初中数学人教版八年级上册12.2 三角形全等的判定达标测试

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12.2全等三角形的判定【简答题专练】
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、解答题
1．如图，A、D、B、E四点在同一条直线上，AD＝BE，BC∥EF，BC＝EF．

（1）求证：AC＝DF；
（2）若CD为∠ACB的平分线，∠A＝25°，∠E＝71°，求∠CDF的度数．
【答案】（1）详见解析；（2）42°.
【解析】
【分析】
（1）根据平行线的性质得到∠ABC＝∠DEF，再结合题意根据SAS判断△ABC≌△DEF，根据全等三角形的性质即可得到答案；
（2）根据全等三角形的性质得到∠ABC＝∠E＝71°，∠A＝∠FDE＝25°，再根据角平分线的性质进行计算即可得到答案.
【详解】
证明：（1）∵AD＝BE
∴AB＝DE
∵BC∥EF
∴∠ABC＝∠DEF，且AB＝BE，BC＝EF
∴△ABC≌△DEF（SAS）
∴AC＝DF
（2）∵△ABC≌△DEF
∴∠ABC＝∠E＝71°，∠A＝∠FDE＝25°
∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝84°
∵CD为∠ACB的平分线
∴∠ACD＝42°＝∠BCD
∵∠CDB＝∠A+∠ACD＝∠CDF+∠EDF
∴∠CDF＝42°
【点睛】
本题考查全等三角形的判定（SAS）和性质、平行线的性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定（SAS）和性质、平行线的性质的综合运用.
2．已知△ABN和△ACM的位置如图，∠1＝∠2，AB＝AC，AM＝AN．

求证：（1）∠M＝∠N．
（2）BD＝CE．
【答案】（1）见解析；（2）见解析.
【解析】
【分析】
（1）用SAS先证明△ABN≌△ACM，再根据全等三角形的性质即得结论；
（2）由（1）题△ABN≌△ACM可得∠B＝∠C，再用ASA证明△ABD≌△ACE即可.
【详解】
证明：（1）∵∠1＝∠2，
∴∠BAN＝∠CAM，
又∵AB＝AC，AN＝AM，
∴△ABN≌△ACM（SAS），
∴∠M＝∠N，
（2）∵△ABN≌△ACM，
∴∠B＝∠C，
又∵AB＝AC，∠1＝∠2，
∴△ABD≌△ACE（ASA），
∴BD＝CE.
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键.
3．如图，DE⊥AB，DF⊥AC,AE=AF,找出一对全等三角形，并说明理由.

【答案】△AED≌△AFD，理由详见解析.
【解析】
【分析】
△AED≌△AFD，根据“HL”判定定理可确定△AED≌△AFD．
【详解】
△AED≌△AFD．
理由：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠AED=∠AFD=90°，
在Rt△AED和Rt△AFD中，
AE=AF，AD=AD，
∴△AED≌△AFD（HL）．
【点睛】
本题考查了全等三角形的判定．关键是根据题目的已知条件，图形条件，合理地选择判定方法．
4．△ABC的边BC的中垂线DF交∠BAC的外角平分线AD于D，垂足为F，ED⊥AB与点E，且AB>AC,求证：BE-AC=AE

【答案】见解析
【解析】
【分析】
作DG⊥AC，连接BD、CD，易证△ADE≌△ADG，得AE=AG，只要再证明△BED≌△CGD，即可得到；
【详解】
证明：作DG⊥AC，连接BD、CD，

∵AD是外角∠BAG的平分线，DE⊥AB，
∴∠DAE=∠DAG，
则在△ADE与△ADG中,

∴△ADE≌△ADG(AAS)，
∴AE=AG，
∵DF是BC的中垂线，
∴BD=CD，
∴在Rt△BED和Rt△CGD中，
，
∴Rt△BED≌Rt△CGD(HL)，
∴BE=CG=AC+AG，AG=AE，
∴BE−AC=AE.
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，解题关键在于作辅助线.
5．“综合与实践”学习活动准备制作一组三角形，记这些三角形分别为，用记号表示一个满足条件的三角形，如（2，4，4）表示边长分别为2，4，4个单位长度的一个三角形.
（1）若这些三角形三边的长度为大于0且小于3的整数个单位长度，请用记号写出所有满足条件的三角形；
（2）如图，是的中线，线段的长度分别为2个，6个单位长度，且线段的长度为整数个单位长度，过点作交的延长线于点.

①求的长度；
②请直接用记号表示.
【答案】（1）（1，1，1），（1，2，2），（2，2，2）;（2）①;②（2，6，6）
【解析】
【分析】
（1）应用列举法，根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形．
（2）①根据题意，由AAS可证明，所以，，再根据三角形三边关系可得，即，所以 ，又因为的长度为整数个单位长度，所以得.
②由①得的三边分别是2,6,6,根据题意可得答案.
【详解】
解：（1）因为大于0且小于3的整数的整数有1、2，所以根据三角形三边关系列举出所有满足条件的三角形有：（1，1，1），（1，2，2），（2，2，2）；
（2）①如图 ∵
∴
在和中
∴
∴
∴
在中 ∵
∴
∴
∵的长度为整数个单位长度
∴；
②由①得，的三边分别是2,6,6,根据题意，用记号表示为（2，6，6）.
【点睛】
本题考查三角形的三边关系，三角形中线，解题关键是利用中线倍长法做辅助线.
6．已知△ABC与△ADE都是等腰直角三角形,∠ACB=∠ADE=90°，AC=BC=4，AD=DE，点F是BE的中点，连接DF，CF.

(1)如图1，当点D在AB上，且点E是AC的中点时，求CF的长.
(2)如图1，若点D落在AB上，点E落在AC上，证明：DF⊥CF.
(3)如图2，当AD⊥AC，且E点落在AC上时，判断DF与CF之间的关系，并说明理由.
【答案】(1) CF=；(2)见解析； (3)DF与CF相等且垂直.证明见解析.
【解析】
【分析】
（1）在直角△BCE中，利用“勾股定理和直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”解答；
（2）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”可知DF=BF，根据∠DFE=2∠DCF，∠BFE=2∠BCF，得到∠EFD+∠EFB=2∠DCB=90°，DF⊥BF；
（3）DF与CF相等且垂直．如图2，延长DE交BC于点G，连接FG，易证DG⊥BC．构建矩形ADGC，结合矩形的性质推知△DEF≌△CGF，由该全等三角形的性质推知：DF与CF相等且垂直．
【详解】
(1)如图1，∵AC=BC=4，点E是AC的中点，

∴EC=2.
在直角△BCE中,BE2=BC2+CE2=20，
∴BE=.
∵CF是直角△BCE斜边上的中线，
∴CF==；
(2)证明：如图1,∵∠ACB=∠ADE=90°，点F为BE中点

∴DF=BE,CF=BE，
∴DF=CF.
∵△ABC和△ADE是等腰直角三角形，
∴∠ABC=45°
∵BF=DF，
∴∠DBF=∠BDF，
∵∠DFE=∠ABE+∠BDF，
∴∠DFE=2∠DBF，
同理得：∠CFE=2∠CBF，
∴∠EFD+∠EFC=2∠DBF+2∠CBF=2∠ABC=90°，
∴DF⊥CF.
(3)DF与CF相等且垂直.
如图2，延长DE交BC于点G，连接FG，易证DG⊥BC.

∵∠DEA=45°，
∴∠BEG=45°,∠DEF=135°.
又∵∠B=45°，
∴BG=EG.
∵点F是BE的中点，
∴FG=FE,FG⊥BE,∠EGF=45°，
∴∠FGC=∠EGF+EGC=135°，
∴∠DEF=∠CGF.
又∵∠ADE=90°,∠ACB=90°，DG⊥BC，
∴四边形ADGC是矩形，
∴AD=GC，
∴DE=GC，
∴△DEF≌△CGF（SAS）,
∴∠DFE=∠CFG，DF=CF.
∵∠DFE+∠CFE=90°，
∴CF⊥DF，
∴DF与CF相等且垂直.
【点睛】
本题考查三角形的中线定理、全等三角形的判断（SAS）和性质，解题的关键是掌握三角形的中线定理、全等三角形的判断（SAS）和性质.
7．如图，已知点C是AB上一点，△ACM、△CBN都是等边三角形．

（1）△ACN≌△MCB吗？为什么？
（2）证明：CE=CF；
（3）若△CBN绕着点C旋转一定的角度（如图2），则上述2个结论还成立吗？
（4）若AN、MB相交于O，则∠AOB度数有没变化？若没有变化，则∠AOB= ．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）△ACN≌△MCB成立，CE=CF不成立；（4）120°.
【解析】
【分析】
（1）根据等边三角形性质得出AC=CM，CN=CB，∠ACM=∠BCN=60°，求出∠ACN=∠BCM，根据SAS证出△ACN≌△MCB即可；
（2）因为∠ACB=180°，∠ACM=∠BCN=60°，所以∠MCN=∠BCN，又因为△ACN≌△MCB，所以∠ABM=∠ANC，则可根据ASA判定△CEN≌△CFB，即CE=CF；
（3）由（1）的条件不变，即可证明△ACN≌△MCB成立；由于证明△CEN≌△CFB的条件不够，则CE=CF不成立；
（4）由三角形的外角性质，∠AOB=∠ONB+∠OBN，然后由∠ABM=∠ANC，则∠AOB=∠CNB+∠CBN=120°，即可.
【详解】
解：（1）∵△ACM与△CBN为等边三角形，
∴∠ACM=∠BCN=60°，AC=MC，BC=NC，
∴∠ACN=∠MCB
∴△ACN≌△MCB（SAS）
（2）∵∠ACB=180°，∠ACM=∠BCN=60°，
∴∠MCN=∠BCN=60°，
∵△ACN≌△MCB，
∴∠ABM=∠ANC，
∵∠MCN=∠BCN，BC=CN，∠ABM=∠ANC，
∴△CEN≌△CFB（ASA），
∴CE=CF
（3）△ACN≌△MCB成立，CE=CF不成立．（答对一个得一分）
因为所有条件都没有发生改变，即
由∠ACM=∠BCN=60°，AC=MC，BC=NC，
∴∠ACN=∠MCB
∴△ACN≌△MCB（SAS）；
因为证明△CEN≌△CFB的条件不够，
则CE=CF不成立；
（4）∠AOB度数没有发生改变，∠AOB =120°；

如上图，由三角形的外角性质，
∴∠AOB=∠ONB+∠OBN，
∵∠ABM=∠ANC，
又∠ONB=∠ANC+∠CNB，∠OBN=∠CBN-∠ABM，
∴∠AOB=∠CNB+∠CBN=120°，
故答案为120°
【点睛】
本题考查三角形全等的判定方法，判定两个三角形全等的一般方法有：SSS、SAS、ASA、AAS、HL．注意：AAA、SSA不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．
8．如图，已知AD∥BC，DC⊥BC， AE平分∠BAD, E为CD中点，试探索AD、BC和AB之间有何关系？并说明理由．

【答案】AD+BC=AB见解析；
【解析】
【分析】
利用“AAS”可证明Rt△ADE≌Rt△AFE得到AD=AF，利用“HL”可证明Rt△BCE≌Rt△BFE得到BC=BF，于是有AD+BC=AF+BF=AB．
【详解】
证明：过点E作EF⊥AB，连接BE

∵AD∥BC，DC⊥BC, EF⊥AB
∴∠D+∠C=180°，∠C=∠AFE=∠BFE=90°
∴∠D=∠AFE =90°．
∵AE平分∠BAD,
∴∠1=∠2
在△ADE和△AFE中

∴△ADE≌△AFE（AAS），
∴FE=DE，AD=AF
又∵E为CD中点
∴DE=CE，
∴FE =CE，
在Rt△BEF和Rt△BEC中，

∴Rt△ BEF≌Rt△ BEC（HL），
∴BF= BC
∴AD+BC=AF+BF=AB.
【点睛】
本题考查了角平分线：角的平分线上的点到角的两边的距离相等；到角的两边的距离相等的点在这个角的角平分线上．也考查了全等三角形的判定与性质．解题的关键是找到证明全等所需要的条件.
9．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB于E，DF⊥AC于点F，且BE=CF.

求证：（1）DE=DF；
（2）AD平分∠BAC．
【答案】见解析.
【解析】
【分析】
（1）可由HL得到Rt△BED≌Rt△CFD，得出DE=DF，
（2）由角平分线的判定定理，即可得到AD平分∠BAC．
【详解】
证明：（1）∵D是BC的中点，
∴BD=CD，
∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴∠BED=∠CFD=90°
在Rt△BED和Rt△CFD中

∴Rt△ BED≌Rt△ CFD（HL），
∴DE=DF；
（2）又∵DE⊥AB，DF⊥AC
∴D在∠BAC的平分线上
即AD平分∠BAC．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定及性质以及三角形角平分线的判定定理问题，能够掌握并熟练运用．
10．如图所示，已知AE⊥AB，AF⊥AC，AE＝AB，AF＝AC．

求证：（1）EC＝BF；
（2）EC⊥BF；
（3）连接AM，求证：AM平分∠EMF．
【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析
【解析】
【分析】
（1）先求出∠EAC=∠BAF，然后利用“边角边”证明△ABF和△AEC全等，根据全等三角形对应边相等即可证明；
（2）根据全等三角形对应角相等可得∠AEC=∠ABF，设AB、CE相交于点D，根据∠AEC+∠ADE=90°可得∠ABF+∠ADM=90°，再根据三角形内角和定理推出∠BMD=90°，从而得证．
（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．由△EAC≌△BAF，推出AP=AQ（全等三角形对应边上的高相等）．由AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，可得AM平分∠EMF；
【详解】
证明：（1）∵AE⊥AB，AF⊥AC，
∴∠BAE＝∠CAF＝90°，
∴∠BAE+∠BAC＝∠CAF+∠BAC，
即∠EAC＝∠BAF，
在△ABF和△AEC中，
∵ ，
∴△ABF≌△AEC（SAS），
∴EC＝BF；
（2）根据（1），△ABF≌△AEC，
∴∠AEC＝∠ABF，
∵AE⊥AB，
∴∠BAE＝90°，
∴∠AEC+∠ADE＝90°，
∵∠ADE＝∠BDM（对顶角相等），
∴∠ABF+∠BDM＝90°，
在△BDM中，∠BMD＝180°﹣∠ABF﹣∠BDM＝180°﹣90°＝90°，
所以EC⊥BF．
（3）作AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q．如图：

∵△EAC≌△BAF，
∴AP＝AQ（全等三角形对应边上的高相等）．
∵AP⊥CE于P，AQ⊥BF于Q，
∴AM平分∠EMF．
【点睛】
此题考查全等三角形的判定与性质，三角形内角和定理，解题关键在于掌握判定定理.
11．在△ABC中，AB＝AC，CD为AB边上的高
(1) 如图1，求证：∠BAC＝2∠BCD
(2) 如图2，∠ACD的平分线CE交AB于E，过E作EF⊥BC于F，EF与CD交于点G．若ED＝m，BD＝n，请用含有m、n的代数式表示△EGC的面积

【答案】（1）证明见解析；（2）（m+n）m．
【解析】
【分析】
(1) 过A作AE⊥BC于E, 交CD于F, 利用三线合一的性质, 通过证明
∠BAE=∠BCD来证明∠BCD=∠BAE=∠A;
(2) 过点A作AP⊥BC于点P, 求出∠BAP=∠PAC, 求出∠BAP=∠PAC=∠BCD, ∠ACE=∠ECD,推出2 (∠BCD+∠ECD) =90, 求出∠BCE=∠FEC=45, 推出EF=FC, 求出∠BEF=∠BAP=∠BCD, ∠BFE=∠EFC=90, 根据ASA证出△BFE≌△GFC,得BE=CG=m+n,即可得到结论.
【详解】
证明：(1)如图1，过A作AE⊥BC于E，交CD于F.
证∠BAE=∠BCD．
∴∠BAC=2∠BCD；

(2)如图2，过点A作AP⊥BC于点P.
∵AB=AC，
∴∠BAP=∠PAC，
∵CD⊥AB，
∴∠CDA=90°
∵CE平分∠DCA，
∴∠ACE=∠ECD，
∴∠ACE+∠PAC=45°
∴∠DCB+∠DCE=45°
∴∠FCE=45°，
∵EF⊥BC，
∴∠EFC=90°
∴EF=FC，
证△BFE≌△GFC（ASA），
∴BE=CG=m+n，
∴△EGC的面积=CG•DE=（m+n）m．

【点睛】
本题主要考查等腰三角形的性质及全等三角形的判定，综合性较大.
12．如图，∠C＝90°，AC＝BC，点C在第一象限内．若A(5，0)，B (－2，4)，C(m，n)，则(m＋n)(m－n)的值是__________.

【答案】-18
【解析】
【分析】
作CG⊥x轴于G、 BF⊥CG于F，可由已知条件得出△ACG≌△CBF，可得CF=AG、BF=CG，可得m+n的值，m-n 的值，可得答案.
【详解】
解：
作CG⊥x轴于G、 BF⊥CG于F
∠ACB=∠ACG+∠BCG=90、∠CBF+∠BCG=90
∠ACG=∠CBF
AC=BC
△ACG≌△CBF
CF=AG、BF=CG
又A(5,0)、B(-2,4),C(m,n)
n-4=5-m且m-(-2)=n-0,故
m+n=9，m-n = -2
(m＋n)(m－n)=9（-2）=-18.
故答案：-18.
【点睛】
本题主要考查三角形全等的证明与性质，灵活做辅助线是解题的关键.
13．如图，点A是线段DE上一点，∠BAC=90°，AB=AC，BD⊥DE，CE⊥DE．
（1）求证：DE=BD+CE．
（2）如果是如图2这个图形，BD、CE、DE有什么数量关系？并证明．

【答案】（1）见解析；（2）BD=DE+CE，理由见解析.
【解析】
【分析】
（1）先证△AEC≌△BDA得出AD＝CE，BD＝AE，从而得出DE＝BD+CE；
（2）先证△ADB≌△CEA得出AD＝CE，BD＝AE，从而得出BD＝DE+CE．
【详解】
（1）∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠D＝∠E＝90°，∴∠DBA+∠DAB＝90°．
∵∠BAC＝90°，∴∠DAB+∠CAE＝90°，∴∠DBA＝∠CAE．
∵AB＝AC，∴△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，CE＝AD，∴DE＝AD+AE＝CE+BD；
（2）BD＝DE+CE．理由如下：
∵BD⊥DE，CE⊥DE，∴∠ADB＝∠AEC＝90°，∴∠ABD+∠BAD＝90°．
∵∠BAC＝90°，∴∠ABD+∠EAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAC．
∵AB＝AC，∴△ADB≌△CEA，∴BD＝AE，CE＝AD．
∵AE＝AD+DE，∴BD＝CE+DE．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质和判定，根据同角的余角相等可得∠DBA＝∠CAE，熟练掌握全等三角形的判定方法：SSS、SAS、AAS、ASA；对于证明线段的和或差，本题运用全等三角形的对应边相等将三条线段转化到同一直线上，使问题得以解决．
14．如图，在△ABC中，AB＝AC，点D是BC的中点，点E在AD上，求证：∠1＝∠2.

【答案】证明见详解
【解析】
【分析】
由AB=AC,AD=AD,BD=CD,可证得△ABD≌△ACD,得到∠BAE=∠CAE,再证明△ABE≌△ACE,即可得到结论.
【详解】
证明:AB=AC,AD=AD,BD=CD,
在△ABD和△ACD中,
△ABD≌△ACD, ∠BAE=∠CAE,
在△ABE和△ACE中,
△ABE≌△ACE
∠1=∠2.
【点睛】
本题全等三角形的判定与性质,解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定与性质.
15．已知∠AOB，求作∠COD，使∠COD＝∠AOB．

【答案】详见解析.
【解析】
【分析】
要解答此题, 首先应该理清题意, 为作一个角等于已知角, 再根据题中所给信息进行解答即可得出答案.
【详解】
解：如图，∠COD为所作．

【点睛】
此题主要考查了作一个角等于已知角的基本作图, 关键是熟练掌握基本作图的方法.
16．如图，C 是路段 AB 的中点，两人从 C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，并同时到达 D，E 两地，DA⊥AB，EB⊥AB，D，E 与路段AB 的距离相等吗？为什么？

【答案】见解析
【解析】
【分析】
根据两人同时从点C出发, 以相同的速度同时到达D点和E点, 进而由“距离=速度时间”可得到CE=DC,再结合C是AB的中点, DA⊥AB,EB⊥AB, 即可证明ΔDAC≌ΔEBC, 从而可得到结论
【详解】
解：D，E 与路段 AB 的距离相等， 理由：∵点 C 是路段 AB 的中点，
∴AC＝CB，
∵两人从 C 同时出发，以相同的速度分别沿两条直线行走，
∴DC＝EC，
∵DA⊥AB，EB⊥AB，
∴∠A＝∠B＝90°，
在 Rt△ACD 和 Rt△BCE 中
∵，
∴Rt△ACD≌Rt△BCE（HL），
∴AD＝BE．
【点睛】
本题主要考查三角形全等的判定与性质.
17．如图,已知:在AB,AC上各取一点D,E,使AD=AE,连结BE,CD相交于O,∠1=∠2.试证明：△AOB≌△AOC．

【答案】见解析
【解析】
【分析】
先利用边角边证明△ADO与△AEO全等, 根据全等三角形对应角相等可得∠3=∠4,根据角的和差关系可证明: ∠AOB=∠AOC,然后利用角边角证明△AOB与△AOC全等即可．
【详解】
证明：在 和 中



又

即
在 和 中


【点睛】
本题考查了全等三角形的判定与性质,解决本题的关键是要熟记各种方法并灵活运用找出全等的条件．