2022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题04幂函数、指数函数和对数函数

学习目标
1.幂函数的概念及其在内的单调性。
2.指数函数及其性质，

3.掌握幂函数的定义域及其性质，特别是在内的单调性会画幂函数的图像，4.掌握指数函数的图像及其性质。

知识梳理
重点1
1.幂函数的定义：一般地，函数叫做幂函数。
2.指数函数的定义：一般地，函数叫做指数函数。其中x是自变量，函数的定义域是R. 幂函数与指数函数的形式一定要区分开。

3.指数函数的性质：性质1.指数函数的函数值恒大于零.性质2. 指数函数的图像经过点（0，1）.性质3. 函数（>1）在内是增函数；函数（0<<1）在内是减函数.

重点2
①幂函数的定义域由常数确定，但总有四种。当，幂函数是奇函数或偶函数，因此研究幂函数的性质，主要是研究幂函数在上的性质。当是增函数；当上是减函数，幂函数的图像都经过。
②指数函数有些同学常会与幂函数混淆。
③换底公式

④函数的定义域是它的反函数的值域；函数的值域就是它的反函数的定义域。互为反函数的两个函数的图像关于直线对称。
⑤对数函数与指数函数互为反函数。⑥在解对数方程时必须对求得的解进行检验，因为在利用对数的性质将对数方程变形的过程中，如果未知数的允许值范围扩大，那么可能会产生增根。

例题分析
例1．能推断出函数在上为增函数的是（    ）

A．若、且，则

B．若、且，则

C．若、且，则

D．若、且，则

【答案】D

【详解】

对于A选项，若、且，则且，

则函数在上为增函数，A选项不满足条件；

对于B选项，若、且，则且，

则函数在上为减函数，B选项不满足条件；

对于C选项，若、且，无法判断与的大小，C选项不满足条件；

对于D选项，若、且，则，且、，

因为，故函数为上的增函数，D选项满足条件.

故选：D.

例2．若实数满足，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】B

【详解】

解：设，则，

设，，

作出函数的图像，如图所示，

由图可得，所以，

故选：B

跟踪练习

1．已知函数 则（    ）

A． B． C． D．

2．对数的创始人约翰·奈皮尔（John Napier，1550—1617）是苏格兰数学家.直到18世纪，瑞士数学家欧拉发现了指数与对数的互逆关系.人们才认识到指数与对数之间的天然关系.对数发现前夕，随着科技的发展，天文学家做了很多的观察，需要进行很多计算，而且要算几个大数的连乘，往往需要花费很长时间.基于这种需求，1594年，奈皮尔运用了独创的方法构造出对数方法.现在随着科学技术的需要，一些幂的值用数位表示，譬如，所以的数位为4（一个自然数效位的个数，叫做数位）.则的数位是（    ）

（注）

A．6679 B．6680 C．6681 D．6682

3．设D是的一个子集，称函数为“机智”的，若存在奇函数，使得，有两个命题：①若对任意，都成立，，则是“机智”的；②若对任意，都成立，则是“机智”的；则下列判断正确的是（    ）

A．①是真命题，②是假命题

B．①是假命题，②是真命题

C．①､②都是假命题

D．①､②都是真命题

4．若，则的定义域是（    ）

A．R B． C． D．

5．某果农借助一平台出售水果，为了适当地给鲜杏保留空气呼吸，还会在装杏用的泡沫箱用牙签戳上几个小洞，同时还要在鲜杏中间放上冰袋，来保持泡沫箱内部的温度稳定，这样可以有效延长水果的保鲜时间．若水果失去的新鲜度与其采摘后时间（小时）满足的函数关系式为．若采摘后20小时，这种杏子失去的新鲜度为10%，采摘后40小时，这种杏子失去的新鲜度为20%．在这种条件下，杏子约在多长时间后会失去一半的新鲜度（    ）（已知，结果取整数）

A．42小时 B．53小时 C．56小时 D．67小时

6．若函数．则（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数是偶函数．

（1）求k的值；

（2）若对于任意x恒成立，求实数b的取值范围．

8．最近，考古学家再次对四川广汉“三星堆古基”进行考古发据，科学家通过古生物中某种放射性元素的存量来估算古生物的年代，已知某放射性元素的半衰期约为年（即：每经过年，该元素的存量为原来的一半），已知古生物中该元素的初始存量为（参考数据：）.

（1）写出该元素的存量与时间（年）的关系；

（2）经检测古生物中该元素现在的存量为，请推算古生物距今大约多少年？

9．设为给定的实常数，若函数在其定义域内存在实数，使得成立，则称函数为“函数”．

（1）若函数为“函数”，求实数的值；

（2）若函数为“函数”，求实数的取值范围；

（3）已知()为“函数”，设.若对任意的，当时，都有成立，求实数的最大值．

10．设函数的反函数为．

（1）解方程：；

（2）设是定义在上且以为周期的奇函数．当时，，试求的值．

参考答案

1．C

【详解】

由题意可知，.

故选：C．

2．B

【详解】

设，所以，因为，所以，所以，所以的数位为6680，

故选：B.

3．D

【详解】

为奇函数，，

故选：D

4．C

【详解】

解：因为，所以，

所以的值域为，

所以的定义域为，

故选：C

5．D

【详解】

由题意可得，①

，②

②①可得，解得，

所以，③

③①可得，

所以，即，

解得（小时）.

故选：D

6．A

【详解】

，则，因此，.

故选：A.

7．（1）；（2）.

【详解】

（1）因为函数是偶函数，

所以 ，即 ，

，

解得 .

（2）对于任意x恒成立，即，

亦即对于任意x恒成立，

令，

则有

，

因为 ，，所以，

即 ，故 .

8．（1），；（2）.

【详解】

（1）由半衰期的定义可知，每年古生物中该元素的存量是上一年该元素存量的，

所以，该元素的存量与时间（年）的关系式为，；

（2）由可得，

所以，，.

因此，该古生物距今大约年.

9．（1）；（2）；（3）1.

【详解】

解：（1）由为“函数”，得

即，解得，故实数的值为；

（2）由函数为“G(1)函数”可知，存在实数，

使得，，

即；

由，得， 整理得.

① 当时，，符合题意；

② 当时，由，即，

解得且；

综上，实数的取值范围是；

（3）由为“函数”，得，

即，从而，，

不妨设，则由，即，

得，

令，则在区间上单调递增，

又，

如图，可知，故实数的最大值为1.

10．（1）原方程的解集为；（2）．

【详解】

（1），则

即，解得或．

由可得，，所以，原方程的解集为；

（2），其中，令，可得，即，

所以当时，所以，，

由于是定义在上且以为周期的奇函数，

所以对于任意实数，均有，．

，则，

故，

又因为，所以，故.

因此，.