数学八年级上册12.3 角的平分线的性质测试题

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第12章全等三角形12.3角的平分线的性质【简答题专练】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．如图，四边形ABCD中，AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，P是对角线AC上一点，

求证：PB=PD．
【答案】证明见解析.
【解析】
试题分析：易证△ABC和△ADC均为直角三角形，即可证明RT△ABC≌RT△ADC，可得∠BAC＝∠DAC，即可证明△BAP≌△DAP，可得PB＝PD，即可解题．
试题解析：
∵AB=AD，AB⊥BC，AD⊥CD，AC=AC
∴Rt△ABC≌Rt△ADC（HL）
∴CB=CD（全等三角形的对应边相等）
∴AC平分∠BAD（在一个角的内部， 到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）
∵AB=AD，∠BAP=∠ADP，AP=AP
∴△APB≌△APD.(SAS)
∴PB=PD. （全等三角形的对应边相等）
点睛：本题考查了全等三角形的判定，考查了全等三角形对应角相等的性质，本题中求证RT△ABC≌RT△ADC和△BAP≌△DAP是解题的关键．
2．如图，在△ABC中，D是BC边上的点（不与点B，C重合），连结AD

（1）如图1,当点D是BC边上的中点时，则S△ABD:S△ACD=_________（直接写出答案）
（2）如图2，当AD是∠BAC的平分线时，若AB=m，AC=n，S△ABD:S△ACD=_________ (用含m,n的代数式表示)．
（3）如图3，AD平分∠BAC，延长AD到E，使得AD=DE,连结BE，如果AC=2,AB=4,S△BDE =6,求△ABC的面积．
【答案】（1）1：1；（2）m∶n；（3）9
【解析】
【分析】
（1）过A作AE⊥BC于E，根据三角形面积公式求出即可；
（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，根据角平分线性质求出DE=DF，根据三角形面积公式求出即可；
（3）根据已知和（1）（2）的结论求出△ABD和△ACD的面积，即可求出答案．
【详解】
解：（1）过A作AE⊥BC于E，
∵点D是BC边上的中点，
∴BD=DC，
∴SABD：S△ACD=（×BD×AE）：（×CD×AE）=1：1，
故答案为：1：1；

（2）过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∵AD为∠BAC的角平分线，
∴DE=DF，
∵AB=m，AC=n，
∴SABD：S△ACD=（×AB×DE）：（×AC×DF）=m：n；

（3）∵AD=DE，
∴由（1）知：S△ABD：S△EBD=1：1，
∵S△BDE=6，
∴S△ABD=6，
∵AC=2，AB=4，AD平分∠CAB，
∴由（2）知：S△ABD：S△ACD=AB：AC=4：2=2：1，
∴S△ACD=3，
∴S△ABC=3+6=9，
故答案为：9．

【点睛】
本题考查了角平分线性质和三角形的面积公式，能根据（1）（2）得出规律是解此题的关键．
3．已知，直线AB∥DC，点P为平面上一点，连接AP与CP．

（1）如图1，点P在直线AB、CD之间，当∠BAP=60°，∠DCP=20°时，求∠APC度数．
（2）如图2，点P在直线AB、CD之间，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，写出∠AKC与∠APC之间的数量关系，并说明理由．
（3）如图3，点P落在CD外，∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，∠AKC与∠APC有何数量关系？并说明理由．
【答案】（1）80°；（2）详见解析；（3）详见解析
【解析】
【分析】
（1）过P作PE∥AB，根据平行线的性质即可得到∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，再根据进行计算即可；
（2）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，得到∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，再根据角平分线的定义，得进而得到
（3）过K作KE∥AB，根据KE∥AB∥CD，可得∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，进而得到∠AKC=∠AKE−∠CKE=∠BAK−∠DCK，同理可得，∠APC=∠BAP−∠DCP，再根据角平分线的定义，得出进而得到
【详解】
解：(1)如图1,过P作PE∥AB，
∵AB∥CD，
∴PE∥AB∥CD，
∴∠APE=∠BAP，∠CPE=∠DCP，
∴
(2)

理由：如图2,过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠AKE=∠BAK，∠CKE=∠DCK，
∴∠AKC=∠AKE+∠CKE=∠BAK+∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC=∠BAP+∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴
∴
(3)
理由：如图3,过K作KE∥AB，
∵AB∥CD，
∴KE∥AB∥CD，
∴∠BAK=∠AKE，∠DCK=∠CKE，
∴∠AKC=∠AKE−∠CKE=∠BAK−∠DCK，
过P作PF∥AB，
同理可得，∠APC=∠BAP−∠DCP，
∵∠BAP与∠DCP的角平分线相交于点K，
∴
∴
【点睛】
考核知识点：平行线判定和性质综合.添辅助线，灵活运用平行线性质是关键.
4．如图，△ABC中，AD平分∠BAC，DG⊥BC且平分BC，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F．

（1）说明BE=CF的理由；
（2）如果AB=5，AC=3，求AE、BE的长．
【答案】（1）见解析；（2）AE=4，BE=1.
【解析】
【分析】
（1）连接DB，DC，证明Rt△BED≌Rt△CFD，再运用全等三角形的性质即可证明；
（2）.先证明△AED≌△AFD得到AE=AF，设BE=x，则CF=x， 利用线段的和差即可完成解答.
【详解】
（1）证明：连接BD，CD，

∵ AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE=DF，∠BED=∠CFD=90°，
∵DG⊥BC且平分BC，
∴BD=CD，
在Rt△BED与Rt△CFD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CFD（HL），
∴BE=CF；
（2）解：在△AED和△AFD中，

∴△AED≌△AFD（AAS），
∴AE=AF，
设BE=x，则CF=x，
∵AB=5，AC=3，AE=AB﹣BE，AF=AC+CF，
∴5﹣x=3+x，解得：x=1，
∴BE=1，即AE=AB﹣BE=5﹣1=4．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定和性质，掌握三角形全等的判定方法和灵活运用全等三角形的性质是解题本题的关键
5．直线，与的平分线交于点C，过点C作一条直线分别与直线PA，QB相交于点D，E．
（1）如图（1），当直线l与PA垂直时，求证：．
（2）如图（2），当直线l与PA不垂直且点D，E在AB同侧时，（1）中的结论是否成立？如果成立，请证明；如果不成立，请说明理由．
（3）当直线l与PA不垂直且点D，E在AB异侧时，（1）中的结论是否仍然成立？如果成立，请证明；如果不成立，请写出AD，BE，AB之间的数量关系（不用证明）．

【答案】（1）证明见解析；（2）成立，证明见解析；（3）不成立，．
【解析】
【分析】
（1）根据各线段之间的长度，先猜想AD＋BE＝AB；
（2）在AB上截取AG＝AD，连接CG，利用三角形全等的判定定理可判断出AD＝AG．同理可证BG＝BE，即AD＋BE＝AB；
（3）画出直线l与直线MA不垂直且交点D、E在AB的异侧时的图形，分两种情况讨论：①当点D在射线AM上、点E在射线BN的反向延长线上时；②点D在射线AM的反向延长线上，点E在射线BN上时；得到AD，BE，AB之间的关系．
【详解】
（1）如图，过点C作于点F．

平分，BC平分，
，．
，，
，
，
，
．
，
．
在△与中，，
，
．
同理可得．
，
；
（2）成立．证明：如图，在AB上截取，连接CG．

平分，
．
在与中，，
，
．
，
．
，BC平分，
，
，
，即．
，
，．
在与中，，
，
，
，
；
（3）不成立．当点D在射线AP上，点E在射线BQ的反向延长线上时，如图（3），；

延长BC交AM于F，
∵AD∥BN，
∴∠4=∠AFB=∠3，∠FDC=∠CEB，
∴AF=AB，
∵∠1=∠2，
∴AC⊥BF，CF=BC，
在△CDF和△CEB，
∴△CDF≌△CEB（AAS），
∴DF=BE，
∴AD-BE=AD-DF=AF=AB，
∴；
当点D在射线AP的反向延长线上，点E在射线BQ上时，如图，，

∵AC和BC分别为∠FAB和∠ABE的角平分线，
∴∠FAC=∠BAC，∠ABC=∠EBC，
∵AF∥BE，
∴∠AFC=∠EBC，
∴∠ABC=∠AFC，
在△AFC和△ABC中，
∴△AFC≌△ABC，
∴AF=AB，FC=BC，
∵AF∥BE，
∴∠AFC=∠EBC，
∴在△DFC和△EBC中，
∴△DFC≌△EBC，
∴DF=BE，
∴DF-AD=BE-AD=AF=AB，
即．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，角平分线的定义，正确的作出辅助线是解题的关键．
6．如图，OD平分，，P为OD上一点，于点M，于点N．求证：．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
由已知容易求证△OBD≌△OAD（SAS），可得∠3=∠4，再根据角平分线的性质定理，可证PM=PN．
【详解】
∵OD平分∠AOB，

∴∠1=∠2．
在△OBD和△OAD中，
，
∴△OBD≌△OAD（SAS）．
∴∠3=∠4．
∵PM⊥BD，PN⊥AD，
∴PM=PN．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定和性质，角平分线性质定理及其逆定理，由已知能够证明△OBD≌△OAD是解决的关键．
7．如图，BD平分，AD平分的外角，与AC相交于点N，与AB相交于点M，已知，，则MN的长为________．

【答案】3cm
【解析】
【分析】
如图，作于，于，连接DC，作，交BC的延长线于点P．结合角平分线与平行线的性质证明，过点N作于点Q．证明过点M作于点F．证明从而可得答案．
【详解】
解：如图，作于，于，连接DC，作，交BC的延长线于点P．
平分，
．
平分，
，
，
平分，
．
，
，，
．
过点N作于点Q．

，，，
，
．
平分，
．
，
．
过点M作于点F．
，，，
，
，
．
【点睛】
本题考查的是三角形全等的判定，角平分线的性质定理与判定定理，掌握作出恰当的辅助线构建全等三角形是解题的关键．
8．如图，AB∥CD，以点A为圆心，小于AC长为半径作圆弧，分别交AB，AC于E，F两点，再分别以E，F为圆心，大于EF长为半径作圆弧，两条圆弧交于点P，作射线AP，交CD于点M．

（1）若∠ACD=114°，求∠MAB的度数；
（2）若CN⊥AM，垂足为N，求证：△ACN≌△MCN．
【答案】（1）33°（2）证明见解析
【解析】
（1）解：∵AB∥CD，∴∠ACD+∠CAB=180°．
又∵∠ACD=114°，∴∠CAB=66°．
由作法知，AM是∠ACB的平分线，∴∠AMB=∠CAB=33°．
（2）证明：∵AM平分∠CAB，∴∠CAM=∠MAB，
∵AB∥CD，∴∠MAB=∠CMA．∴∠CAN=∠CMN．
又∵CN⊥AM，∴∠ANC=∠MNC．
在△ACN和△MCN中，
∵∠ANC=∠MNC，∠CAN=∠CMN，CN=CN，∴△ACN≌△MCN（AAS）．
（1）由作法知，AM是∠ACB的平分线，由AB∥CD，根据两直线平行同旁内角互补的性质，得∠CAB=66°，从而求得∠MAB的度数．
（2）要证△ACN≌△MCN，由已知，CN⊥AM即∠ANC=∠MNC=90°；又CN是公共边，故只要再有一边或一角相等即可，考虑到AB∥CD和AM是∠ACB的平分线，有∠CAN="∠MAB" =∠CMN．
从而得证．
9．证明命题“角平分线上的点到角的两边的距离相等”，要根据题意，画出图形，并用符号表示已知和求证，写出证明过程．下面是小明同学根据题意画出的图形，并写出了不完整的已知和求证．

已知：如图，∠AOC=∠BOC， 点P在OC上．
①______________．
求证：②______________．
请你补全己知和求证，并写出证明过程．
【答案】①PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E；②PD=PE；证明见解析
【解析】
【分析】
根据题意、结合图形写出已知和求证，证明△OPD≌△OPE，根据全等三角形的性质即可得到结论．
【详解】
解：①PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．
②PD=PE．
证明：∵PD⊥OA，PE⊥OB，
∴∠PDO=∠PEO=90°
在△PDO和△PEO中，
，
∴△PDO≌△PEO（AAS）
∴PD=PE．
【点睛】
本题主要考查了角平分线的性质和全等三角形的性质及判定，利用图形写出已知条件和求证是解答此题的关键．
10．如图，在ABC 中，∠C = 90°，AC=BC．AD 平分∠CAB 交BC于点D．DEAB于点E，且AB=6 cm．求ΔBDE的周长．

【答案】6cm
【解析】
【分析】
本题易证Rt△ADC≌Rt△ADE，得到AC=AE=BC，DE=CD，则△BDE的周长=DE+DB+EB=BC+EB=AE+EB=AB．
【详解】
解：根据题意能求出△BDE的周长．
∵∠C=90°，∠DEA=90°，
又∵AD平分∠CAB，
∴DE=DC．
在Rt△ADC和Rt△ADE中，DE=DC，AD=AD，
∴Rt△ADC≌Rt△ADE（HL）．
∴AC=AE，
又∵AC=BC，
∴AE=BC．
∴△BDE的周长=DE+DB+EB=BC+EB=AE+EB=AB．
∵AB=6cm，
∴△BDE的周长=6cm．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，对应边相等，正确证明Rt△ADC≌Rt△ADE是解题关键．
11．已知：如图，∠XOY＝90°，点A、B分别在射线OX、OY上移动（不与点O重合），BE是∠ABY的平分线，BE的反向延长线与∠OAB的平分线相交于点C．
（1）当∠OAB＝40°时，∠ACB＝　 　度；
（2）随点A、B的移动，试问∠ACB的大小是否变化？如果保持不变，请给出证明；如果发生变化，请求出变化范围．

【答案】（1）45;(2) ∠ACB的大小不发生变化．
【解析】
【分析】
（1）先利用角平分线得出∠CAB＝∠OAB，∠EBA＝∠YBA，再利用三角形的外角的性质即可得出结论；
（2）先利用角平分线得出∠CAB＝∠OAB，∠EBA＝∠YBA，再利用三角形的外角的性质即可得出结论．
【详解】
解：（1）∵∠XOY＝90°，∠OAB＝40°，
∴∠ABY＝130°，
∵AC平分∠OAB，BE平分∠YBA，
∴∠CAB＝∠OAB＝20°，∠EBA＝∠YBA＝65°，
∵∠EBA＝∠C+∠CAB，
∴∠C＝∠EBA﹣∠CAB＝45°，
故答案为45；
（2）∠ACB的大小不变化．
理由：∵AC平分∠OAB，BE平分∠YBA，
∴∠CAB＝∠OAB，∠EBA＝∠YBA，
∵∠EBA＝∠C+∠CAB，
∴∠C＝∠EBA﹣∠CAB＝∠YBA﹣∠OAB＝（∠YBA﹣∠OAB），
∵∠YBA﹣∠OAB＝90°，
∴∠C＝×90°＝45°，
即：∠ACB的大小不发生变化．
【点睛】
此题主要考查了角平分线定理，三角形的外角的性质，解本题的关键是得出∠YBA﹣∠OAB＝90°．
12．分别画出已知钝角和平角的平分线．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据角平分线的作法，分别作出两角的角平分线即可．
【详解】
解：如钝角中，以O为圆心，任意长度为半径作弧，分别交OA、OB于点M、N，然后分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点C，作射线OC，如图所示，射线OC即为角平分线；
如平角中，以O为圆心，任意长度为半径作弧，分别交OA、OB于点M、N，然后分别以M、N为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点C，作射线OC，如图所示，射线OC即为角平分线．

【点睛】
此题考查的是作一个角的角平分线，掌握利用尺规作图作角平分线是解决此题的关键．
13． 已知：如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD=CD，BE=CF；求证：AD平分∠BAC．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据已知条件证明△BDE≌△CDF，得到DE=DF，再根据角平分线的判定定理即可得到结论.
【详解】
证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠DEB=∠DFC=90°，
在Rt△BDE和Rt△CDF中，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF，
∴DE=DF，
又∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴AD平分∠BAC.
【点睛】
此题考查三角形全等的判定及性质，角平分线的判定定理，正确理解题意证明∴Rt△BDE≌Rt△CDF是解题的关键.
14．如图，在△ACB中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D．

（1）求证：∠ACD=∠B；
（2）若AF平分∠CAB分别交CD、BC于E、F，求证：∠CEF=∠CFE．
【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.
【解析】
试题分析：（1）由于∠ACD与∠B都是∠BCD的余角，根据同角的余角相等即可得证；
（2）根据直角三角形两锐角互余得出∠CFA=90°-∠CAF，∠AED=90°-∠DAE，再根据角平分线的定义得出∠CAF=∠DAE，然后由对顶角相等的性质，等量代换即可证明∠CEF=∠CFE．
试题解析：（1）∵∠ACB=90゜，CD⊥AB于D，
∴∠ACD+∠BCD=90°，∠B+∠BCD=90°，
∴∠ACD=∠B；
（2）在Rt△AFC中，∠CFA=90°-∠CAF，
同理在Rt△AED中，∠AED=90°-∠DAE．
又∵AF平分∠CAB，
∴∠CAF=∠DAE，
∴∠AED=∠CFE，
又∵∠CEF=∠AED，
∴∠CEF=∠CFE．
考点：直角三角形的性质．
15．如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求证：△BCE≌△DCF；
（2）求证：AB+AD=2AE.

【答案】详见解析
【解析】
【分析】
（1）由角平分线定义可证△BCE≌△DCF（HL）；（2）先证Rt△FAC≌Rt△EAC，得AF=AE，由（1）可得AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【详解】
（1）证明：∵AC是角平分线，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴CE=CF，∠F=∠CEB=90°，
在Rt△BCE和Rt△DCF中，
∴△BCE≌△DCF；
（2）解：∵CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，
∴∠F=∠CEA=90°，
在Rt△FAC和Rt△EAC中，，
∴Rt△FAC≌Rt△EAC，
∴AF=AE，
∵△BCE≌△DCF，
∴BE=DF，
∴AB+AD=（AE+BE）+（AF﹣DF）=AE+BE+AE﹣DF=2AE.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定、性质和角平分线定义，注意：全等三角形的对应角相等，对应边相等，直角三角形全等的判定定理有SAS，ASA，AAS，SSS，HL．