专题18.15 平行四边形-面积问题（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）

这是一份专题18.15 平行四边形-面积问题（专项练习）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版），共36页。试卷主要包含了单选题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
专题18.15 平行四边形-面积问题（专项练习）
一、单选题
1．（2019·浙江八年级期中）下列平行四边形中，其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2019·重庆市育才中学八年级期中）如图，是平行四边形的对角线交点，为中点，交于点，若平行四边形的面积为，则的面积是(　　)

A． B． C． D．
3．（2020·扬州市江都区国际学校八年级期中）如图，直线过平行四边形对角线的交点，分别交、于、，那么阴影部分的面积是平行四边形面积的(　 　)

A． B． C． D．
4．（2020·河南九年级期末）如图，平行四边形中，为边的中点，交于点，则图中阴影部分面积与平行四边形的面积之比为（ ）

A． B． C． D．

二、填空题
5．（2017·北京八年级期中）如图，在平行四边形中，，，于点，，则的长为__________；平行四边形的面积为__________．

6．（2019·云南八年级期末）如图，在平行四边形中，，则平行四边形的面积为____________．

7．（2021·重庆巴蜀中学八年级开学考试）如图，过平行四边形ABCD的对角找BD上一点M分别作平行四边形两边的平行线EF与GH，那么图中的平行四边形AEMG的面积S1与平行四边形HCFM的面积S2的大小关系是_____．

8．（2020·四川北大附中成都为明学校八年级期中）如图所示，平行四边形ABCD的面积为10，它的两条对角线交于点，以AB、为邻边作平行四边形,平行四边形的对角线交于点，同样以AB、为邻边作平行四边形,……，依次类推，则平行四边形的面积为_________________．

9．（2020·黑龙江九年级）在平行四边形中，，，，则平行四边形的面积为_________．
10．（2020·金华市南苑中学九年级月考）小明同学课外阅读了《仁者无敌面积法》一书，深有感触，于是，他对平行四边形的面积问题进行了研究，请你破解小明提出的以下两个问题，如图1，点P为矩形ABCD对角线BD上一点，过点Р作EF∥BC，分别交AB、CD于点E、F，若BE=2，PF=6，的面积为S1，的面积为S2，则S1+ S2______

（2）如图2，点P为平行四边形ABCD内一点（点Р不在BD上），点E、F、G、H分别为各边的中点，设四边形AEPH的面积为S1，四边形PFCG的面积为S2（其中S1> S2），的面积用含S1，S2的代数式可表示为____
11．（2021·安徽九年级期末）如图，在平行四边形中，，相交于点，是的中点，连接并延长交于点．

（1）__________；
（2）若的面积为，则平行四边形的面积为__________．
12．（2020·河南七年级期中）如图，E是平行四边形内任意一点，且平行四边形的面积为6，则图中阴影部分的面积为___．

13．（2020·山东九年级）如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为1，则平行四边形ABCD的面积为_______．

14．（2019·重庆巴蜀中学九年级开学考试）如图，平行四边形ABCD中，E为AD的中点，已知△DEF的面积为2，则平行四边形ABCD的面积是_____．

15．（2020·浙江八年级期中）如图，在一个平行四边形中，两对平行于边的直线将这个平行四边形分为九个小平行四边形，如果原来这个平行四边形的面积为，而中间那个小平行四边形（阴影部分）的面积为20平方厘米，则四边形的面积是________．

16．（2020·苏州高新区实验初级中学七年级期中）如图，平行四边形A与平行四边形B部分重叠在一起，重叠部分的面积是A的，是B的，则平行四边形A与平行四边形B的面积比是_______．

17．（2018·江苏八年级期末）如图，平行四边形中，为的中点，连接，若平行四边形的面积为，则的面积为____.


三、解答题
18．（2021·安徽九年级期末）如图，点是平行四边形的边的中点，连接交对角线于点，若的面积为1，求平行四边形的面积．


19．（2017·北京市第一〇一中学怀柔分校八年级期中）阅读下列材料：
问题：如图1，在△中，点为的中点，求证：＜小明提供了他研究这个问题的思路：从点为的中点出发，可以构造以、为邻边的平行四边形，结合平行四边形的性质以及三角形两边之和大于第三边的性质便可解决这个问题.请结合小明研究问题的思路，解决下列问题：
（1）完成上面问题的解答；
（2）如果在图1中，∠=60°，延长到，使得，延长到，使得，连结，如图2. 请猜想线段与线段之间的数量关系.并加以证明.



20．（2019·上海上外附中八年级月考）在平行四边形中，于E，于F，若，平行四边形周长为40，求平行四边形的面积.

21．（2020·山东九年级）如图，已知平行四边形中，．
（1）求平行四边形的面积；
（2）求证：．




22．（2019·山西八年级期中）综合与实践
问题情境：在综合与实践课上，老师让同学们以“平面直角坐标系中，已知平行四边形三个顶点的坐标，确定第四个顶点坐标，并计算相关图形面积的问题”为主题开展数学活动． 如图，在平面直角坐标系中，已知ABO三个顶点的坐标分别为A(3，4)，B(4，1)，O为坐标原点．

分析计算：（1）请你直接写出ABO的面积；
操作探究：（2）若以A，B，O，C为顶点的四边形是平行四边形，请你在图中画出所有符合条件的平行四边形，并直接写出其顶点C的坐标．


23．（2020·陕西高新一中九年级）问题提出：
（1）如图①，已知△ABC，试确定一点D，使得以A、B、C、D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图②，已知△ABC，BC＝6，∠BAC＝45°，点M、N分别是AC、BC的中点，求MN长的最大值；
问题解决：
（3）如图③，点A是一座电视塔，政府要以塔A为对称中心，建一个平行四边形的广场BCDE，使得该平行四边形广场的周长最大．根据实际情况，点E是一个定点，且点E到塔A的距离是80m，∠BED＝60°，那么是否可以建一个满足上述要求的平行四边形广场BCDE？若可以，请求出该平行四边形周长的最大值，并求出此时该平行四边形的面积；若不可以，请说明理由．



24．（2021·湖南九年级期末）如图，平行四边形中，是的延长线上一点，与交于点．
（1）求证：；
（2）若的面积为，求平行四边形的面积．

25．（2019·无锡市太湖格致中学七年级月考）我们知道：平行四边形的面积＝(底边)×(这条底边上的高)．如图，四边形ABCD都是平行四边形，AD∥BC，AB∥CD，设它的面积为S．
（1）如图①，点M为AD上任意一点，若△BCM的面积为S1，则S1：S＝ ；
（2）如图②，点P为平行四边形ABCD内任意一点时，记△PAB的面积为Sˊ，△PCD的面积为S〞，平行四边形ABCD的面积为S，猜想得Sˊ、S〞的和与S的数量关系式为 ；
（3）如图③，已知点P为平行四边形ABCD内任意一点，△PAB的面积为3，△PBC的面积为7，求△PBD的面积．


26．（2019·河北八年级期末）如图，矩形的面积为20cm2，对角线交于点，以AB、AO为邻边作平行四边形，对角线交于点；以为邻边作平行四边形；…；依此类推，则平行四边形的面积为______，平行四边形的面积为______.

27．（2019·全国九年级专题练习）如图所示，平行四边形中，是的中点，，，.求平行四边形的面积.

28．（2020·全国八年级课时练习）问题探究：已知平行四边形的面积为，是所在直线上一点．
如图：当点与重合时，________；
如图，当点与与均不重合时，________；
如图，当点在（或）的延长线时，________．
拓展推广：如图，平行四边形的面积为，、分别为、延长线上两点，连接、、、，求出图中阴影部分的面积，并说明理由．
实践应用：如图是一平行四边形绿地，、分别平行于、，它们相交于点，，，，，现进行绿地改造，在绿地内部作一个三角形区域（连接、、，图中阴影部分）种植不同的花草，求出三角形区域的面积．

29．（2019·陕西中考真题）问题提出：
（1）如图1，已知△ABC，试确定一点D，使得以A，B，C，D为顶点的四边形为平行四边形，请画出这个平行四边形；
问题探究：
（2）如图2，在矩形ABCD中，AB=4，BC=10，若要在该矩形中作出一个面积最大的△BPC，且使∠BPC＝90°，求满足条件的点P到点A的距离；
问题解决：
（3）如图3，有一座草根塔A，按规定，要以塔A为对称中心，建一个面积尽可能大的形状为平行四边形的草根景区BCDE。根据实际情况，要求顶点B是定点，点B到塔A的距离为50米，∠CBE=120°，那么，是否可以建一个满足要求的面积最大的平行四边形景区BCDE？若可以，求出满足要求的平行四边形BCDE的最大面积；若不可以，请说明理由。（塔A的占地面积忽略不计）


参考答案
1．D
【分析】根据平行四边形的性质和中心对称图形的性质逐项判断即可得到答案.
【详解】
A.根据平行四边形的性质得到阴影部分面积等于平行四边形面积一半，故A正确；
B.根据平行四边形的性质得到阴影部分面积等于平行四边形面积一半，故B正确；
C.根据中心对称图形的性质得到阴影部分面积等于平行四边形面积一半，故C正确；
D.由图形无法得到阴影部分面积等于平行四边形面积一半，故D错误.
​故选D.
【点拨】本题主要考查了中心对称图形的性质以及平行四边形的性质的运用，熟练掌握平行四边形的性质及中心对称图形的性质是解决此题的关键
2．C
【分析】由平行四边形的面积，找到三角形底边和高与平行四边形底边和高的关系，利用面积公式以及线段间的关系求解．分别作△OED和△AOD的高，利用平行线的性质，得出高的关系，进而求解．
解：如图，过A、E两点分别作AN⊥BD、EM⊥BD，垂足分别为M、N，则EM∥AN，

∴EM：AN＝BE：AB，
∵为中点，
∴BE=AB，
∴EM＝AN，
∵平行四边形ABCD的面积为8，
∴2××AN×BD＝8，
∴AN×BD＝8
∴S△OED＝×OD×EM＝×BD×AN＝AN×BD＝1．
故选：C．
【点拨】本题考查平行四边形的性质，综合了平行线分线段成比例以及面积公式．已知一个三角形的面积求另一个三角形的面积有以下几种做法：①面积比是边长比的平方比；②分别找到底和高的比．
3．B
【分析】由平行四边形的性质得到OA=OC，OB=OD，AB∥DC，证出△AOE和△COF全等，△AOB和△COD全等，得到面积相等，即可得到选项．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD，AB∥DC，
∴∠EAO=∠FCO
在△△AOE和△COF中

∴△AOE≌△COF，
∴S△AOE=S△COF，
在△COB和△AOD中

∴△COB≌△AOD，
∴S△AOD=S△BOC，
同理S△AOB=S△DOC
∵OB=OD，
∴S△AOB=S△DOC，
∴阴影部分的面积是S△AOE+S△DOF=S△DOC=S平行四边形ABCD．
故选：B．
【点拨】本题主要考查了平行四边形的性质，全等三角形的性质和判定等知识点，解此题的关键是证明两个三角形全等．
4．C
【分析】根据等底等高的三角形面积比和相似三角形的相似比推出阴影部分面积．
【详解】
设平行四边形的边AD=2a，AD边上的高为3b；过点E作EF⊥AD交AD于F，延长FE交BC于G

∴平行四边形的面积是6ab
∴FG=3b
∵AD∥BC
∴△AED∽△CEM
∵M是BC边的中点，
∴,
∴EF=2b，EG=b
∴
∵
∴
∴阴影部分面积=
∴阴影部分面积：平行四边形的面积=
故选：C．
【点拨】本题主要考查了相似三角形的性质，相似三角形的对应边上的高线的比等于相似比．
5． 28
【解析】∵，
∴，
在中，，，
∴，
在平行四边形中，，
∵，
∴，
∴，
在中，，
平行四边形的面积为：．
故答案为：(1). (2). 28.
6．48m2
【分析】由平行四边形的性质可得BC=AD=8m，然后利用勾股定理求出AC，根据底乘高即可得出面积．
【详解】
∵四边形ABCD为平行四边形
∴BC=AD=8m
∵AC⊥BC
∴△ABC为直角三角形
AC=
∴平行四边形ABCD的面积=m2
故答案为：48m2．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质与勾股定理，题目较简单，根据平行四边形的性质找到直角三角形的边长是解题的关键．
7．S1=S2．
【分析】根据平行四边形的性质和判定得出平行四边形GBEP、GPFD，证△ABD≌△CDB，得出△ABD和△CDB的面积相等；同理得出△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，相减即可求出答案．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，EF∥BC，HG∥AB，
∴AD=BC，AB=CD，AB∥GH∥CD，AD∥EF∥BC，
∴四边形HBEM、GMFD是平行四边形，
在△ABD和△CDB中；，
，
∴△ABD≌△CDB（SSS），
即△ABD和△CDB的面积相等；
同理△BEM和△MHB的面积相等，△GMD和△FDM的面积相等，
故四边形AEMG和四边形HCFM的面积相等，即S1=S2．
故答案为：S1=S2．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质和判定，全等三角形的性质和判定的应用，解此题的关键是求出△ABD和△CDB的面积相等，△BEP和△PGB的面积相等，△HPD和△FDP的面积相等，注意：如果两三角形全等，那么这两个三角形的面积相等．
8．
【分析】根据平行四边形的性质对角线互相平分可知O1是AC与DB的中点，根据等底同高得到,而，得到，同理易知，以此类推，可以得到结果。
【详解】
解：∵四边形ABCD为平行四边形，对角线AC，BD交于点O，
∴，
又∵，
∴，
同理可得
，
，
，
以此类推有：，
而=10
∴，
故答案为：
【点拨】此题考查了平行四边形的性质，要求学生审清题意，找出面积之间的关系，归纳总结出一般性的结论．考查了学生观察、猜想、验证及归纳总结的能力．
9．或
【分析】过D作DE⊥AB于E，先根据含30°的直角三角形的性质得到DE、AE的值，再解直角三角形得到AB=5或者AB=1，根据平行四边形的面积公式即可得到结论．
解：过D作DE⊥AB于E，
在Rt△ADE中，∵∠A=30°，，
∴ ，
∴ ，
∴在Rt△BDE中，
∵，
∴ ，
如图1，AB=3+2=5，

行四边形ABCD的面积=AB•DE= ；
如图2，AB=3-2=1，

∴平行四边形ABCD的面积=AB•DE= ；
故答案为：或
【点拨】本题考查了平行四边形的性质，平行四边形的面积公式的运用，30度角的直角三角形的性质：在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半，勾股定理，熟练掌握各知识点是解题的关键．
10．12
【分析】
（1）如图1中，求出的面积，证明的面积的面积即可．
（2）如图2中，连接，，在中，因为点是的中点，可设，同理，，，，证明，推出，根据．可得结论．
解：（1）如图1中，

过点作于，交于．
四边形是矩形，，
四边形，四边形，四边形，四边形都是矩形，
，，，，，，，
，
，
，
故答案为：12．
（2）如图2中，连接，，

在中，点是的中点，
可设，同理，，，，
，，
，
，
．
【点拨】
本题考查矩形的性质、平行四边形的性质，解题的关键是理解题意，学会利用参数解决问题．
11．2， 96
【分析】
（1）根据平行四边形的性质得到AE=CE，根据相似三角形的性质得到比例式，等量代换得到AF=AD，于是得到2；
（2）先得出，再利用E为AO的中点，AO=CO，得出，进而得出结果．
解：（1）∵在▱ABCD中，AO=AC，
∵点E是OA的中点，
∴AE=CE，
∵AD∥BC，
∴△AFE∽△CBE，
∴，
∵AD=BC，
∴AF=AD，
∴2；
（2）由（1）得△AFE∽△CBE，且，的面积为，
∴ ，
∵E为AO的中点，AO=CO，
∴，
∴，
∴ ，
故答案为：2，96．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定和性质，平行四边形的性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
12．3
【分析】过E作MN⊥BC，表示出△EBC和△EAD的面积为，进而可求得阴影部分面积；
解：如图，过E作MN⊥BC，

∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，
∴EN⊥AD，
∵ ，
∴ ，
∵平行四边形的面积是6，
∴ ,
∴阴影部分的面积是6-3=3，
故答案为：3；
【点拨】此题主要考查了平行四边形的面积，关键是掌握平行四边形的面积公式=底×高．
13．12
【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，那么AD∥BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△DEF∽△BCF，再根据E是AD中点，易求出相似比，从而可求△BCF的面积，再利用△BCF与△DEF是同高的三角形，则两个三角形面积比等于它们的底之比，从而易求△DCF的面积，进而可求▱ABCD的面积．
【详解】
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴S△DEF：S△BCF=（）2，
又∵E是AD中点，
∴DE=AD=BC，
∴DE：BC=DF：BF=1：2，
∴S△DEF：S△BCF=1：4，
∴S△BCF=4，
又∵DF：BF=1：2，
∴S△DCF=2，
∴S▱ABCD=2（S△DCF+S△BCF）=12．
故答案为12．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质．解题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方、同高两个三角形面积比等于底之比，先求出△BCF的面积．
14．24
【分析】由于四边形ABCD是平行四边形，那么AD∥BC，AD=BC，根据平行线分线段成比例定理的推论可得△DEF∽△BCF，再根据E是AD中点，易求出相似比，从而可求△BCF的面积，再利用△BCF与△DEF是同高的三角形，则两个三角形面积比等于它们的底之比，从而易求△DCF的面积，进而可求▱ABCD的面积．
解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴△DEF∽△BCF，
∴S△DEF：S△BCF=（）2，
又∵E是AD中点，
∴DE=AD=BC，
∴DE：BC=DF：BF=1：2，
∴S△DEF：S△BCF=1：4，
∴S△BCF=8，
又∵EF：CF=1：2，
∴S△DCF=4，
∴S▱ABCD=2（S△DCF+S△BCF）=24．
故答案为24．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、平行线分线段成比例定理的推论、相似三角形的判定和性质．解题的关键是知道相似三角形的面积比等于相似比的平方、同高两个三角形面积比等于底之比，先求出△BCF的面积．
15．60cm2．
【分析】把大平行四边形空白部分看作是由：除阴影部分外，4个小平行四边形组成的，对角线AB、AC、BD、DC把每个小平行四边形平均分成了两个面积相等的三角形，即它们的面积①=②，③=④，⑤=⑥，⑦=⑧；大平行四边形图中空白部分的面积=100-20=80cm2；因此四边形ABDC中空白的部分的面积=①+③+⑥+⑦=80÷2=40cm2，则四边形ABDC的面积=①+③+⑥+⑦+阴影部分的面积=40+20=60cm2．
【详解】如图所示：四边形ABDC的面积=①+③+⑥+⑦+阴影部分的面积，

四边形ABDC内空白部分的面积是：（100-20）÷2=80÷2=40（cm2）；
四边形ABDC的面积：40+20=60（cm2）；
∴四边形ABDC的面积是60cm2．
故答案为：60cm2．
【点拨】本题考查了平行四边形的性质、图形面积的计算；利用转化分割的思想，把求四边形ABDC的面积转化为求空白部分的面积是解决本题的关键．
16．2：3
【分析】
可设重合面积为单位1，1÷可表示B的面积，用1÷表示A的面积，即可列式求出答案．
解：B的面积是A的：
（1÷）÷（1÷），
=6÷4，
=1.5（倍）；
面积比是2：3．
故答案为：2:3．
【点拨】此题有理数除法运算的应用，正确理解重叠部分与A、B的面积的关系是解题的关键．
17．6
【解析】如图，连接AC．首先证明△ABC≌△CDA，可得S△ABC=S△ADC=×24=12（cm2），由AE=DE，可得S△CDE=S△ADC=6；
解：如图，连接.

∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
故答案为6
【点拨】本题考查平行四边形的性质、三角形的面积等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
18．12
【分析】根据平行四边形的性质得到AB=CD，AB∥CD，通过△AEF∽△CDF，根据相似三角形的性质结合由点E是AB的中点，得到，利用等高的两个三角形面积之比得到，再计算即可求解．
解：∵四边形为平行四边形，
∴，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∵的面积为1，
∴，
∴，
∴平行四边形的面积=．
【点拨】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质．此题难度不大，注意掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方定理的应用是解此题的关键．
19．（1）证明见解析；（2）BE=2AP，证明见解析
【解析】
试题分析：（1）可通过构建平行四边形求解；延长AP至H，使PH=AP；则AH、BC互相平分，四边形ABHC是平行四边形；在△ACH中，由三角形三边关系定理知：AH