2022届高考数学沪教版一轮复习-讲义专题11平面向量的概念复习与检测

学习目标

1.理解平面向量的有关概念
2.向量的方向，
3.向量的模，
4.单位向量，
5.零向量
知识梳理
重点1
向量的定义：既有大小又有方向的量叫做向量.例如：力，速度。
表示方法：用有向线段来表示向量.有向线段的长度表示向量的大小，用箭头所指的方向表示向量的方向.用小写字母，…或用，，…表示.

注意：我们用有向线段表示向量，而不能认为向量就是一个有向线段.

重点2
模：向量的长度叫向量的模，记作或.向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小.

零向量：长度为零的向量叫做零向量，记作；零向量的方向不确定.

注意：0和是不同，0是一个数字，代表一个向量，不要弄混.

单位向量：长度为1个长度单位的向量叫做单位向量.

注意：单位向量不是只有一个，有无数多个，如果把它们的起始点重合，终止点刚好可以构成一个单位圆。

重点3
共线向量：方向相同或相反的向量叫共线向量，规定零向量与任何向量共线.

注意：由于向量可以进行任意的平移，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量平行向量和共线向量是一个意思，对于两个非零向量，若存在非零常数使是的充要条件.

相等的向量：长度相等且方向相同的向量叫相等的向量.

例题分析
例1.已知两个非零向量 不平行，   

（1）如果 = ，求证A，B，D三点共线；   

（2）试确定实数k，使k 平行．   
【答案】 （1）解：∵ = ，

∴ = + + =6 +6 =6 ，

∴ ∥ ，

∴A，B，D三点共线

（2）解：设k 平行，

∴ ，

k2=1∴k=±1，

∴k=±1时，k 平行

例2.已知 =（x，1）， =（4，﹣2）．
（Ⅰ）当 ∥ 时，求| + |；
（Ⅱ）若 与 所成角为钝角，求x的范围． 
【答案】解：（Ⅰ）当 ∥ 时，有﹣2x﹣4=0，解得：x=﹣2，
故 + =（2，﹣1），所以| + |= ；
（Ⅱ）由 • =4x﹣2，且 与 所成角为钝角，则满足4x﹣2＜0且 与 不反向，由第（Ⅰ）问知，当x=﹣2时， 与 反向，
   故x的范围为（﹣∞，﹣2）∪（﹣2， ）．   

跟踪练习

1. 为虚数单位， ， ，则 （    ）           

A. 1                                         B. 2                                         C.                                          D. 

2.已知向量 、 满足 ， ，向量 ， 的夹角为 ，则 的值为（    ）           

A. 4                                          B. 3                                          C. 2                                          D.   

3.有下列说法： 

①若两个向量不相等，则它们一定不共线；②若四边形 是平行四边形，则 ；③若 ， ，则 ；④若 ，则 且 ．其中正确说法的个数是（    ）

A. 0                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 3

4.设 是向量，则“ ”是“ ”的（   ）           

A. 充分而不必要条件         B. 必要而不充分条件         C. 充分必要条件         D. 既不充分也不必要条件

5.已知向量 ，则 的值为（   ）           

A.                                            B. 1                                           C. 2                                           D. 3

6.已知平面向量 、 的夹角为135°，且 为单位向量， ，则 （   ）           

A.                                      B.                                      C. 1                                     D. 

7.下列说法正确的个数为（    ） 

①零向量没有方向；②向量的模一定是正数；③与非零向量 共线的单位向量不唯一

A. 0                                           B. 1                                           C. 2                                           D. 3

8.已知 ， ，则 （   ）           

A. 2                                       B.                                        C. 4                                       D. 

9.已知向量 是夹角为 的单位向量， 。
   

（1）求 ；
   

（2）当 为何值时， 与 平行？
   

10.如图，半圆的直径 ， 是半圆上的一点， 分别是 上的点，且

（1）求证：向量 ；   

（2）求 .   
参考答案

1.【答案】 A  

【解析】解： ．

故答案为：A．

2.【答案】 C  

【解析】∵ ， ，且向量 ， 的夹角为 ，

∴ ，

∴ .

故答案为：C.

3.【答案】 A  

【解析】对于①，当两个向量不相等时，可能方向相反，所以可能共线，故①不正确；

对于②，若四边形 是平行四边形，则 ，故②不正确；

对于③，当 时， 与 可以不共线，故③不正确；

对于④，“若 ，则 且 或 与 在一条直线上”，故④不正确.

故答案为：A.

4.【答案】 D  

【解析】由 无法得到 ，充分性不成立；由 ，得 ，两向量的模不一定相等，必要性不成立.

故答案为：D.

5.【答案】 B  

【解析】因为 ，所以 ，

故答案为：B.

6.【答案】 C  

【解析】由题意得 ，则 ，

故答案为：:C．

7.【答案】 B  

【解析】零向量的方向是任意的，故①错；向量的模是非负数，故②错；

与非零向量 共线的单位向量不唯一，分别是 ，故③正确.

故答案为：B.

8.【答案】 C  

【解析】因为 ， ，所以 ，

则 .

故答案为：C.

9.【答案】 （1）解：由题意得 ，

∴ ,

∴

（2）解：若 ∥ ，

 则存在实数 使得 ，

即 ．

∵ 不共线，

，解得 ．

∴当 时， 与 平行

10.【答案】 （1）证明：由题意知，在△ 中， ∴ 又点 为半圆上一点， 直径，∴

∴ ，故

（2）解：由 知△ △ ，

∴ ，即 .

∴ 即