专题18.8 菱形（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题18.8 菱形（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共30页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
1．矩形具有而菱形不具有的性质是（ ）
A．两组对边分别平行B．对角线相等C．两组对角分别相等D．对角线互相垂直
2．菱形的边长是，一条对角线的长为，则另一条对角线的长为（ ）
A．B．C．D．
3．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，且AC⊥BD，则下列条件能判定四边形ABCD为菱形的是（ ）
A．AB＝CDB．OA＝OC，OB＝OD
C．AC=BDD．，AD＝BC
4．如图：矩形的对角线、相较于点，，，若，则四边形的周长为（ ）
A．B．C．D．
5．如图，在中，用直尺和圆规作的平分线若则的长是（ ）
A． B． C． D．
6．若顺次连结四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（ ）
A．菱形B．平行四边形
C．对角线互相垂直的四边形D．对角线相等的四边形
7．如图，在△ABC中，D为BC的中点，E为AD的中点，过点A作BC的平行线交CE的延长线于点F，下列结论不正确的是（ ）
A．AF＝BD，BF∥AD B．若AB＝AC，则DF＝AB
C．若∠BAC＝90°，则CF＝AD D．若AC＝BC，则四边形ACDF为菱形
8．菱形在平面直角坐标系中的位置如图所示，若点的坐标是，点的纵坐标是则点的坐标是（ ）
A．B．
C．D．
9．如图，在四边形纸片中，，，将纸片按如图方式折叠2次后，沿虚线剪开，阴影部分展开后得到的四边形是（ ）
A．菱形B．矩形C．正方形D．无法判断
10．如图，在平面直角坐标系中，点A(﹣1，0)，D(0，)为菱形ABCD的顶点，现固定点A．沿对角线AC方向将菱形的顶点C拉至点处，使得点B，D落在菱形ABCD内部的点，处，若＝30°，则此时点的坐标是（ ）
A．(﹣1，)B．(1﹣，)C．(，)D．(﹣，)
11．如图，菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，P是对角线AC上的一个动点，则PE+PB的最小值是( )．
A．1B．2C．D．
12．如图，将菱形纸片折叠，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF．若菱形的边长为4，，则的值是（ ）
A．B．2C．D．4
13．如图，点，在菱形的对角线上，，，与的延长线交于点．则对于以下结论：①；②；③；④．其中正确结论的个数是（ ）
A．1个B．2个C．3个D．4个
二、填空题
14．如图，在四边形中，对角线交于点 ，且，若要使四边形 是菱形，则可以添加的条件是__________．
15．如图，O点是矩形ABCD的对角线的中点，菱形ABEO的边长为2，则BC＝ ______．
16．已知菱形的边长为4,∠A=60°，则菱形的面积为_________．
17．如图，在菱形ABCD中，，点E是AD的中点，连接OE，则OE=_____________．
18．已知菱形的边长为2，一个内角为，那么该菱形的面积为__________．
19．如图，四边形为菱形，四边形为矩形，，，三点的坐标为，，，则点的坐标为________．
20．如图，在△ABC中，已知∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，D为斜边AB上一点，以CD、CB为边作平行四边形CDEB，当AD＝_____时，平行四边形CDEB为菱形．
21．如图，在菱形中，，，，分别是边，上的动点，连接，，，分别为，的中点，连接，则的最小值为________．
22．如图，面积为16的菱形ABCD中，点O为对角线的交点，点E是边BC的中点，过点E作 于点F，于点G，则四边形EFOG的面积为__．
23．如图，菱形ABCD的边长为4，对角线交于点O，∠ABC=60°，点E、F分别为AB、AO的中点，则EF的长度为________．
24．如图，在中，使OA=OB，按以下步骤作图：①以O为圆心，任意长为半径作弧，分别交OM，ON于点A，B；②分别以点A、B为圆心，OA长为半径作弧，两弧交于点C；③连接AC、BC、AB、OC．若，四边形OACB的面积为．则OC的长为________cm．
25．如图，在菱形中，，点P为的中点，分别为线段上的任意一点，则的最小值为______．
三、解答题
26．如图，在菱形中，，，延长到点，使，延长到点，使，连接、、、．
（1）求证：四边形是矩形．
（2）直接写出四边形的面积是______．
27．在中，，是的中点，是的中点.过点作交的延长线于点．
（1）求证：四边形是菱形；
（2）若，，求菱形的面积．
28．如图，一个锐角等于60°的菱形ABCD，将一个60°的∠MAN的顶点与该菱形顶点A重合，以A为旋转中心，按顺时针方向旋转这个60°的∠MAN，使它的两边分别交CB、DC于点E，F．
（1）如图1，当BE＝DF时，AE与AF的数量关系是 ；
（2）旋转∠MAN，如图2，当BE≠DF时，（1）的结论是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由．
参考答案
1．B
【分析】
分别根据矩形和菱形的性质可得出其对角线性质的不同，可得到答案．
【详解】
解：矩形的对角线相等且平分，菱形的对角线垂直且平分，
所以矩形具有而菱形不具有的为对角线相等，
故选：B．
【点拨】
本题主要考查矩形和菱形的性质，掌握矩形的对角线相等且平分、菱形的对角线垂直且平分是解题的关键．
2．C
【分析】
根据菱形性质得出OB＝OD＝3cm，OA＝OC，AC⊥BD，由勾股定理求出OA，即可得出答案．
【详解】
如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝5cm，OB＝OD＝BD＝3cm，AC⊥BD，
∴∠AOB＝90°，
由勾股定理得：OA＝＝4cm，
∴AC＝2OA＝8cm，
故选：C．
【点拨】
本题考查了菱形的性质和勾股定理，熟练掌握菱形的对角线互相垂直平分是解题的关键．
3．B
【分析】
由题知AC⊥BD，所以只要所给选项能使四边形ABCD为平行四边形即可．
【详解】
A、只有AB＝CD不能判定四边形ABCD为平行四边形；
B、据对角线互相平分的四边形是平行四边形，由OA＝OC，OB＝OD可判定四边形ABCD为平行四边形，再由AC⊥BD可得四边形ABCD为菱形；
C、只有AC=BD不能判定四边形ABCD为平行四边形；
D、，AD＝BC不能判定四边形ABCD为平行四边形；
故只有B选项的条件可判定四边形ABCD为菱形．
故选：B．
【点拨】
此题考查菱形的判定，菱形的基本判定方法有三个：一、一组邻边相等的平行四边形是菱形；二、对角线互相垂直的平行四边形是菱形；三、四条边相等的四边形是菱形 ．其中第一、二两种判定方法都需要先判定四边形是平行四边形．
4．B
【分析】
根据矩形的性质可得OD＝OC，由，得出四边形OCED为平行四边形，利用菱形的判定得到四边形OCED为菱形，由AC的长求出OC的长，即可确定出其周长．
【详解】
解：∵四边形ABCD为矩形，
∴OA＝OC，OB＝OD，且AC＝BD．
∵AC＝2，
∴OA＝OB＝OC＝OD＝1．
∵CE∥BD，DE∥AC，
∴四边形OCED为平行四边形．
∵OD＝OC，
∴四边形OCED为菱形．
∴OD＝DE＝EC＝OC＝1．
则四边形OCED的周长为4×1＝4．
故选：B．
【点拨】
此题考查了矩形的性质，以及菱形的判定与性质，熟练掌握特殊四边形的判定与性质是解本题的关键．
5．B
【分析】
首先证明四边形ADGE是菱形，得出AG⊥DE，利用勾股定理计算出AO，从而得到AG的长．
【详解】
试题解析：连接EG，
∵由作图可知AD=AE，AG是∠BAD的平分线，
∴∠1=∠2，
∴AG⊥DE，AD=10，DE=12．
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，
∴∠2=∠3，
∴∠1=∠3，
∴AD=DG．
∵AG⊥DE，
∴OA=AG，OD=DE．
在Rt△AOD中，OA===8，
∴AG=2AO=16．
故选B．
【点拨】
本题考查了平行四边形的性质、菱形的判定与性质、等腰三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行四边形的性质，证明四边形ADGE为菱形是解决问题的关键．
6．D
【分析】
顺次连结四边形ABCD各边的中点，则所得四边形的四边分别是以原四边形对角线为底边的四个三角形的中位线，根据三角形的中位线定理可得原四边形对角线相等
【详解】
解：如图：
∵E，F，G，H分别是边AD，AB，CB，CD的中点，
∴EH=AC，EHAC，FG=AC，FGAC，
EF=BD，EFBD，GH=BD ，GHBD
∴EHFG，EH=FG， EFGH，EF=GH
∵四边形EFGH为菱形
∴EF=FG，
∴AC=BD，
故选：D
【点拨】
本题考查三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于第三边的一半
7．C
【分析】
根据题意易得△AFE≌△DCE，进而可得AF=DC=BD，然后可证四边形AFBD是平行四边形，则由平行四边形的性质、矩形的判定、菱形的判定及等腰三角形的性质可进行排除选项．
【详解】
解：∵点E是AD的中点，
∴AE=DE，
∵AF∥BC，
∴∠FAE=∠CDE，∠AFE=∠DCE，
∴△AFE≌△DCE（AAS），
∴AF=DC，
∵点D是BC的中点，
∴AF=DC=BD，
∴四边形AFBD是平行四边形，
∴BF∥AD，故A正确；
∵AB=AC，点D是BC的中点，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB=90°，
∴平行四边形AFBD是矩形，
∴DF=AB，故B正确；
∵，
∴四边形ACDF是平行四边形，
∵点D是BC的中点，AC=BC，
∴AC=DC，
∴平行四边形ACDF是菱形，故D正确；
∵四边形ACDF、AFBD是平行四边形，∠BAC=90°，
∴AD=BD=DC，
假设AD=CF时，则四边形ACDF是矩形，即AB与AF重合，与题干矛盾，故C错误；
故选C．
【点拨】
本题主要考查平行四边形、矩形、菱形的判定，关键是根据三角形全等得到四边形是平行四边形，然后再进行排除选项即可．
8．B
【分析】
连结AB，然后根据菱形的对角线互相垂直且平分的性质可以得到解答．
【详解】
解：如图，连结AB并与OC交于E，则由菱形性质可知，AB⊥OC，且EB=AE=1，
OE=EC==2，∴点 B 的坐标是（2，-1），
故选B．
【点拨】
本题考查菱形与直角坐标系的综合运用，熟练掌握菱形对角线的性质是解题关键 ．
9．A
【分析】
由两次对折后，再沿虚线剪开，可得：阴影部分图形展开后的四条边相等，结合菱形的判定可得答案．
【详解】
解：由题意得：阴影部分图形展开后的四条边相等，
所以：阴影部分展开后得到的四边形是菱形．
故选：．
【点拨】
本题考查的是轴对称的性质，菱形的判定，掌握以上知识是解题的关键．
10．A
【分析】
过D′在D′E⊥AB于E，在Tt△OAD中，由特殊角的函数值和勾股定理求得∠DAO＝60°，AD＝2，根据菱形的性质求得∠B′AB＝15°，进而求得∠D′AE＝45°，得到Rt△D′AE是等腰直角三角形，根据勾股定理求出AE＝D′E，即可求出D'的坐标．
【详解】
解：过D′作D′E⊥AB于E，
在Tt△OAD中，
由A（﹣1，0），D（0，）得：OA＝1，OD＝，
∴∠DAO＝60°，AD＝＝2，
∵四边形ABCD是菱形，
∴∠DAC＝∠BAC＝30°，
∵四边形AB′C′D′是菱形，
∴∠D′AC′＝∠B′AC′，∠D′AB′＝∠D'C'B'＝30°，
∴∠B′AB＝∠D′AD＝×（60°﹣30°）＝15°，
∴∠D′AE＝60°﹣15°＝45°，
由题意知：AD′＝AD＝2，
在Rt△D′AE中，
∵∠D′AE＝45°，
∴∠AD′E＝45°，
∴AE＝D′E，
∴2AE2＝AD′2＝4，
∴AE＝D′E＝，
∴OE＝﹣1，
∴D'的坐标是（﹣1，）
故选：A．
【点拨】
本题主要考查了菱形的性质，平面直角坐标系，勾股定理，特殊角的函数值，正确作出辅助线，求出∠D′AE的度数是解决问题的关键．
11．D
【分析】
根据轴对称最短问题作法首先求出P点的位置，再结合菱形的性质得出△AEE′为等边三角形，进而求出PE+PB的最小值．
【详解】
解：如图所示，
作E点关于AC对称点E′点，连接E′B，E′B与AC的交点即是P点，
∵菱形ABCD中，AB=2，∠BAD=60°，E是AB的中点，
∴AE′=AE=BE=1，
∴△AEE′为等边三角形，
∴∠AEE′=60°，
∴∠E′EB=120°，
∵BE=EE′，
∴∠EE′B=30°，
∴∠AE′B=90°，
BE′=，
∵PE+PB=BE′，
∴PE+PB的最小值是：．
故答案为．
【点拨】
此题主要考查了菱形的性质以及轴对称中最短路径求法，正确地作出P点从而利用菱形性质得出是解决问题的关键．
12．B
【分析】
根据菱形的性质证明△ABD是等边三角形，求得BD=4，再证明EF是△ABD的中位线即可得到结论．
【详解】
解：连接AC，BD
∵四边形ABCD是菱形，
∴，BD平分∠ABC，
∴∠
∵
∴△ABD是等边三角形，
∴
由折叠的性质得：，EF平分AO，
又∵，
∴
∴EF为△ABD的中位线，
∴
故选：B．
【点拨】
本题考查了折叠性质，菱形性质，主要考查学生综合运用定理进行推理和计算的能力．
13．D
【分析】
先由菱形的性质得AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAE＝∠BAE，∠DCE＝∠BCE＝30°，再由三角形的外角性质得∠BFE＝80°，则∠EBF＝50°，然后证△CDE≌△CBE（SAS），得∠DEC＝∠BEC＝50°，进而得出①正确；由SAS证△ADE≌△ABE，得②正确；证出△BEM≌△EBC（AAS），得BM＝EC，EM＝BC，③正确；连接BD交AC于O，由菱形的性质得AC⊥BD，再由直角三角形的性质得OD＝CD＝BC，OC＝OD，则OC＝BC，进而得出④正确即可．
【详解】
解：∵四边形ABD是菱形，∠ADC＝120°，
∴AD＝AB＝BC＝CD，∠BAD＝∠BCD＝60°，∠DAE＝∠BAE，∠DCE＝∠BCE＝∠BCD＝30°，
∵∠BFE＝∠BCE＋∠CBF＝30°＋50°＝80°，
∴∠EBF＝180°−∠BEC−∠BFE＝180°−50°−880°＝50°，
在△CDE和△CBE中，
∴△CDE≌△CBE（SAS），
∴∠DEC＝∠BEC＝50°，
∴∠BEM＝∠DEC＋∠BEC＝100°，
∴∠BME＝180°−∠BEM−∠EBF＝180°−100°−50°＝30°，故①正确；
在△ADE和△ABE中，
∴△ADE≌△ABE（SAS），故②正确；
∵∠EBC＝∠EBF＋∠CBF＝100°，
∴∠BEM＝∠EBC，
在△BEM和△EBC中，
∴△BEM≌△EBC（AAS），
∴BM＝EC，EM＝BC，故③正确；
连接BD交AC于O，如图所示：
∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，AC⊥BD，
∵∠DCO＝30°，
∴OD＝CD＝BC，OC＝OD，
∴OC＝BC，
∴AC＝2OC＝BC，
∵BM＝EC，EM＝BC，
∴AE＋BM＝AE＋EC＝AC＝BC＝EM，故④正确，
正确结论的个数是4个，
故选：D．
【点拨】
本题考查了菱形的性质、全等三角形的判定与性质、直角三角形的性质等知识；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等是解题的关键．
14．
【分析】
由条件OA=OC，OB=OD，根据对角线互相平分的四边形是平行四边形，可得四边形ABCD为平行四边形，再由菱形的判定定理即可得出结论．
【详解】

四边形是平行四边形，
邻边相等的平行四边形是菱形，
添加的条件是（答案不唯一），
故答案为：
【点拨】
此题主要考查了菱形的判定的判定；关键是掌握菱形的判定定理．
15．2
【分析】
根据矩形的性质得到AC=4，再根据菱形的性质得到AB=2，再根据勾股定理即可求解.
【详解】
∵菱形的边长为2，∴AB=AO=2，
∵O点是矩形ABCD的对角线的中点，
∴AC=2AO=4，
∴BC=
故填：2
【点拨】
此题主要考查菱形的性质，解题的关键是熟知菱形的四边相等.
16．8
【分析】
作出图形，利用30°直角三角形的性质求出高，利用菱形的面积公式可求解．
【详解】
如图所示，菱形ABCD中，AB=AD=4，∠A=60°，
过点D作DE⊥AB于点E，
则，
∴菱形ABCD的面积为AB∙DE=4×= ，
故答案为：．
【点拨】
本题考查了菱形的性质，熟练运用30°直角三角形的性质以及菱形的面积公式是本题的关键．
17．3
【分析】
由菱形的性质可得出AC⊥BD，AB=BC=CD=DA，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出结论．
【详解】
解：∵四边形ABCD为菱形，
∴AC⊥BD，AB=BC=CD=DA=6，
∴△AOD为直角三角形．
∵点E为线段AD的中点，AD=6，
∴OE=3．
故答案为：3．
【点拨】
本题考查了菱形的性质以及直角三角形的性质，本题属于基础题，难度不大．
18．
【分析】
连接AC，过点A作AM⊥BC于点M，根据菱形的面积公式即可求出答案．
【详解】
解：过点A作AM⊥BC于点M，
∵菱形的边长为2cm，
∴AB=BC=2cm，
∵有一个内角是60°，
∴∠ABC=60°，
∴∠BAM=30°，
∴（cm），
∴（cm），
∴此菱形的面积为：（cm2）．
故答案为：．
【点拨】
本题主要考查了菱形的性质和30°直角三角形性质，解题的关键是熟练运用菱形的性质，本题属于基础题型．
19．
【分析】
由菱形的性质得到的长，由矩形的性质可得到答案．
【详解】
解： 四边形为菱形，

，，三点的坐标为，，，

四边形为矩形，

故答案为：
【点拨】
本题考查的是菱形与矩形的性质，熟练掌握菱形，矩形的性质是解题的关键．
20．6
【分析】
连接CE交AB于点O，首先根据含30°角直角三角形的性质得AB＝12，由菱形的性质可得OD＝OB，CD＝CB，由三角形面积可求出OC，根据勾股定理可得OB，由AD＝AB﹣2OB即可求AD的长．
【详解】
解：连接CE交AB于点O，如图所示：
∵Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝30°，BC＝6，
∴AB＝2BC＝12，AC＝，
当平行四边形CDEB为菱形时，CE⊥BD，OD＝OB，CD＝CB，
∵AB•OC＝AC•BC，
∴OC＝，
∴OB＝，
∴AD＝AB﹣2OB＝12﹣2×3＝6，
故答案为：6．
【点拨】
本题考查了菱形的性质，含30°角的直角三角形的性质，勾股定理，掌握知识点是解题关键．
21．
【分析】
连结AF，利用中位线的性质GH=AF，要使GH最小，只要AF最小，由点F在BC，当AF⊥BC时，AF最小，利用菱形性质求出，由确定△ABF为等腰直角三角形，得出AF=BF，由勾股定理得：求出AF即可．
【详解】
连结AF，
∵，分别为，的中点，
∴GH∥AF，且GH=AF，
要使GH最小，只要AF最小，
由点F在BC，当AF⊥BC时，AF最小，
在菱形中，，
∴，
在Rt△ABF中，，
∴△ABF为等腰直角三角形，
∴AF=BF，
由勾股定理得：，
∴，
∴，
GH最小=AF=．
故答案为：．
【点拨】
本题考查动点图形中的中位线，菱形的性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理应用问题，掌握中位线的性质，菱形性质，等腰直角三角形的性质， 点F在BC上，AF最短，点A到BC直线的距离最短时由点A向直线BC作垂线，垂线段AF为最短是解题关键．
22．2
【分析】
由菱形的性质得出OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，面积＝AC×BD，证出四边形EFOG是矩形，EF//OC，EG//OB，得出EF、EG都是△OBC的中位线，则EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，由矩形面积即可得出答案．
【详解】
解：∵四边形ABCD是菱形，
∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD，面积＝AC×BD=16，
∴AC×BD=32
∵EF⊥BD于F，EG⊥AC于G，
∴四边形EFOG是矩形，EF//OC，EG//OB，
∵点E是线段BC的中点，
∴EF、EG都是△OBC的中位线，
∴EF＝OC＝AC，EG＝OB＝BD，
∴矩形EFOG的面积＝EF×EG＝AC×BD＝×32＝2；
故答案为：2．
【点拨】
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握菱形的性质和矩形的性质是解题的关键．
23．
【分析】
先根据菱形的性质得出∠ABO＝∠ABC＝30°，由30°的直角三角形的性质得出OA＝AB＝2，再根据勾股定理求出OB，然后证明EF为△AOB的中位线，根据三角形中位线定理即可得出结果．
【详解】
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，∠ABO＝∠ABC＝30°，
∴OA＝AB＝2，
∴OB＝，
∵点E、F分别为AO、AB的中点，
∴EF为△AOB的中位线，
∴EF＝OB＝．
故答案为：．
【点拨】
本题考查了矩形的性质、勾股定理、含30°角的直角三角形的性质以及三角形中位线定理；根据勾股定理求出OB和证明三角形中位线是解决问题的关键．
24．4
【分析】
由作法知四边形OACB为菱形，利用菱形面积公式对角线乘积的一半，可求OC．
【详解】
解：由作图可知：，
四边形OACB为菱形，
∴AB⊥OC，
，
又，
．
故答案为：4．
【点拨】
本题考查用尺规作图推导图形的特征，掌握菱形的性质与判定方法，会利用对角线积表示面积达到解题目的．
25．
【分析】
根据轴对称确定最短路线问题，作点P关于BD的对称点P′，连接P′Q与BD的交点即为所求的点K，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知P′Q⊥CD时，PK+QK取最小值，然后求解即可．
【详解】
解：作点P关于BD的对称点P′，作P′Q⊥CD交BD于K，交CD于Q，
∵AB＝4，∠A＝120°，
∴点P′到CD的距离为4×=，
∴PK+QK的最小值为，
故答案为：．
【点拨】
本题考查了菱形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键．
26．（1）证明见解析；（2）．
【分析】
（1）根据菱形的性质可得AD=CD，即可得出AE=CF，根据对角线相等且互相平分的四边形是矩形即可得结论；
（2）由∠B=60°及菱形的性质可得△ABC是等边三角形，可得AE=2AB，利用勾股定理可求出CE的长，根据等底等高的三角形面积相等可得S△ACD=S△CED=S△EDF=S△ADF，根据菱形的性质可得S△ABC=S△ACD，即可得出S四边形ABCE=S矩形ACEF，根据矩形的面积公式即可得答案．
【详解】
（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AD=CD，
∵DE=AD，DF=CD，
∴AD+DE=CD+DF，即AE=CF，
∴四边形ACEF是矩形．
（2）∵AB=BC，∠B=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∴AB=AC=BC=AD=DE，
∴AE=2AC=2AB=4，
∵四边形ACEF是矩形，
∴∠ACE=90°，
∴CE=，
∵△ACD、△CED、△EDF、△ADF等底等高，
∴S△ACD=S△CED=S△EDF=S△ADF，
∵四边形ABCD是菱形，
∴S△ABC=S△ACD，
∴S四边形ABCE=S矩形ACEF=CE·AC=××2=．
【点拨】
本题考查菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理及矩形的判定与性质，菱形的四条边都相等；有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形；对角线相等且互相平分的四边形是矩形；熟练掌握相关判定定理及性质是解题关键．
27．（1）证明见解析；（2）6
【分析】
(1)先证明△AEF≌△DEB(AAS)，得AF＝DB，根据一组对边平行且相等可得四边形ADCF是平行四边形，由直角三角形斜边中线的性质得：AD＝CD，根据菱形的判定即可证明四边形ADCF是菱形；
(2)先根据菱形和三角形的面积可得：菱形ADCF的面积＝直角三角形ABC的面积，即可解答．
【详解】
解：(1)证明：∵E是AD的中点，
∴AE＝DE，
∵AF∥BC，
∴∠AFE＝∠DBE，
在△AEF和△DEB中，
∵，
∴△AEF≌△DEB(AAS)，
∴AF＝DB，
∵是的中点，
∴DB=CD=AF，
∴四边形ADCF是平行四边形，
∵∠BAC＝90°，D是BC的中点，
∴AD＝CD＝BC，
∴四边形ADCF是菱形；
(2)解：如图，设AF到CD的距离为h，
∵AF∥BC，AF＝BD＝CD，∠BAC＝90°，
∴S菱形ADCF＝CD•h＝BC•h
＝S△ABC＝AB•AC
＝×4×3＝6．
【点拨】
本题主要考查的是菱形的判定与菱形的面积，需要有一定的推理论证能力，掌握菱形的判定方法是解题的关键．
28．（1）AE＝AF；（2）成立，证明见解析
【分析】
（1）由“SAS”可证△ABE≌△ADF，可得AE＝AF；
（2）由菱形的性质可得AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°，可证△ABC是等边三角形，△ACD是等边三角形，可得AB＝AC，∠ACD＝∠B＝60°＝∠BAC，由“ASA”可证△BAE≌△CAF，可得AE＝AF．
【详解】
解：（1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AB＝AD，∠B＝∠D，
在△ABE和△ADF中，
，
∴△ABE≌△ADF（SAS），
∴AE＝AF，
故答案为：AE＝AF；
（2）仍然成立，
理由如下：如图2，连接AC，
∵四边形ABCD是菱形，∠B＝60°，
∴AB＝BC＝AD＝CD，∠B＝∠D＝60°，
∴△ABC是等边三角形，△ACD是等边三角形，
∴AB＝AC，∠ACD＝∠B＝60°＝∠BAC，
∵∠MAN＝60°＝∠BAC，
∴∠BAE＝∠CAF，
在△BAE和△CAF中，
，
∴△BAE≌△CAF（ASA），
∴AE＝AF．
【点拨】
本题考查菱形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形全等的判定，掌握菱形的性质，等边三角形的性质与判定，三角形全等判定方法是解题关键．