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专题17.8 用勾股定理解决折叠中线段问题（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）
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这是一份专题17.8 用勾股定理解决折叠中线段问题（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题17.8 用勾股定理解决折叠中线段问题（专项练习）
一、单选题
1．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．12 B．10
C．8 D．6
3．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C．4.5 D．5
4．已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为( )
A．6cm2 B．8 cm2 C．10 cm2 D．12 cm2
5．如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，其中，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．4．5 D．5
6．如图，将一个边长分别为8，16的矩形纸片ABCD沿EF折叠，使C点与A点重合，则EF与AF的比值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
7．如图，ΔABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分别在AC，BC上，且DE//AB.将ΔABC沿DE折叠，使C点落在斜边AB上的F点处，则AF的长是（ ）
A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4
8．如图，有一张直角三角形纸片，两条直角边，，将折叠，使点和点重合，折痕为，则的长为（ ）
A．1.8 B．2.5 C．3 D．3.75
9．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点和A点重合，则EB的长是( )
A．3 B．4 C．5 D．5
10．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm
11．如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=，则BC的长是（ ）
A． B．3 C．3 D．3
12．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为（ ）
A．31° B．28° C．62° D．56°
13．如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF的长度为( )
A．5 B．3 C．2 D．3
14．如图①是一直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为( )
A．cm B．cm C．cm D．3 cm
15．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH,若BE:EC=2：1，则线段CH的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
16．如图，在中，，，，点在上，将沿折叠，使点落在斜边上的点处，则的长为____．
17．如图，在中，，，，将折叠，使点与点重合，得折痕，则的周长等于____cm．
18．如图已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，则CE的长为___________.
19．如图，在菱形中，点是边的中点，将沿折叠后得到，且点在矩形的内部．将延长交边于点，若，则_____________．
20．如图，将矩形纸片的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，若，，则边的长是_______．
21．如图，有一直角三角形纸片，边，，，将该直角三角形纸片沿折叠，使点与点重合，则四边形的周长为______.
22．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为________．
23．如图，矩形ABCD中，E是AD中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F，若AB=6，BC=，则CF的长为_______
24．如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是____cm．
25．直角三角形纸片的两直角边AC＝8，BC＝6，现将△ABC如图折叠，折痕为DE，使点A与点B重合，则BE的长为__________．
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则折痕BD的长为__________．
27．如图，在中，，，，现将沿进行翻折，使点刚好落在上，则__________．
28．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝ _______．
29．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为____．
30．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________．
31．如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为 ．
三、解答题
32．如图，一张长8cm，宽6cm的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A、C重合，求折痕EF的长．
33．如图所示，沿AE折叠矩形，点D恰好落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
34．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边cm， cm，现将直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
35．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处，已知AB=DC=8，AD=BC=10．求EC的长．
36．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm.当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）.
(1)求BF的长；(2)求EC的长.
37．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出BD的长吗？
38．把长方形ABCD沿AE折叠后，D点恰与BC边上的F重合，如图，已知AB=8，BC=10，求EC的长．
39．如图，将长方形沿直线AE折叠，使顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．
参考答案
1．B
【分析】根据翻折的性质可知：AC＝AE＝6，CD＝DE，设CD＝DE＝x，在Rt△DEB中利用勾股定理解决．
解：在Rt△ABC中，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝=＝10，
△ADE是由△ACD翻折，
∴AC＝AE＝6，EB＝AB−AE＝10−6＝4，
设CD＝DE＝x，
在Rt△DEB中，
∵，
∴，
∴x＝3，
∴CD＝3．
故答案为：B．
【点拨】本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．
2．B
【分析】已知为边上的高，要求的面积，求得即可，求证，得，设，则在中，根据勾股定理求，于是得到，即可得到答案．
解：由翻折变换的性质可知，，
，
设，则，
在中，，即，
解得：，
，
．
故选：．
【点拨】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容，根据折叠的性质得到是解题的关键．
3．A
【分析】先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2＝C′F2求解．
解：∵点C′是AB边的中点，AB＝6，
∴BC′＝3，
由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，
在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，
∴BF2+9＝（9﹣BF）2，
解得，BF＝4，
故选：A．
【点拨】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．
4．A
【分析】首先根据翻折的性质得到ED＝BE，用AE表示出 ED，BE的长度，然后在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度，进而求出AE的长度，就可以利用面积公式求得△ABE的面积了．
解：∵将此长方形折叠，使点B与点D重合，
∴BE=ED．
∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．
∴BE=9﹣AE，
根据勾股定理可知：AB2+AE2=BE2．
∴32+AE2=(9﹣AE)2．
解得：AE=4cm．
∴△ABE的面积为：×3×4=6(cm2)．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了图形的翻折变换和学生的空间想象能力，解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可．
5．D
【分析】设，则，根据矩形的性质和勾股定理列式即可求出答案.
解：设，则．
∵，四边形为矩形，点为的中点．
∴，
在中，由勾股定理得，
即，解得．
故选D．
【点拨】本题考查的是矩形的性质和勾股定理，能够熟练运用所学知识是解题的关键.
6．B
【分析】由折叠前后的两图形全等，得到一些线段相等，连接后转化到一个直角三角形中，由勾股定理可求出线段AF的长，由折叠A与C重合，折痕EF垂直平分AC，进而可以求出EF的长，最后再求EF与AF的比值．
解：连接AC交EF于点O，连接FC，
由折叠得：AF=FC，EF垂直平分AC，
设AF=x，则DF=16-x
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
DF2+CD2=FC2，
即：（16-x）2+82=x2，解得：x=10，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC=，
∴OA=CO=4，
在Rt△FOC中，OF=，
EF=2OF=4，
∴，
故选B．
【点拨】考查折叠的性质、勾股定理、矩形的性质等知识，将所求线段转化到一个直角三角形中是解决问题的关键，利用勾股定理建立方程求解是常用的方法．
7．A
【分析】连接CF，根据勾股定理求得AB长，由三角形ABC的面积可得CF长，勾股定理可得AF长.
解：如图，连接CF，
根据题意，得CF⊥DE.因为DE//AB，所以CF⊥AB.因为∠C=90°，AC=6，BC=8，所以AB=10，所以SΔABC=12AC⋅BC=12AB⋅CF，所以CF=4.8.所以AF2=AC2-CF2=62-4.82=3.62，所以AF=3.6.
故选A.
【点拨】本题主要考查了勾股定理，同时涉及了折叠的性质及三角形的面积，在应用勾股定理求线段长时，可通过添加辅助线构造直角三角形求解.
8．D
【分析】设CD=x，则BD=AD=10-x．在Rt△ACD中运用勾股定理列方程，就可以求出CD的长．
解：设CD=x，则BD=AD=10-x．
∵在Rt△ACD中，（10-x）2=x2+52，
100+x2-20x=x2+25，
∴20x=75，
解得：x=3.75，
∴CD=3.75.
故选：D.
【点拨】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质，用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
9．A
【解析】设BE=x，则AE=EC=8-x，在RT△ABE中运用勾股定理可解出x的值，继而可得出EB的长度．
解：设BE=x，则AE=EC=8-x，
在RT△ABE中，AB2+BE2=AE2，即42+x2=（8-x）2，
解得：x=3．
即EB的长为3．
故选A.
本题考查了翻折变换的知识，解答本题需要在RT△ABE中利用勾股定理，关键是根据翻折的性质得到AE=EC这个条件．
10．B
【解析】∵直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm ∴根据勾股定理可知：BA=√62+82=10
∵A,B关于DE对称，∴BE=10÷2=5
11．B
【分析】折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分. 由折叠的性质可知,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知,所以,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．
解：
AB＝AC，
,
故选B.
【点拨】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．
12．D
【分析】先利用互余计算出∠FDB=28°，再根据平行线的性质得∠CBD=∠FDB=28°，接着根据折叠的性质得∠FBD=∠CBD=28°，然后利用三角形外角性质计算∠DFE的度数．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，
∵∠FDB=90°-∠BDC=90°-62°=28°，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠FDB=28°，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，
∴∠FBD=∠CBD=28°，
∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°．
故选D．
【点拨】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
13．C
解：过F点作FH⊥AD于H，在Rt△EHF中根据勾股定理即可求出EF的长．
解：如图所示，过F点作FH⊥AD于H，
设CF=x，则BF=8−x，
在Rt△ABF中,AB2+BF2=AF2，
∴16+(8−x)2=x2，
解得：x=5，
∴AF=CF=5，
∵AD//BC,
∴∠AEF=∠EFC,
又∵∠AFE=∠EFC,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF=5,
∴EH=AE−AH=2，
∵FH=4，
∴EF2=42+22=20，
∴EF=；
故选C.
14．A
【解析】因为在直角三角形中, ∠A=30°,BC=4,故∠CBA=60°,根据折叠的性质得:
故得:
DB=,,根据折叠的性质得:
,
故△EDB为直角三角形,又因为,故DE=DBtan30°=cm,
故答案选A.
15．B
解：设CH＝x， 因为BE：EC＝2：1，BC＝9，所以，EC＝3， 由折叠知，EH＝DH＝9－x，
在Rt△ECH中，由勾股定理，得：，解得：x＝4，即CH=4
考点：（1）图形的折叠；（2）勾股定理
16．
【分析】先利用勾股定理求出BC,再根据折叠的性质可得，，,设，最后利用勾股定理列出方程即可求出的长．
解:由勾股定理，得．
由折叠可知，，．
设，则，，
．
在中，，
解得，
即的长为
故答案为: ．
【点拨】此题考查的是勾股定理和折叠问题,掌握利用勾股定理解直角三角形和折叠的性质是解决此题的关键．
17．7
【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据翻折的性质，可得AE与CE的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．
解：在中，，，，由勾股定理，得，由翻折的性质，得，的周长为7（cm）．
【点拨】本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折的性质得出CE与AE的关系是解题关键．
18．3cm
【分析】要求CE的长，应先设CE的长为x，由将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得Rt△ADE≌Rt△AFE，所以AF=10cm，EF=DE=8-x；在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，已知AB、AF的长可求出BF的长，又CF=BC-BF=10-BF，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即：（8-x）2=x2+（10-BF）2，将求出的BF的值代入该方程求出x的值，即求出了CE的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10cm，CD=AB=8cm，
根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，
∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE，
设CE=xcm,则DE=EF=CD−CE=(8−x)cm，
在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，
即82+BF2=102，
∴BF=6cm，
∴CF=BC−BF=10−6=4(cm)，
在Rt△ECF中,由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，
即(8−x)2=x2+42，
∴64−16x+x2=x2+16，
∴x=3(cm)，
即CE=3cm.
故答案为：3cm.
【点拨】本题考查翻折变换（折叠问题），解题的关键是掌握折叠的性质和勾股定理.
19．
【分析】连接EG，根据中点和折叠的性质可证Rt△ECG≌Rt△EFG，然后可得，设，从而可得，从而可得BC，再根据矩形的性质结合勾股定理即可求出AB，从而可得答案.
解：连接．
∵点是边的中点，
∴．
∴将沿折叠后得到，
∴，∴．
在和中，
，
∴，
∴．
设．∵，
∴，
∴．
在矩形中，，
∴．
在中，，
∴．
故答案为：.
【点拨】本题是一道综合题，考查的是全等三角形的判定，矩形的性质和勾股定理，能够充分调动所学知识是解答本题的关键.
20．5
【分析】先求出△EFH是直角三角形，再根据勾股定理求出FH=5，再利用全等三角形的性质解答即可．
解：设斜线上两个点分别为P、Q，则P点是A点对折过去的，
∴∠EPH为直角,△AEH≌△PEH，
∴∠HEA=∠PEH，
同理∠PEF=∠BEF，
这四个角互补，
∴∠PEH+∠PEF=90∘，
∴四边形EFGH是矩形，
∴△DHG≌△BFE，△HEF是直角三角形，
∴BF=DH=PF，
∵AH=HP，
∴AD=HF，
∵EH=3cm，EF=4cm，
∴FH=5cm，
∴FH=AD=5cm，
故答案为：5.
【点拨】此题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，全等三角形的性质，解题关键在于求出FH=5.
21．18．
【分析】先由折叠的性质得AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A，进而得出，∠B=∠BCD，求得BD=CD=AD=AB=5，DE为△ABC的中位线，得到DE的长，再在Rt△ABC中，由勾股定理得到AC=8，即可得四边形DBCE的周长．
解：∵沿DE折叠，使点A与点C重合，
∴AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A，
∴∠BCD=90°-∠DCE，
又∵∠B=90°-∠A，
∴∠B=∠BCD，
∴BD=CD=AD=AB=5，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC=3，
∵BC=6，AB=10，∠ACB=90°，
∴AC＝，
∴四边形DBCE的周长为：BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18．
故答案为：18．
【点拨】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．本题中得到ED是△ABC的中位线关键．
22．3cm
【分析】先根据勾股定理求出AB的长,设CD＝xcm ,则cm,再由图形翻折变换的性质可知AE＝AC＝6cm,DE＝CD＝xcm,进而可得出BE的长,在中利用勾股定理即可求出x的值,进而得出CD的长.
解：是直角三角形,AC＝6cm,BC＝8cm,
cm,
是翻折而成,
,
设DE＝CD＝xcm, ,
,
在中, ,
即,
解得x＝3.
故CD的长为3cm.
【点拨】本题考查的是翻折变换及勾股定理,解答此类题目时常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其它线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.
23．2
【解析】分析：根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG；然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形的对应边相等可证得DF=GF；设DF=x，接下来表示出FC、BF，在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可得解.
解：∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE=EG，AB=BG，
∴ED=EG.
∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=90°.
∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，ED=EG，EF=EF，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF，
∴DF=FG.
设CF=x，则DF=6-x,BF=12-x.
在Rt△BCF中，()2+x2=(12-x)2，
解得x=2.
∴CF=2.
故答案为：2.
点拨：本题考查了矩形的性质，勾股定理 ， 翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质.根据“HL”证明Rt△EDF≌Rt△EGF是解答本题的关键.
24．94
解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=6，
∵AE=EB=3，EF=FD，设EF=DF=x.则AF=6−x，
在RT△AEF中,∵AE²+AF²=EF²，
∴3²+(6−x) ²=x²，
∴x=154，
∴AF=6−154=94cm，
故答案为94.
25．
解：∵△ABC沿DE折叠，使点A与点B重合，
∴EA=EB，
∵∠C=90∘，AC=8，BC=6，
∴CE=CA−AE=8−BE，
在Rt△BCE中,∵BE2=BC2+CE2，
∴BE²=6²+(8−BE) ²，
∴BE=.
故答案为:.
26．
解：由折叠得BC′=BC=6；DC′=DC，∠BC′D=∠C＝90°
∵∠C=90°，AC=8，BC=6
∴AB=10
∴AC′=AB－BC′=10－6=4
设DC=x
则DC′=DC=x，则AD=AC－DC=8－x
在Rt△A C′D中，（C′D）2＋（AC′）2= （AD）2
∴x 2＋42= （8－x）2
∴x=3
∴DC=3
∴BD=，
故答案为.
27．
解：设CD=x，则AD=A′D=4-x．
在直角三角形ABC中，BC==5．则A′C=BC-AB=BC-A′B=5-3=2．
在直角三角形A′DC中：AD2+AC2=CD2．
即：（4-x）2+22=x2．
解得：x=．
28．1.5
解：在Rt△ABC中，，∵将△ABC折叠得△AB′E，∴AB′＝AB，B′E＝BE，∴B′C＝5－3＝2．设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x．在Rt△B′CE中，CE2＝B′E2＋B′C2，∴（4－x）2＝x2＋22．解之得．
29．6
【分析】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8-3=5，
在Rt△CEF中，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，
解得x=6，则AB=6．
故答案为：6．
【点拨】本题考查了翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
30． ．
【分析】延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．运用勾股定理求解.
解:如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．
∵AC=6，CF=2，
∴AF=AC-CF=4，
∵∠A=60°，∠AMF=90°，
∴∠AFM=30°，
∴AM=AF=2，
∴FM==2 ，
∵FP=FC=2，
∴PM=MF-PF=2-2，
∴点P到边AB距离的最小值是2-2．
故答案为: 2-2．
【点拨】本题考查了翻折变换，涉及到的知识点有直角三角形两锐角互余、勾股定理等，解题的关键是确定出点P的位置.
31．4
【解析】∵△BDE由△BCE翻折而成，∴BC=BD，∠BDE=∠C=90°．
∵AD=BD，∴AB=2BC，AE=BE．∴∠A=30°．
在Rt△ABC中，∵AC=6，∴BC=AC•tan30°=6×=2．
设BE=x，则CE=6﹣x，
在Rt△BCE中，∵BC=2，BE=x，CE=6﹣x，
∴BE2=CE2+BC2，即x2=（6﹣x）2+（2）2，解得x=4．
∴折痕BE的长为4．
32．EF的长为
【分析】联结CF，根据翻折的图形全等得到AF=CF，再根据勾股定理计算即可；
解：联结CF，
∵翻折的图形全等，
∴AF=CF，
设AF=x，则DF=8-x，
，
，
∵OC=5，
∴OF=，
可证OE=OF，
∴EF=．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的折叠问题，准确计算是解题的关键．
33．3
【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，再根据折叠的性质得AF＝AD＝10，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝6，则CF＝BC−BF＝4，设CE＝x，则DE＝EF＝8−x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2＋42＝（8−x）2，再解方程即可得到CE的长．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝10，EF＝DE，
在Rt△ABF中，∵BF＝＝6，
∴CF＝BC−BF＝10−6＝4，
设CE＝x，则DE＝EF＝8−x
在Rt△ECF中，∵CE2＋FC2＝EF2，
∴x2＋42＝（8−x）2，解得x＝3，
即CE＝3．
【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
34．CD的长为3cm.
【分析】首先由勾股定理求得AB=10，然后由翻折的性质求得BE=4，设DC=x，则BD=8-x，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可．
解：在Rt三角形中，由勾股定理可知：
由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE，∠DEA=∠C．
∴BE=AB-AE=10-6=4，∠DEB=90°．
设DC=x，则BD=8-x．
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+ED2=BD2，即42+x2=（8-x）2．
解得：x=3．
∴CD=3．
【点拨】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用，利用翻折的性质和勾股定理表示出△DBE的三边长是解题的关键．
35．3.
【解析】设EC的长为x，则DE=8-x，再利用勾股定理求出BF的值，得出FC=BC-BF=10-6=4，再根据勾股定理即可解答.
解：设EC的长为x，则DE=8-x．
∵ΔADE折叠后的图形是ΔAFE，
∴AD=AF，DE=EF．
∵AD=BC=10，∴AF=10．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°．
在RtΔABF中，BF=AF2-AB2=6，
∴FC=BC-BF=10-6=4．
在RtΔEFC中，FC2+EC2=EF2，
∴42+x2=(8-x)2，解得x=3，
∴EC的长为3．
【点拨】此题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题关键在于求出FC的值.
36．（1）6cm；（2）3cm.
【分析】（1）先根据矩形的性质得到AD=BC=10，DC=AB=8，∠B=∠D=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，则可利用勾股定理计算出BF；（2）计算出CF的长，设EC=x，则DE=EF=8-x，然后在Rt△CEF中利用勾股定理得到关于x的方程，解方程求出x即可．
解：(1) ∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC=10
∴AF=AD=10
由勾股定理，得：BF===6 (cm)
(2)∵BF=6
∴FC=4
设EC=x cm,则EF=（8-x）cm
由勾股定理，得：（8-x）2=x2+42
解得：x=3
所以，EC的长为3cm
【点拨】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，根据勾股定理得出方程是解题关键．
37．15cm.
【解析】试题分析：根据勾股定理求出AB，由折叠的性质知CD＝DE，AC＝AE．根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理列出关于BD的方程即可求出BD的长．
解：由勾股定理得，AB＝＝30．
由折叠的性质知，AE＝AC＝18，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°．
∴BE＝AB－AE＝30－18＝12，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
DE2＋BE2＝BD2
即（24－BD）2＋122＝BD2，
解得：BD＝15cm．
点拨：本题考查的知识点：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股定理求解．
38．EC的长度为3．
【解析】试题分析：由长方形ABCD沿AE折叠后，D点恰与BC边上的F重合，可得AF=AD=10，DE=EF，然后设EC=x，则DE=EF=CD﹣EC=8﹣x，首先在Rt△ABF中，利用勾股定理求得BF的长，继而可求得CF的长，然后在Rt△CEF中，由勾股定理即可求得方程：x2+42=（8﹣x）2，解此方程即可求得答案．
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=∠C=90°，AD=BC=10，CD=AB=8，
∵△ADE折叠后得到△AFE，
∴AF=AD=10，DE=EF，
设EC=x，则DE=EF=CD﹣EC=8﹣x，
∵在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
∴82+BF2=102，
∴BF=6，
∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4，
∵在Rt△EFC中，EC2+CF2=EF2，
∴x2+42=（8﹣x）2，
解得：x=3，
即EC的长度为3．
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
39．30（cm2）.
解：由题意知EF＝DE＝8－3＝5（cm），
在Rt△EFC中，（cm）．
设AF＝xcm，则BF＝（x－4）cm．
在Rt△ABF中，x2＝（x－4）2＋82，
解得x＝10，则BF＝10－4＝6（cm）．
∴（cm2）．
专题17.8 用勾股定理解决折叠中线段问题（专项练习）
一、单选题
1．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边，．现将直角边沿直线折叠，使它落在斜边上，且与重合，则等于（ ）
A． B． C． D．
2．如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=4，将矩形沿AC折叠，点B落在点B′处，则重叠部分△AFC的面积为（ ）
A．12 B．10
C．8 D．6
3．如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为（ ）
A．4 B．3 C．4.5 D．5
4．已知，如图，长方形ABCD中，AB=3cm，AD=9cm，将此长方形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则△ABE的面积为( )
A．6cm2 B．8 cm2 C．10 cm2 D．12 cm2
5．如图，将矩形纸片沿直线折叠，使点落在边的中点处，点落在点处，其中，则的长为（ ）
A．3 B．4 C．4．5 D．5
6．如图，将一个边长分别为8，16的矩形纸片ABCD沿EF折叠，使C点与A点重合，则EF与AF的比值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
7．如图，ΔABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，D，E分别在AC，BC上，且DE//AB.将ΔABC沿DE折叠，使C点落在斜边AB上的F点处，则AF的长是（ ）
A．3.6 B．4 C．4.8 D．6.4
8．如图，有一张直角三角形纸片，两条直角边，，将折叠，使点和点重合，折痕为，则的长为（ ）
A．1.8 B．2.5 C．3 D．3.75
9．如图，将一个边长分别为4、8的长方形纸片ABCD折叠，使C点和A点重合，则EB的长是( )
A．3 B．4 C．5 D．5
10．如图是一张直角三角形的纸片，两直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm，现将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为DE，则BE的长为（ ）
A．4 cm B．5 cm C．6 cm D．10 cm
11．如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点，沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕现交于点F，已知EF=，则BC的长是（ ）
A． B．3 C．3 D．3
12．如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，点C落在点E处，BE交AD于点F，已知∠BDC=62°，则∠DFE的度数为（ ）
A．31° B．28° C．62° D．56°
13．如图，把长方形纸片ABCD折叠，使其对角顶点C与A重合．若长方形的长BC为8，宽AB为4，则折痕EF的长度为( )
A．5 B．3 C．2 D．3
14．如图①是一直角三角形纸片，∠A＝30°，BC＝4 cm，将其折叠，使点C落在斜边上的点C′处，折痕为BD，如图②，再将图②沿DE折叠，使点A落在DC′的延长线上的点A′处，如图③，则折痕DE的长为( )
A．cm B．cm C．cm D．3 cm
15．如图，正方形ABCD的边长为9，将正方形折叠，使顶点D落在BC边上的点E处，折痕为GH,若BE:EC=2：1，则线段CH的长是（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
二、填空题
16．如图，在中，，，，点在上，将沿折叠，使点落在斜边上的点处，则的长为____．
17．如图，在中，，，，将折叠，使点与点重合，得折痕，则的周长等于____cm．
18．如图已知长方形ABCD中AB=8cm，BC=10cm，在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，则CE的长为___________.
19．如图，在菱形中，点是边的中点，将沿折叠后得到，且点在矩形的内部．将延长交边于点，若，则_____________．
20．如图，将矩形纸片的四个角向内折起，恰好拼成一个无缝隙无重叠的四边形，若，，则边的长是_______．
21．如图，有一直角三角形纸片，边，，，将该直角三角形纸片沿折叠，使点与点重合，则四边形的周长为______.
22．如图，有一块直角三角形纸片，两直角边AC=6cm，BC=8cm，现直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，则CD的长为________．
23．如图，矩形ABCD中，E是AD中点，将△ABE沿直线BE折叠后得到△GBE，延长BG交CD于F，若AB=6，BC=，则CF的长为_______
24．如图，将边长为6cm的正方形纸片ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点Q处，折痕为FH，则线段AF的长是____cm．
25．直角三角形纸片的两直角边AC＝8，BC＝6，现将△ABC如图折叠，折痕为DE，使点A与点B重合，则BE的长为__________．
26．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝8，BC＝6，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB上的点C′处，则折痕BD的长为__________．
27．如图，在中，，，，现将沿进行翻折，使点刚好落在上，则__________．
28．如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，BC＝4，将△ABC折叠，使点B恰好落在边AC上，与点B′重合，AE为折痕，则EB′＝ _______．
29．如图，矩形纸片ABCD中，已知AD=8，折叠纸片使AB边与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF=3，则AB的长为____．
30．如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，∠A=60°，点F在边AC上，并且CF=2，点E为边BC上的动点，将△CEF沿直线EF翻折，点C落在点P处，则点P到边AB距离的最小值是_________．
31．如图，在三角形纸片ABC中，∠C=90°，AC=6，折叠该纸片，使点C落在AB边上的D点处，折痕BE与AC交于点E，若AD=BD，则折痕BE的长为 ．
三、解答题
32．如图，一张长8cm，宽6cm的矩形纸片，将它沿某直线折叠使得A、C重合，求折痕EF的长．
33．如图所示，沿AE折叠矩形，点D恰好落在BC边上的点F处，已知AB=8cm，BC=10cm，求EC的长．
34．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边cm， cm，现将直角边沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出CD的长吗？
35．如图，将矩形ABCD沿AE折叠，使点D落在BC边的点F处，已知AB=DC=8，AD=BC=10．求EC的长．
36．如图，小红用一张长方形纸片ABCD进行折纸，已知该纸片宽AB为8cm，长BC为10cm.当小红折叠时，顶点D落在BC边上的点F处（折痕为AE）.
(1)求BF的长；(2)求EC的长.
37．如图，有一个直角三角形纸片，两直角边AC=18cm，BC=24cm，现将直角边AC沿直线AD折叠，使它落在斜边AB上，且与AE重合，你能求出BD的长吗？
38．把长方形ABCD沿AE折叠后，D点恰与BC边上的F重合，如图，已知AB=8，BC=10，求EC的长．
39．如图，将长方形沿直线AE折叠，使顶点D恰好落在BC边上F点处，已知CE＝3cm，AB＝8cm，求图中阴影部分的面积．
参考答案
1．B
【分析】根据翻折的性质可知：AC＝AE＝6，CD＝DE，设CD＝DE＝x，在Rt△DEB中利用勾股定理解决．
解：在Rt△ABC中，
∵AC＝6，BC＝8，
∴AB＝=＝10，
△ADE是由△ACD翻折，
∴AC＝AE＝6，EB＝AB−AE＝10−6＝4，
设CD＝DE＝x，
在Rt△DEB中，
∵，
∴，
∴x＝3，
∴CD＝3．
故答案为：B．
【点拨】本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折不变性是解决问题的关键，学会转化的思想去思考问题．
2．B
【分析】已知为边上的高，要求的面积，求得即可，求证，得，设，则在中，根据勾股定理求，于是得到，即可得到答案．
解：由翻折变换的性质可知，，
，
设，则，
在中，，即，
解得：，
，
．
故选：．
【点拨】本题考查矩形的性质、折叠的性质、勾股定理等内容，根据折叠的性质得到是解题的关键．
3．A
【分析】先求出BC′，再由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，在Rt△C′BF中，运用勾股定理BF2+BC′2＝C′F2求解．
解：∵点C′是AB边的中点，AB＝6，
∴BC′＝3，
由图形折叠特性知，C′F＝CF＝BC﹣BF＝9﹣BF，
在Rt△C′BF中，BF2+BC′2＝C′F2，
∴BF2+9＝（9﹣BF）2，
解得，BF＝4，
故选：A．
【点拨】本题考查了折叠问题及勾股定理的应用，综合能力要求较高．同时也考查了列方程求解的能力．解题的关键是找出线段的关系．
4．A
【分析】首先根据翻折的性质得到ED＝BE，用AE表示出 ED，BE的长度，然后在Rt△ABE中利用勾股定理求出AE的长度，进而求出AE的长度，就可以利用面积公式求得△ABE的面积了．
解：∵将此长方形折叠，使点B与点D重合，
∴BE=ED．
∵AD=9cm=AE+DE=AE+BE．
∴BE=9﹣AE，
根据勾股定理可知：AB2+AE2=BE2．
∴32+AE2=(9﹣AE)2．
解得：AE=4cm．
∴△ABE的面积为：×3×4=6(cm2)．
故选：A．
【点拨】此题主要考查了图形的翻折变换和学生的空间想象能力，解题过程中应注意折叠后哪些线段是重合的，相等的，如果想象不出哪些线段相等，可以动手折叠一下即可．
5．D
【分析】设，则，根据矩形的性质和勾股定理列式即可求出答案.
解：设，则．
∵，四边形为矩形，点为的中点．
∴，
在中，由勾股定理得，
即，解得．
故选D．
【点拨】本题考查的是矩形的性质和勾股定理，能够熟练运用所学知识是解题的关键.
6．B
【分析】由折叠前后的两图形全等，得到一些线段相等，连接后转化到一个直角三角形中，由勾股定理可求出线段AF的长，由折叠A与C重合，折痕EF垂直平分AC，进而可以求出EF的长，最后再求EF与AF的比值．
解：连接AC交EF于点O，连接FC，
由折叠得：AF=FC，EF垂直平分AC，
设AF=x，则DF=16-x
在Rt△CDF中，由勾股定理得：
DF2+CD2=FC2，
即：（16-x）2+82=x2，解得：x=10，
在Rt△ABC中，由勾股定理得：
AC=，
∴OA=CO=4，
在Rt△FOC中，OF=，
EF=2OF=4，
∴，
故选B．
【点拨】考查折叠的性质、勾股定理、矩形的性质等知识，将所求线段转化到一个直角三角形中是解决问题的关键，利用勾股定理建立方程求解是常用的方法．
7．A
【分析】连接CF，根据勾股定理求得AB长，由三角形ABC的面积可得CF长，勾股定理可得AF长.
解：如图，连接CF，
根据题意，得CF⊥DE.因为DE//AB，所以CF⊥AB.因为∠C=90°，AC=6，BC=8，所以AB=10，所以SΔABC=12AC⋅BC=12AB⋅CF，所以CF=4.8.所以AF2=AC2-CF2=62-4.82=3.62，所以AF=3.6.
故选A.
【点拨】本题主要考查了勾股定理，同时涉及了折叠的性质及三角形的面积，在应用勾股定理求线段长时，可通过添加辅助线构造直角三角形求解.
8．D
【分析】设CD=x，则BD=AD=10-x．在Rt△ACD中运用勾股定理列方程，就可以求出CD的长．
解：设CD=x，则BD=AD=10-x．
∵在Rt△ACD中，（10-x）2=x2+52，
100+x2-20x=x2+25，
∴20x=75，
解得：x=3.75，
∴CD=3.75.
故选：D.
【点拨】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．解题时，我们常常设要求的线段长为x，然后根据折叠和轴对称的性质，用含x的代数式表示其他线段的长度，选择适当的直角三角形，运用勾股定理列出方程求出答案．
9．A
【解析】设BE=x，则AE=EC=8-x，在RT△ABE中运用勾股定理可解出x的值，继而可得出EB的长度．
解：设BE=x，则AE=EC=8-x，
在RT△ABE中，AB2+BE2=AE2，即42+x2=（8-x）2，
解得：x=3．
即EB的长为3．
故选A.
本题考查了翻折变换的知识，解答本题需要在RT△ABE中利用勾股定理，关键是根据翻折的性质得到AE=EC这个条件．
10．B
【解析】∵直角边AC＝6 cm、BC＝8 cm ∴根据勾股定理可知：BA=√62+82=10
∵A,B关于DE对称，∴BE=10÷2=5
11．B
【分析】折叠的性质主要有：1.重叠部分全等；2.折痕是对称轴,对称点的连线被对称轴垂直平分. 由折叠的性质可知,所以可求出∠AFB=90°，再直角三角形的性质可知,所以,的长可求，再利用勾股定理即可求出BC的长．
解：
AB＝AC，
,
故选B.
【点拨】本题考查了折叠的性质、等腰直角三角形的判断和性质以及勾股定理的运用，求出∠AFB=90°是解题的关键．
12．D
【分析】先利用互余计算出∠FDB=28°，再根据平行线的性质得∠CBD=∠FDB=28°，接着根据折叠的性质得∠FBD=∠CBD=28°，然后利用三角形外角性质计算∠DFE的度数．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD∥BC，∠ADC=90°，
∵∠FDB=90°-∠BDC=90°-62°=28°，
∵AD∥BC，
∴∠CBD=∠FDB=28°，
∵矩形ABCD沿对角线BD折叠，
∴∠FBD=∠CBD=28°，
∴∠DFE=∠FBD+∠FDB=28°+28°=56°．
故选D．
【点拨】本题考查了平行线的性质：两直线平行，同位角相等；两直线平行，同旁内角互补；两直线平行，内错角相等．
13．C
解：过F点作FH⊥AD于H，在Rt△EHF中根据勾股定理即可求出EF的长．
解：如图所示，过F点作FH⊥AD于H，
设CF=x，则BF=8−x，
在Rt△ABF中,AB2+BF2=AF2，
∴16+(8−x)2=x2，
解得：x=5，
∴AF=CF=5，
∵AD//BC,
∴∠AEF=∠EFC,
又∵∠AFE=∠EFC,
∴∠AEF=∠AFE,
∴AE=AF=5,
∴EH=AE−AH=2，
∵FH=4，
∴EF2=42+22=20，
∴EF=；
故选C.
14．A
【解析】因为在直角三角形中, ∠A=30°,BC=4,故∠CBA=60°,根据折叠的性质得:
故得:
DB=,,根据折叠的性质得:
,
故△EDB为直角三角形,又因为,故DE=DBtan30°=cm,
故答案选A.
15．B
解：设CH＝x， 因为BE：EC＝2：1，BC＝9，所以，EC＝3， 由折叠知，EH＝DH＝9－x，
在Rt△ECH中，由勾股定理，得：，解得：x＝4，即CH=4
考点：（1）图形的折叠；（2）勾股定理
16．
【分析】先利用勾股定理求出BC,再根据折叠的性质可得，，,设，最后利用勾股定理列出方程即可求出的长．
解:由勾股定理，得．
由折叠可知，，．
设，则，，
．
在中，，
解得，
即的长为
故答案为: ．
【点拨】此题考查的是勾股定理和折叠问题,掌握利用勾股定理解直角三角形和折叠的性质是解决此题的关键．
17．7
【分析】根据勾股定理，可得BC的长，根据翻折的性质，可得AE与CE的关系，根据三角形的周长公式，可得答案．
解：在中，，，，由勾股定理，得，由翻折的性质，得，的周长为7（cm）．
【点拨】本题考查翻折的性质、勾股定理，利用翻折的性质得出CE与AE的关系是解题关键．
18．3cm
【分析】要求CE的长，应先设CE的长为x，由将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F可得Rt△ADE≌Rt△AFE，所以AF=10cm，EF=DE=8-x；在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，已知AB、AF的长可求出BF的长，又CF=BC-BF=10-BF，在Rt△ECF中由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，即：（8-x）2=x2+（10-BF）2，将求出的BF的值代入该方程求出x的值，即求出了CE的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，
∴AD=BC=10cm，CD=AB=8cm，
根据题意得：Rt△ADE≌Rt△AFE，
∴∠AFE=90°，AF=10cm，EF=DE，
设CE=xcm,则DE=EF=CD−CE=(8−x)cm，
在Rt△ABF中由勾股定理得：AB2+BF2=AF2，
即82+BF2=102，
∴BF=6cm，
∴CF=BC−BF=10−6=4(cm)，
在Rt△ECF中,由勾股定理可得：EF2=CE2+CF2，
即(8−x)2=x2+42，
∴64−16x+x2=x2+16，
∴x=3(cm)，
即CE=3cm.
故答案为：3cm.
【点拨】本题考查翻折变换（折叠问题），解题的关键是掌握折叠的性质和勾股定理.
19．
【分析】连接EG，根据中点和折叠的性质可证Rt△ECG≌Rt△EFG，然后可得，设，从而可得，从而可得BC，再根据矩形的性质结合勾股定理即可求出AB，从而可得答案.
解：连接．
∵点是边的中点，
∴．
∴将沿折叠后得到，
∴，∴．
在和中，
，
∴，
∴．
设．∵，
∴，
∴．
在矩形中，，
∴．
在中，，
∴．
故答案为：.
【点拨】本题是一道综合题，考查的是全等三角形的判定，矩形的性质和勾股定理，能够充分调动所学知识是解答本题的关键.
20．5
【分析】先求出△EFH是直角三角形，再根据勾股定理求出FH=5，再利用全等三角形的性质解答即可．
解：设斜线上两个点分别为P、Q，则P点是A点对折过去的，
∴∠EPH为直角,△AEH≌△PEH，
∴∠HEA=∠PEH，
同理∠PEF=∠BEF，
这四个角互补，
∴∠PEH+∠PEF=90∘，
∴四边形EFGH是矩形，
∴△DHG≌△BFE，△HEF是直角三角形，
∴BF=DH=PF，
∵AH=HP，
∴AD=HF，
∵EH=3cm，EF=4cm，
∴FH=5cm，
∴FH=AD=5cm，
故答案为：5.
【点拨】此题考查翻折变换（折叠问题），勾股定理，全等三角形的性质，解题关键在于求出FH=5.
21．18．
【分析】先由折叠的性质得AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A，进而得出，∠B=∠BCD，求得BD=CD=AD=AB=5，DE为△ABC的中位线，得到DE的长，再在Rt△ABC中，由勾股定理得到AC=8，即可得四边形DBCE的周长．
解：∵沿DE折叠，使点A与点C重合，
∴AE=CE，AD=CD，∠DCE=∠A，
∴∠BCD=90°-∠DCE，
又∵∠B=90°-∠A，
∴∠B=∠BCD，
∴BD=CD=AD=AB=5，
∴DE为△ABC的中位线，
∴DE=BC=3，
∵BC=6，AB=10，∠ACB=90°，
∴AC＝，
∴四边形DBCE的周长为：BD+DE+CE+BC=5+3+4+6=18．
故答案为：18．
【点拨】本题主要考查了折叠问题和勾股定理的综合运用．本题中得到ED是△ABC的中位线关键．
22．3cm
【分析】先根据勾股定理求出AB的长,设CD＝xcm ,则cm,再由图形翻折变换的性质可知AE＝AC＝6cm,DE＝CD＝xcm,进而可得出BE的长,在中利用勾股定理即可求出x的值,进而得出CD的长.
解：是直角三角形,AC＝6cm,BC＝8cm,
cm,
是翻折而成,
,
设DE＝CD＝xcm, ,
,
在中, ,
即,
解得x＝3.
故CD的长为3cm.
【点拨】本题考查的是翻折变换及勾股定理,解答此类题目时常常设要求的线段长为x,然后根据折叠和轴对称的性质用含x的代数式表示其它线段的长度,选择适当的直角三角形,运用勾股定理列出方程求出答案.
23．2
【解析】分析：根据点E是AD的中点以及翻折的性质可以求出AE=DE=EG；然后利用“HL”证明△EDF和△EGF全等，根据全等三角形的对应边相等可证得DF=GF；设DF=x，接下来表示出FC、BF，在Rt△BCF中，利用勾股定理列式进行计算即可得解.
解：∵E是AD的中点，
∴AE=DE．
∵△ABE沿BE折叠后得到△GBE，
∴AE=EG，AB=BG，
∴ED=EG.
∵在矩形ABCD中，∠A=∠D=90°，
∴∠EGF=90°.
∵在Rt△EDF和Rt△EGF中，ED=EG，EF=EF，
∴Rt△EDF≌Rt△EGF，
∴DF=FG.
设CF=x，则DF=6-x,BF=12-x.
在Rt△BCF中，()2+x2=(12-x)2，
解得x=2.
∴CF=2.
故答案为：2.
点拨：本题考查了矩形的性质，勾股定理 ， 翻折变换（折叠问题），全等三角形的判定与性质.根据“HL”证明Rt△EDF≌Rt△EGF是解答本题的关键.
24．94
解：如图：
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC=CD=AD=6，
∵AE=EB=3，EF=FD，设EF=DF=x.则AF=6−x，
在RT△AEF中,∵AE²+AF²=EF²，
∴3²+(6−x) ²=x²，
∴x=154，
∴AF=6−154=94cm，
故答案为94.
25．
解：∵△ABC沿DE折叠，使点A与点B重合，
∴EA=EB，
∵∠C=90∘，AC=8，BC=6，
∴CE=CA−AE=8−BE，
在Rt△BCE中,∵BE2=BC2+CE2，
∴BE²=6²+(8−BE) ²，
∴BE=.
故答案为:.
26．
解：由折叠得BC′=BC=6；DC′=DC，∠BC′D=∠C＝90°
∵∠C=90°，AC=8，BC=6
∴AB=10
∴AC′=AB－BC′=10－6=4
设DC=x
则DC′=DC=x，则AD=AC－DC=8－x
在Rt△A C′D中，（C′D）2＋（AC′）2= （AD）2
∴x 2＋42= （8－x）2
∴x=3
∴DC=3
∴BD=，
故答案为.
27．
解：设CD=x，则AD=A′D=4-x．
在直角三角形ABC中，BC==5．则A′C=BC-AB=BC-A′B=5-3=2．
在直角三角形A′DC中：AD2+AC2=CD2．
即：（4-x）2+22=x2．
解得：x=．
28．1.5
解：在Rt△ABC中，，∵将△ABC折叠得△AB′E，∴AB′＝AB，B′E＝BE，∴B′C＝5－3＝2．设B′E＝BE＝x，则CE＝4－x．在Rt△B′CE中，CE2＝B′E2＋B′C2，∴（4－x）2＝x2＋22．解之得．
29．6
【分析】先根据矩形的特点求出BC的长，再由翻折变换的性质得出△CEF是直角三角形，利用勾股定理即可求出CF的长，再在△ABC中利用勾股定理即可求出AB的长．
解：∵四边形ABCD是矩形，AD=8，
∴BC=8，
∵△AEF是△AEB翻折而成，
∴BE=EF=3，AB=AF，△CEF是直角三角形，
∴CE=8-3=5，
在Rt△CEF中，
设AB=x，
在Rt△ABC中，AC2=AB2+BC2，即（x+4）2=x2+82，
解得x=6，则AB=6．
故答案为：6．
【点拨】本题考查了翻折变换及勾股定理，熟知折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等是解答此题的关键．
30． ．
【分析】延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．运用勾股定理求解.
解:如图，延长FP交AB于M，当FP⊥AB时，点P到AB的距离最小．
∵AC=6，CF=2，
∴AF=AC-CF=4，
∵∠A=60°，∠AMF=90°，
∴∠AFM=30°，
∴AM=AF=2，
∴FM==2 ，
∵FP=FC=2，
∴PM=MF-PF=2-2，
∴点P到边AB距离的最小值是2-2．
故答案为: 2-2．
【点拨】本题考查了翻折变换，涉及到的知识点有直角三角形两锐角互余、勾股定理等，解题的关键是确定出点P的位置.
31．4
【解析】∵△BDE由△BCE翻折而成，∴BC=BD，∠BDE=∠C=90°．
∵AD=BD，∴AB=2BC，AE=BE．∴∠A=30°．
在Rt△ABC中，∵AC=6，∴BC=AC•tan30°=6×=2．
设BE=x，则CE=6﹣x，
在Rt△BCE中，∵BC=2，BE=x，CE=6﹣x，
∴BE2=CE2+BC2，即x2=（6﹣x）2+（2）2，解得x=4．
∴折痕BE的长为4．
32．EF的长为
【分析】联结CF，根据翻折的图形全等得到AF=CF，再根据勾股定理计算即可；
解：联结CF，
∵翻折的图形全等，
∴AF=CF，
设AF=x，则DF=8-x，
，
，
∵OC=5，
∴OF=，
可证OE=OF，
∴EF=．
【点拨】本题主要考查了勾股定理的折叠问题，准确计算是解题的关键．
33．3
【分析】先根据矩形的性质得AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，再根据折叠的性质得AF＝AD＝10，EF＝DE，在Rt△ABF中，利用勾股定理计算出BF＝6，则CF＝BC−BF＝4，设CE＝x，则DE＝EF＝8−x，然后在Rt△ECF中根据勾股定理得到x2＋42＝（8−x）2，再解方程即可得到CE的长．
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴AD＝BC＝10，AB＝CD＝8，
∵矩形ABCD沿直线AE折叠，顶点D恰好落在BC边上的F处，
∴AF＝AD＝10，EF＝DE，
在Rt△ABF中，∵BF＝＝6，
∴CF＝BC−BF＝10−6＝4，
设CE＝x，则DE＝EF＝8−x
在Rt△ECF中，∵CE2＋FC2＝EF2，
∴x2＋42＝（8−x）2，解得x＝3，
即CE＝3．
【点拨】本题考查了折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了矩形的性质和勾股定理．
34．CD的长为3cm.
【分析】首先由勾股定理求得AB=10，然后由翻折的性质求得BE=4，设DC=x，则BD=8-x，在△BDE中，利用勾股定理列方程求解即可．
解：在Rt三角形中，由勾股定理可知：
由折叠的性质可知：DC=DE，AC=AE，∠DEA=∠C．
∴BE=AB-AE=10-6=4，∠DEB=90°．
设DC=x，则BD=8-x．
在Rt△BDE中，由勾股定理得：BE2+ED2=BD2，即42+x2=（8-x）2．
解得：x=3．
∴CD=3．
【点拨】本题主要考查的是翻折变换、勾股定理的应用，利用翻折的性质和勾股定理表示出△DBE的三边长是解题的关键．
35．3.
【解析】设EC的长为x，则DE=8-x，再利用勾股定理求出BF的值，得出FC=BC-BF=10-6=4，再根据勾股定理即可解答.
解：设EC的长为x，则DE=8-x．
∵ΔADE折叠后的图形是ΔAFE，
∴AD=AF，DE=EF．
∵AD=BC=10，∴AF=10．
∵四边形ABCD是矩形，∴∠B=∠C=90°．
在RtΔABF中，BF=AF2-AB2=6，
∴FC=BC-BF=10-6=4．
在RtΔEFC中，FC2+EC2=EF2，
∴42+x2=(8-x)2，解得x=3，
∴EC的长为3．
【点拨】此题考查矩形的性质，折叠的性质，勾股定理，解题关键在于求出FC的值.
36．（1）6cm；（2）3cm.
【分析】（1）先根据矩形的性质得到AD=BC=10，DC=AB=8，∠B=∠D=∠C=90°，再根据折叠的性质得AF=AD=10，DE=EF，则可利用勾股定理计算出BF；（2）计算出CF的长，设EC=x，则DE=EF=8-x，然后在Rt△CEF中利用勾股定理得到关于x的方程，解方程求出x即可．
解：(1) ∵四边形ABCD是矩形
∴AD=BC=10
∴AF=AD=10
由勾股定理，得：BF===6 (cm)
(2)∵BF=6
∴FC=4
设EC=x cm,则EF=（8-x）cm
由勾股定理，得：（8-x）2=x2+42
解得：x=3
所以，EC的长为3cm
【点拨】本题考查了折叠的性质、矩形的性质、勾股定理的综合运用；熟练掌握折叠的性质和矩形的性质，根据勾股定理得出方程是解题关键．
37．15cm.
【解析】试题分析：根据勾股定理求出AB，由折叠的性质知CD＝DE，AC＝AE．根据题意在Rt△BDE中运用勾股定理列出关于BD的方程即可求出BD的长．
解：由勾股定理得，AB＝＝30．
由折叠的性质知，AE＝AC＝18，DE＝CD，∠AED＝∠C＝90°．
∴BE＝AB－AE＝30－18＝12，
在Rt△BDE中，由勾股定理得，
DE2＋BE2＝BD2
即（24－BD）2＋122＝BD2，
解得：BD＝15cm．
点拨：本题考查的知识点：1、折叠的性质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，根据轴对称的性质，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等；2、勾股定理求解．
38．EC的长度为3．
【解析】试题分析：由长方形ABCD沿AE折叠后，D点恰与BC边上的F重合，可得AF=AD=10，DE=EF，然后设EC=x，则DE=EF=CD﹣EC=8﹣x，首先在Rt△ABF中，利用勾股定理求得BF的长，继而可求得CF的长，然后在Rt△CEF中，由勾股定理即可求得方程：x2+42=（8﹣x）2，解此方程即可求得答案．
解：∵四边形ABCD是长方形，
∴∠B=∠C=90°，AD=BC=10，CD=AB=8，
∵△ADE折叠后得到△AFE，
∴AF=AD=10，DE=EF，
设EC=x，则DE=EF=CD﹣EC=8﹣x，
∵在Rt△ABF中，AB2+BF2=AF2，
∴82+BF2=102，
∴BF=6，
∴CF=BC﹣BF=10﹣6=4，
∵在Rt△EFC中，EC2+CF2=EF2，
∴x2+42=（8﹣x）2，
解得：x=3，
即EC的长度为3．
考点：翻折变换（折叠问题）；勾股定理．
39．30（cm2）.
解：由题意知EF＝DE＝8－3＝5（cm），
在Rt△EFC中，（cm）．
设AF＝xcm，则BF＝（x－4）cm．
在Rt△ABF中，x2＝（x－4）2＋82，
解得x＝10，则BF＝10－4＝6（cm）．
∴（cm2）．
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