第13章轴对称13.3等腰三角形（选择题专练）2021-2022学年八年级上册数学把关题分类专练（人教版）

第13章轴对称13.3等腰三角形（选择题专练）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________

1．在平面直角坐标系中，点A坐标为（2，2），点P在x轴上运动，当以点A，P、O为顶点的三角形为等腰三角形时，点P的个数为（　　）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个

【答案】C

【解析】

【分析】

先分别以点O、点A为圆心画圆，圆与x轴的交点就是满足条件的点P，再作OA的垂直平分线，与x轴的交点也是满足条件的点P，由此即可求得答案.

【详解】

如图，当OA=OP时，可得P1、P2满足条件，

当OA=AP时，可得P3满足条件，

当AP=OP时，可得P4满足条件，

故选C.

【点评】

本题考查了等腰三角形的判定和坐标与图形的性质，正确的分类并画出图形是解题的关键.

2．如图，在△PAB中，PA＝PB，M，N，K分别是PA，PB，AB上的点，且AM＝BK，BN＝AK，若∠MKN＝42°，则∠P的度数为（　　）

A．44° B．66° C．96° D．92°

【答案】C

【解析】

【分析】

根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠B，证明△AMK≌△BKN，得到∠AMK＝∠BKN，根据三角形的外角的性质求出∠A＝∠MKN＝42°，根据三角形内角和定理计算即可．

【详解】

解：∵PA＝PB，

∴∠A＝∠B，

在△AMK和△BKN中，

，

∴△AMK≌△BKN，

∴∠AMK＝∠BKN，

∵∠MKB＝∠MKN+∠NKB＝∠A+∠AMK，

∴∠A＝∠MKN＝42°，

∴∠P＝180°﹣∠A﹣∠B＝96°，

故选C．

【点评】

此题主要考查利用等腰三角形的性质判定三角形全等，以及三角形的外教性质和内角和定理的运用，熟练掌握，即可解题.

3．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，边AB的垂直平分线DE交AB于点E，交BC于点D．CD＝3，则BC的长为（    ）

A．6 B．9 C．6 D．3

【答案】B

【解析】

【分析】

根据线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等可得AD=BD,可得∠DAE=,易得∠ADC=, ∠CAD=,则AD为∠BAC的角平分线,由角平分线的性质得DE=CD=3,再根据直角三角形30度角所对的直角边等于斜边的一半可得BD=2DE,得结果.

【详解】

解:DE是AB的垂直平分线,AD=BD,

∠DAE=∠B=,

∠ADC=,

∠CAD=,

AD为∠BAC的角平分线,. ∠C=,DE⊥AB,

DE=CD=3,

∠B=,

BD=2DE=6,

BC=9,

所以B选项是正确的.

【点评】

本题主要考查了垂直平分线的性质,角平分线上的点到角的两边距离相等的性质,直角三角形30角所对的直角边等于斜边的一半的性质,熟记各性质是解题的关键.

4．下列能断定△ABC为等腰三角形的是（　　）

A．∠A=40°，∠B=50° B．∠A=2∠B=70°

C．∠A=40°，∠B=70° D．AB=3，BC=6，周长为14

【答案】C

【解析】

【分析】

根据三角形内角和计算角的度数，判断三角形中是否有相等的角；根据三角形的周长计算是否有相等的边即可判断.

【详解】

A. ∠C=180°−40°−50°=90°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误； 
B、∵∠A=2∠B=70°， 
∴∠B=35°， 
∴∠C=75°，没有相等的角，则不是等腰三角形，本选项错误； 
C、∠C=180°−40°−70°=70°，有相等的角，则是等腰三角形，本选项正确； 
D、∵AB=3，BC=6，周长为14， 
∴AC=14−6−3=5，没有相等的边，则不是等腰三角形，本选项错误； 
故选C．

【点评】

本题考查等腰三角形的判定，解题的关键是掌握等腰三角形的判定方法.

5．等腰三角形ABC在直角坐标系中，底边的两端点坐标分别是(－3，m)，(5，m)，则能确定的是它的(　　)

A．一腰的长    B．底边的长    C．周长    D．面积

【答案】B

【解析】

由坐标可知底边是平行与x轴的线段，长为=8，腰长不能确定，即周长、 面积也不能确定,故选B

6．已知两点、，若以点和点为其中两个顶点作位置不同的等腰直角三角形，一共可作（ ）

A．2个 B．4个 C．6个 D．8个

【答案】C

【解析】

利用等腰直角三角形的性质来作图，要注意分不同的直角顶点来讨论．

解：此题应分三种情况：

①以AB为腰，点A为直角顶点；

可作△ABC1、△ABC2，两个等腰直角三角形；

②以AB为腰，点B为直角顶点；

可作△BAC3、△BAC4，两个等腰直角三角形；

③以AB为底，点C为直角顶点；

可作△ABC5、△ABC6，两个等腰直角三角形；

综上可知，可作6个等腰直角三角形，故答案选C．

7．已知一个等腰三角形的一边长为5,另一边长为7,则这个等腰三角形的周长为(       )

A．12 B．17 C．17或19 D．19

【答案】C

【解析】

【分析】

题目给出等腰三角形有两条边长为5和7，而没有明确腰是多少，所以要进行讨论，还要应用三角形的三边关系验证能否组成三角形．

【详解】

当腰为5时，三边长分别为5，5，7，符合三角形的三边关系，则其周长是5×2+7=17；

当腰为7时，三边长为7，7，5，符合三角形三边关系，则其周长是7×2+5=19．

所以其周长为17或19．

故选B．

【点评】

本题考查了等腰三角形的性质；题目涉及分类讨论的思想方法，求三角形的周长，不能盲目地将三边长相加起来，而应养成检验三边长能否组成三角形的好习惯，把不符合题意的舍去．

8．在平面直角坐标系中，的坐标为为原点，若点为坐标轴上一点，且为等腰三角形，则这样的点有（    ）

A．6个 B．7个 C．8个 D．9个

【答案】C

【解析】

【分析】

分别以O、A为圆心，以OA长为半径作圆，与坐标轴交点即为所求点B，再作线段OA的垂直平分线，与坐标轴的交点也是所求的点B，作出图形，利用数形结合求解即可．

【详解】

解：如图，满足条件的点B的个数为8．

故选：C.

【点评】

本题考查了坐标与图形的性质及等腰三角形的判定；对于底和腰不等的等腰三角形，若条件中没有明确哪边是底哪边是腰时，应在符合三角形三边关系的前提下分类讨论．

9．已知等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为50°，则底角的度数为（　　）

A．40° B．70° C．40°或140° D．70°或20°

【答案】D

【解析】

【分析】

分两种情况讨论：①若∠A＜90°；②若∠A＞90°；先求出顶角∠BAC，即可求出底角的度数．

【详解】

解：分两种情况讨论：

①若∠A＜90°，如图1所示：

∵BD⊥AC，

∴∠A+∠ABD＝90°，

∵∠ABD＝50°，

∴∠A＝90°﹣50°＝40°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣40°）＝70°；

②若∠A＞90°，如图2所示：

同①可得：∠DAB＝90°﹣50°＝40°，

∴∠BAC＝180°﹣40°＝140°，

∵AB＝AC，

∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣140°）＝20°；

综上所述：等腰三角形底角的度数为70°或20°，

故选：D．

【点评】

本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义；注意分类讨论方法的运用，避免漏解．

10．如图，的三个内角比为1：1：2，且，则∠CBD是（    ）

A．5° B．10° C．15° D．45°

【答案】C

【解析】

【分析】

先依据三角形的内角和是180°，可计算出∠A=90°，∠ABC=45°，再利用含30度角的直角三角形的性质求得∠ABD=30°，即可求解．

【详解】

∵的三个内角比为1：1：2，

∴∠A=180°=90°，

∴∠ABC=45°，

在Rt△ABD中，，

∴∠ABD=30°，

∴∠CBD=∠ABC -∠ABD =15°．

故选：C．

【点评】

本题考查了三角形的内角和定理的应用，含30度角的直角三角形的性质，利用按比例分配的方法确定出三角形的类别是解题的关键．

11．如果三角形二条边的中垂线的交点在第三条边上，那么，这个三角形是（     ）

A．直角三角形 B．锐角三角形

C．钝角三角形 D．等边三角形

【答案】A

【解析】

【分析】

根据题意，画出图形，用线段垂直平分线的性质结合等腰三角形的性质，三角形内角和定理解答．

【详解】

如图，CA、CB的中点分别为D、E，CA、CB的垂直平分线OD、OE相交于点O，且点O落在AB边上，
连接CO，

∵OD是AC的垂直平分线，
∴OC=OA，∠A=∠ACO，
同理OC=OB，∠B=∠BCO，

∵∠A+∠ACO+∠B+∠BCO=180，
∴∠ACO +∠BCO=180=90，

∴∠C是直角．
故选：A．

【点评】

本题主要考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，三角形内角和定理．熟记线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键．

12．如图，在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，点P从点B出发以每秒3cm速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm速度向点C运动，其中一个动点到达端点，另一个动点也随之停止，当△APQ是以PQ为底的等腰三角形时，运动的时间是(     )秒

A．2.5 B．3 C．3.5 D．4

【答案】D

【解析】

【分析】

【详解】

解：设运动的时间为x，

在△ABC中，AB=20cm，AC=12cm，

点P从点B出发以每秒3cm的速度向点A运动，点Q从点A同时出发以每秒2cm的速度向点C运动，

当△APQ是等腰三角形时，AP=AQ，AP=20﹣3x，AQ=2x，即20﹣3x=2x，

解得x=4．

故选D．

【点评】

此题主要考查学生对等腰三角形的性质这一知识点的理解和掌握，此题涉及到动点，有一定的拔高难度，属于中档题．

13．如图，直线a||b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直b上，把△ABC沿BC方向平移BC长度的一半得到△A'B'C'（如图①）：持续以上的平移得到图②，再持续平移以上的图案得到③，…第2019个图形中等边三角形的个数（　　）

A．8076 B．6058 C．4038 D．2019

【答案】A

【解析】

【分析】

先证出阴影的三角形是等边三角形，又观察图可得，第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个，据此求出第2019个图形中等边三角形的个数．

【详解】

如图①

∵△ABC是等边三角形，

∴AB＝BC＝AC，

∵A′B′∥AB，BB′＝B′C＝BC，

∴B′O＝AB，CO＝AC，

∴△B′OC是等边三角形，同理阴影的三角形都是等边三角形．

又观察图可得，第1个图形中大等边三角形有2个，小等边三角形有2个，

第2个图形中大等边三角形有4个，小等边三角形有4个，

第3个图形中大等边三角形有6个，小等边三角形有6个，…

依次可得第n个图形中大等边三角形有2n个，小等边三角形有2n个．

故第2019个图形中等边三角形的个数是：2×2019+2×2019＝8076．

故选：A．

【点评】

本题主要考查了等边三角形的判定和性质及平移的性质，解题的关键是据图找出规律．

14．如图，过边长为的等边的边上一点，作于为延长线上一点，当时，连接交于，则的长为（  ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

过P作BC的平行线交AC于F，结合已知条件易证是等边三角形，由等边三角形的性质及可得．利用AAS证明≌，根据全等三角形的性质可得．利用等腰三角形三线合一的性质可得，由此可得，从而求得DE的长.

【详解】

过P作BC的平行线交AC于F，

∴．

∵是等边三角形，

∴， ，

∴是等边三角形，

∴．

∵，∴．

在和中，

∵，

∴≌，

∴．

∵于， 是等边三角形，

∴，

∴，

∴．

∵，∴．

故的长为．

故选B.

【点评】

本题考查了全等三角形的判定与性质及全等三角形的判定与性质，通过作辅助线，构造全等三角形，利用等边三角形的性质建立等边三角形边长与ED之间的关系是解决问题的关键．

15．下列说法：

①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形和等边三角形；

②等边三角形是特殊的等腰三角形；

③等腰三角形是特殊的等边三角形；

④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；

其中，说法正确的个数是（    ）

A．1个 B．2个 C．3个 D．4个

【答案】B

【解析】

【分析】

根据三角形的分类，等腰三角形的判定，等边三角形的判定一一判断即可．

【详解】

①三角形按边分类可分为三边不等的三角形、等腰三角形；故原说法错误．
②等边三角形是特殊的等腰三角形；正确．
③等边三角形是特殊的等腰三角形；故原说法错误．
④有两边相等的三角形一定是等腰三角形；正确，
故选：B．

【点评】

本题考查了三角形的分类，等腰三角形的判定等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．