

7．下面各图中，不能证明勾股定理正确性的是（　　）

A． B． C． D．

8．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，则斜边AB上的高是（    ）

A． B． C．9 D．6

9．如图1是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的，若，将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所示的“数学风车”，则这个风车的外围周长是（    ）

A．52 B．68 C．72 D．76

10．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，下列结论中错误的是（    ）

A．BD平分∠ABC B．△BCD的周长等于AB＋BC

C．AD＝BD＝BC D．△BCD的面积等于△BED的面积

11．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，且，在y轴上确定一点P，使为等腰三角形，则所有符合题意的点P的坐标有（    ）

A．3个 B．4个 C．5个 D．6个

12．“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．设直角三角形较长直角边长为a，较短直角边长为b．若ab＝6，大正方形的面积为16，则小正方形的面积为（　　）

A．8 B．6 C．4 D．3

13．如图，在平面直角坐标系中，顶点A，B的坐标分别是，，，则顶点C的坐标为（　　　）

A． B． C． D．

二、填空题

14．如图，有一个透明的直圆柱状的玻璃杯，现测得内径为5cm，高为12cm，今有一支15cm的吸管任意斜放于杯中，若不考虑吸管的粗细，则吸管露出杯口外的长度最少为____．

15．在直角三角形ABC中，斜边，则________．

16．一根竹子，原高十尺，一阵风将竹子折断，其竹端恰好抵地，抵地处离竹子底端6尺远，则折断处离地面的高度是___________．

17．如图，每个方格都是边长为1的小正方形，则AB＋BC＝_____．

18．如图所示，△ABC的顶点A、B、C在边长为1的正方形网格的格点上，BD⊥AC于点D，则BD的长为____________

19．在直角坐标系中，点到原点的距离是_______．

20．若等腰三角形的腰长为5，底边长为6，则其腰上的高为 _________．

21．如图，在三角形纸片中，,折叠纸片，使点落在边上的点处，折痕与交于点，则折痕的长为_____________；

22．如图所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形，巧妙地利用面积关系证明了一个定理，这是我国古代数学的骄傲．这个定理就是_____定理．

23．《九章算术》是我国古代重要的数学著作之一，其中记载了一道“折竹抵地”问题：今有竹高一丈，末折抵地，去本三尺，问折者高几何？译为：如图所示，中，求的长．在这个问题中，可求得的长为_________．

24．如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为12cm，底面周长为10cm，在容器内壁离容器底部3cm的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿3cm的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是______cm．

25．如图，在中，，的垂直平分线分别交，于两点，若，，则的长为______________．

26．如图，在平面直角坐标系中，点的坐标是，点的坐标是，在轴和轴上分别有两点、，则，，，四点组成的四边形的最小周长为__．

三、解答题

27．如图，在中，．

（1）尺规作图：在BC上作点D，使得；（保留作图痕迹，不写作法）

（2）若，，求BC的长．

28．我们知道，到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．由此，我们可以引入如下新定义：到三角形的两个顶点距离相等的点，叫做此三角形的准外心．

（1）如图1，点P在线段BC上，∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，BP＝CD．求证：点P是△APD的准外心；

（2）如图2，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，△ABC的准外心P在△ABC的直角边上，试求AP的长．

29．如图，在直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，折叠纸片使AC边落在AB边上，点C落在点E处，展开纸片得折痕AD．

（1）直接写出AB的长是________；

（2）求CD的长．

参考答案

1．D

【详解】

A、∵0.32+0.42＝0.52，但不是整数，∴这组数不是勾股数；

B、∵52+72≠92，∴这组数不是勾股数；

C、∵52+42≠62，∴这组数不是勾股数；

D、∵62+82＝102，∴这组数是勾股数．

故选：D．

2．C

【分析】

根据勾股定理、实数和数轴的知识进行解答即可．

解：点 A 表示的实数是1-．

故答案为C．

3．C

解：在Rt△ABC中，

AC＝＝＝80m

所以DE＝AC−AD−EC＝80−20−10＝50m

故选：C．

4．C

【详解】∵，
 

同理，
∵由勾股定理得：，
∴，

∴，
故选：C．

【点睛】本题考查的是勾股定理及圆的面积公式，熟知勾股定理是解答此题的关键．

5．C

解：对角线平方的长是8，
边长为2的正方形的对角线长是2，

故选：C．

【点睛】本题考查了算术平方根，利用了开方运算．

6．D

【分析】根据方位角可知两船所走的方向正好构成了直角．然后根据路程=速度×时间，得两条船分别走了24海里，10海里．再根据勾股定理，即可求得两条船之间的距离．

解：∵两船行驶的方向是东北方向和东南方向，
∴∠BAC=90°，
两小时后，两艘船分别行驶了12×2=24（海里），5×2=10（海里），

根据勾股定理得：（海里）

故选：D．

【点睛】

本题考查了勾股定理的应用，熟练运用勾股定理进行计算，基础知识，比较简单．

7．C

解：A、∵+c2+ab＝（a+b）（a+b），

∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

B、∵4× +（b﹣a）2＝c2，

∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

C、根据图形不能证明勾股定理，故本选项符合题意；

D、∵4× +c2＝（a+b）2，

∴整理得：a2+b2＝c2，即能证明勾股定理，故本选项不符合题意；

故选C．

【点睛】本题考查勾股定理的证明，解题的关键是利用构图法来证明勾股定理.

8．A

【分析】设点C到斜边AB的距离是h，根据勾股定理求出AB的长，再根据三角形的面积公式即可得出结论．

解：设点C到斜边AB的距离是h，

因为在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=9，BC=12，

所以，

.

故选：A.

【点睛】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．

9．D

【详解】

由题意可知

∵

∴

∴风车的外围周长是

故选：D．

10．D

解： AB＝AC，∠A＝36°，

AB的垂直平分线DE交AC于D，交AB于E，

平分，故正确；

故正确；

故正确；

如图，过作于

平分

故错误；

故选：

11．B

【详解】

如图所示：点A的坐标为 (4,−3) ，则AB=5

（1）若OA=AP，则AP=5，此时点P（0，-6）；

（2）若OA=OP，则OP=5，此时点P（0，5），P（0，-5）；

（3）若AP=OP，设OP=AP=x，过A做OP的垂线交y轴与D点，由勾股定理得（x-3）+4 = x，解得x= ，则点P（0，-）．

故选：B．

12．C

【分析】

解：根据勾股定理得：，且ab＝6，

∴小正方形的面积＝（a﹣b）2＝a2+b2﹣2ab＝16﹣12＝4，

故选：C．

13．B

解：作CD⊥AB于D，

∵点A，B的坐标分别是(0，4)，(0．-2)，

∴AB=6，

∵CA=CB，CD⊥AB，

∴AD=DB=3，

∴OD=1，

由勾股定理得，CD==4，

∴顶点C的坐标为(4，1)，

故选：B．

14．2cm

解：∵CD=5cm，AD=12cm，∠ADC=90°，
∴，
露出杯口外的长度最少为=15-13=2cm．
故答案为：2cm．

15．

解：∵在直角三角形ABC中，，

∴=4，

∴4+4=8，

故答案为：8．

16．尺

【详解】

设折断处离地面的高度是x，根据题意，折断后的竹子和地面构成直角三角形，

由勾股定理得：x2+62=（10-x）2，

解得：x=3.2，

故答案为：3.2尺．

17．

【分析】根据勾股定理可以求出AB和BC的长，进而可求出AB+BC的值．

解：∵每个方格都是边长为1的小正方形，

∴，

∴AB＋BC＝．

故答案为．

18．3

解：根据网格可知，

BC=5，，

，

解得BD=3，

故答案为：3．

19．

解：过P作PE⊥x轴，连接OP，

∵，

∴PE=3，OE=2．

在中，根据勾股定理得：，

∴，

则点P在原点的距离为．

故答案为．

20．

解：如图，过C点做，设，

∵在中，，

∴，

在中，，，

∴，

即：，

解得：，

∴，

故答案为：．

21．4

【详解】在Rt△ABC中，，

设，则，

∵，即，

解得：，

∴，，

∵折叠△ABC纸片使点C落在AB边上的D点处，
∴∠CBE=∠ABE，
在Rt△ABC中，∠A=30°，

∴∠ABC=60°，

∴∠CBE=∠ABE=∠ABC=30°，

∴∠ABE=∠A=30°，

∴BE=AE，

在Rt△BCE中，∠C=90°，，，

∵，即，

解得：．

22．

【详解】

解：这个定理就是勾股定理，

故答案为勾股．

23．4.55

解：设AC=x，

∵AC+AB=10，

∴AB=10-x．

在Rt△ABC中，∠ACB=90°，

∴AC2+BC2=AB2，即x2+32=（10-x)2

解得：x=4.55，

即AC=4.55．

故答案为：4.55．

24．13

【详解】将圆柱沿A所在的高剪开，展平如图所示，则，

作A关于的对称点，连接，

则此时线段即为蚂蚁走的最短路径，

过B作于点，

则，

在中，

由勾股定理得，

故答案为：13．

25．

【详解】

∵是的垂直平分线，

∴，

∴，

设，则，

在中，

，

即，

解得，

∴．

故答案为: ．

26．．

解：作点关于轴的对称点，点关于轴的对称点，连接交轴于，交轴于，

则此时，四边形的周长最小，且四边形的最小周长，

点的坐标是，点的坐标是，

，，

，，

四边形的最小周长，

故答案为：．

27．解：（1）如图，点D即为所求；

（2）连接AD，

∵DE垂直平分AB，

∴DA=DB，

∴∠DAB=∠B=15°，

∴∠ADC=∠DAB+∠B=15°+15°=30°，

在Rt∆ADC中，DA=2AC=6，

∴DB=6，

∵，

∴，

∴BC=DB+DC=6+．

28．（1）见解析；（2）AP的长为或2或

【分析】（1）利用AAS证明△ABP≌△PCD，得到AP＝PD，由定义可知点P是△APD的准外心；

（2）先利用勾股定理计算AC=4，再进行讨论：当P点在AB上，PA＝PB，当P点在AC上，PA＝PC，易得对应AP的值；当 P点在AC上，PB＝PC，设AP＝t，则PC＝PB＝4﹣x，利用勾股定理得到32+t2＝(4﹣t)2，然后解方程得到此时AP的长．

（1）证明：∵∠ABP＝∠APD＝∠PCD＝90°，

∴∠APB+∠PAB＝90°，∠APB+∠DPC＝90°，

∴∠PAB＝∠DPC，

在△ABP和△PCD中，

，

∴△ABP≌△PCD（AAS），

∴AP＝PD，

∴点P是△APD的准外心；

（2）解：∵∠BAC＝90°，BC＝5，AB＝3，

∴AC4，

当P点在AB上，PA＝PB，则APAB；

当P点在AC上，PA＝PC，则APAC＝2，

当P点在AC上，PB＝PC，如图2，

设AP＝t，则PC＝PB＝4﹣x，

在Rt△ABP中，32+t2＝(4﹣t)2，解得t，

即此时AP，

综上所述，AP的长为或2或．

29．（1）10；（2）CD的长是3

解：（1）∵直角三角形纸片ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，

∴AB10，

故答案为：10；

（2）由折叠的性质可知，AC＝AE=6，DC＝DE，∠AED=∠C=90°，

∵AC＝6，AB＝10，

∴AE＝6，BE＝4，

设CD＝x，则BD＝8﹣x，DE＝x，

在Rt△BDE中，由勾股定理得：x2+42＝（8﹣x）2，

解得，x＝3，

则CD的长是3．