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专题19.1 变量与函数(知识讲解)-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)学案
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这是一份专题19.1 变量与函数(知识讲解)-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练(人教版)学案,共7页。学案主要包含了学习目标,要点梳理,典型例题,总结升华,思路点拨等内容,欢迎下载使用。
专题19.1 变量与函数(知识讲解)【学习目标】1.知道现实生活中存在变量和常量,变量在变化的过程中有其固有的范围(即变量的取值范围);2.能初步理解函数的概念;能初步掌握确定常见简单函数的自变量取值范围的基本方法;给出自变量的一个值,会求出相应的函数值.【要点梳理】 要点一、变量、常量的概念在一个变化过程中,我们称数值发生变化的量为变量.数值保持不变的量叫做常量.要点诠释:一般地,常量是不发生变化的量,变量是发生变化的量,这些都是针对某个变化过程而言的.例如,,速度60千米/时是常量,时间和里程为变量.要点二、函数的定义一般地,在一个变化过程中. 如果有两个变量与,并且对于的每一个确定的值,都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说 是自变量,是的函数.要点诠释:对于函数的定义,应从以下几个方面去理解: (1)函数的实质,揭示了两个变量之间的对应关系; (2)对于自变量的取值,必须要使代数式有实际意义; (3)判断两个变量之间是否有函数关系,要看对于允许取的每一个值,是否都有唯一确定的值与它相对应. (4)两个函数是同一函数至少具备两个条件:①函数关系式相同(或变形后相同);②自变量的取值范围相同.否则,就不是相同的函数.而其中函数关系式相同与否比较容易注意到,自变量的取值范围有时容易忽视,这点应注意.要点三、函数值是的函数,如果当=时=,那么叫做当自变量为时的函数值.要点诠释:对于每个确定的自变量值,函数值是唯一的,但反过来,可以不唯一,即一个函数值对应的自变量可以是多个.比如:中,当函数值为4时,自变量的值为±2.要点四、自变量取值范围的确定 使函数有意义的自变量的取值的全体实数叫自变量的取值范围.要点诠释:自变量的取值范围的确定方法: 首先,要考虑自变量的取值必须使解析式有意义: (1)当解析式是整式时,自变量的取值范围是全体实数; (2)当解析式是分式时,自变量的取值范围是使分母不为零的实数; (3)当解析式是二次根式时,自变量的取值范围是使被开方数不小于零的实数; (4)当解析式中含有零指数幂或负整数指数幂时,自变量的取值应使相应的底数不为零; (5)当解析式表示实际问题时,自变量的取值必须使实际问题有意义.【典型例题】类型一、变量与函数 1、(2018·全国七年级单元测试)下列是关于变量x与y的八个关系式:① y = x;② y2 = x;③ 2x2 − y = 0;④ 2x − y2 = 0;⑤ y = x3 ;⑥ y =∣x∣;⑦ x = ∣y∣;⑧ x =.其中y不是x的函数的有_____.(填序号)【答案】②④⑦【解析】根据函数的定义:“在一个变化过程中,若有两个变量x、y,在一定的范围内当变量x每取定一个值时,变量y都有唯一确定的值和它对应,我们就说变量y是变量x的函数”分析可知,在上述反映变量y与x的关系式中,y不是x的函数的有②④⑦,共3个.故答案为②④⑦.【总结升华】在一个变化过程中,如果有两个变量与,并且对于的每一个确定的值,都有唯一确定的值与其对应,那么我们就说是自变量,是的函数.抓住函数定义中的关键词语“都有唯一确定的值”,与之间的对应,可以是“一对一”,也可以是“多对一”,不能是“一对多”.【变式】(2020·全国八年级课时练习)下列:①;②;③;④,具有函数关系(自变量为)的是______.【答案】①②【分析】根据函数的定义可知,满足对于x的每一个取值,y都有唯一确定的值与之对应关系,据此即可确定哪些是函数.解:∵对于①y=x2;②y=2x+1当x取值时,y有唯一的值对应;故具有函数关系(自变量为x)的是①②;类型二、函数解析式的取值范围 2、求出下列函数中自变量的取值范围(1); (2);(3); (4).【答案】(1)任何实数(2)(3)(4)【分析】(1)因为函数表达式右边为整式,所以自变量取值范围是任意实数;(2)根据分式的分母不为0列不等式求解;(3)根据二次根式的被开方数大于等于0列不等式求解;(4)根据二次根式的被开方数大于等于0,分式分母不为0列不等式组求解.解:(1)∵为整式,∴x为任意实数;(2)根据题意得,3x+1≠0,∴ ;(3))根据题意得,≥0,∴ ;(4)根据题意得, ,解得,.【点拨】求函数的自变量的取值范围,就是使函数解析式有意义的自变量的允许范围,常见的限制条件有分母不为0、偶次根式下被开方数大于或等于0,根据此条件列式求解是解答此题的重要途径.举一反三:【变式】(2019·洛阳市实验中学八年级月考)等腰三角形的周长为10,底边长y与腰x的函数关系式是,则自变量x的取值范围是________.【答案】2.5<x<5【分析】根据两边之和大于第三边,底边的长是正数,可得答案.解:∵等腰三角形的周长为10,等腰三角形的底y与腰x之间的函数关系式为y=10−2x,∴两边之和大于第三边,得2x>10−2x,解得x>2.5.又有10−2x>0,解得x<5,∴自变量x的取值范围是2.5<x<5,故答案为2.5<x<5.【点拨】本题考查三角形的三边关系及函数自变量的综合应用,用不等式正确表示三边关系并注意三角形的边长为正数是解题关键. 类型三、函数解析式3.(2019·南京东山外国语学校八年级月考)如图,一农户要建一个矩形猪舍,猪舍的一边利用住房墙(住房墙的长度大于),另外三边用长的建筑材料围成,为方便进出,在边上留一个宽的门.若设为,为,则与之间的函数关系式为______.【答案】【分析】设AB为y(m),BC为x(m),根据AB+BC+CD-1=25列出方程即可.解:设为,为,根据题意得,整理得.故答案为:.【点拨】此题考查了根据实际问题列函数关系式的知识,属于基础题,解答本题关键是根据三边建筑材料的总长为25米,列出等式.举一反三:【变式】(2020·辽宁大连市·九年级学业考试)如图,中,,,是的角平分线,过点作的垂线,交的延长线于点.若设,,则关于的函数解析式为___________.【答案】【分析】延长CE、AB交于点F,先证△BCE≌△BFE,进而得到CE=FE=CF,然后再在Rt△CAF中由勾股定理求出CF的值即可求解. 解:延长CE、AB交于点F,如下图所示:∵,,∴在Rt△ABC中,由勾股定理可知:又BE是∠FBC的角平分线,∴∠FBE=∠CBE在△BCE和△BFE中 ,∴△BCE≌△BFE(ASA)∴BF=BC=4∴AF=BF-AB=4-x∵∠CAB=∠CAF=90°∴在Rt△ACF中,由勾股定理可知:∴∴且AB<BC,即.故答案为:.【点拨】本题考查了三角形全等、勾股定理、函数的概念等,属于综合题,本题的关键是能延长CE、AB交于点F后证明△BCE≌△BFE.举一反三:【变式】(2018·西安交大阳光中学八年级月考)如图,的边长是8,边上的高是4,点在运动,设长为,请写出的面积与之间的函数关系式______.【答案】y=-2x+16.【分析】直接利用三角形面积求法得出y与x之间的函数关系即可.解:由题意可得,△ACD的面积y与x之间的函数关系式为:y=AD′•DC=×4×(8-x)=-2x+16.故答案为:y=-2x+16.【点拨】此题主要考查了函数关系式,正确掌握钝角三角形面积求法是解题关键.类型四、函数值4、 若与的关系式为,当=时,的值为( ) A.5 B.10 C.4 D.-4【思路点拨】把代入关系式可求得函数值.【答案】C;【解析】.【总结升华】是的函数,如果当=时=,那么叫做当自变量为时的函数值.
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