专题21 期中复习-2021-2022学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教2020）

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专题21 期中复习
知识梳理
一、集合与命题
1．区分集合中元素的形式：




函数的定义域
函数的值域
函数图象上的点集


2．研究集合必须注意集合元素的特征，即集合元素的三性：确定性、互异性、无序性．

3．集合的性质：① 任何一个集合都是它本身的子集，记为．
② 空集是任何集合的子集，记为．
③ 空集是任何非空集合的真子集，记为．
注意：若条件为，在讨论的时候不要遗忘了的情况．
集合的运算：④、；
、．
⑤．
⑥对于含有个元素的有限集合，其子集、真子集、非空子集、非空真子集的个数
依次为：、、、．
4．命题是表达判断的语句．判断正确的叫做真命题；判断错误的叫做假命题．
① 命题的四种形式及其内在联系：
原命题：如果，那么；
逆命题：如果，那么；
否命题：如果，那么；
逆否命题：如果，那么；
② 等价命题：对于甲、乙两个命题，如果从命题甲可以推出命题乙，同时从命题乙也可以推出命题甲，既“甲乙”，那么这样的两个命题叫做等价命题．
③ 互为逆否命题一定是等价命题，但等价命题不一定是互为逆否命题．
④ 当某个命题直接考虑有困难时，可通过它的逆否命题来考虑．
5．常见结论的否定形式：
原结论
是
都是
一定
或
且
大于
小于
否定形式
不是
不都是
不一定
且
或
不大于
不小于

原结论
至少一个
至多一个
至少个
至多个
对所有都成立
对任何不成立
否定形式
一个也
没有
至少两个
至多个
至少个
存在某不成立
存在某成立
6．充要条件：
条件
结论
推导关系
判断结果



是的充分条件

是的必要条件
且
是的充要条件
在判断“充要条件”的过程中，应注意步骤性：
首先必须区分谁是条件、谁是结论，然后由推导关系判断结果．
二、不等式
1．基本性质：（注意：不等式的运算强调加法运算与乘法运算）
① 且；
② 推论：ⅰ．； ⅱ． 且；
③ ；
④ 推论：ⅰ．； ⅱ．且、同号；
ⅱ．； ⅲ．；
⑤ ， ；
⑥ ；
2．解不等式：（解集必须写成集合或区间的形式）
① 一元二次或一元高次不等式以及分式不等式的解题步骤：
ⅰ．分解因式找到零点； ⅱ．画数轴标根画波浪线； ⅲ．根据不等号，确定解集；
注意点：ⅰ．分解因式所得到的每一个因式必须为的一次式； ⅱ．每个因式中的系数必须为正．
②绝对值不等式去绝对值：
ⅰ． ； ⅱ．；
ⅲ．； ⅳ．或；
ⅴ．；
③ 解含参数的不等式时，定义域是前提，函数增减性为基础，分类讨论是关键．
而分类讨论的关键在于“分界值”的确定以及注意解完之后要总结：综上所述
④ 对于不等式恒成立问题，常用“函数思想”、“分离变量思想”以及“图象思想”．
3．基本不等式：
①，则，当且仅当时，等号成立．
，则，当且仅当时，等号成立．
综上，若，则，当且仅当时，等号成立．
*②若，则，当且仅当时，等号成立．
*③．

4．不等式的证明：
① 比较法：作差 → 因式分解或配方 → 与“”比较大小 →
② 综合法：由因导果．
③ 分析法：执果索因；基本步骤：要证即证即证．
④ 反证法：正难则反．
⑤ 最值法：，则恒成立； ，则恒成立．
三、幂、指与对数

1、幂的有关概念：
正整数指数幂：
零指数幂：
负整数指数幂：
分数指数幂：



1.根式的运算性质：(1)当n为任意正整数时，()=a
(2)当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=
(3)根式的基本性质：，（a0）
2.分数指数幂的运算性质：

一、对数
1、对数的定义：
如果ab=N（a＞0，a≠1），那么b叫做以a为底N的对数，记作logaN=b.
易得:——对数恒等式，自然对数：以e为底的对数成为自然对然，记作ln,常用对数：以10为底的对数，记作lg。
实际上指数与对数只是数量间的同一关系的两种不同形式．
2、指数式与对数式的关系：
ab=NlogaN=b（a＞0，a≠1，N＞0）.
要能灵活运用这个关系，能随时将二者互化。
3、对数运算性质:
①loga（MN）=logaM+logaN.
②loga=logaM－logaN.
③logaMn=nlogaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）
④logaM.（M＞0，N＞0，a＞0，a≠1）
⑤换底公式：logbN=（00，则a2＋的最小值是________．
【难度】★★
【答案】（1） （2）16 （3）1 （4）4 （5）16
【解析】(1)∵00，y>0，＋＝1，
∴x＋y＝(x＋y)(＋)＝＋＋10≥6＋10＝16.
当且仅当＝时，上式等号成立，又＋＝1，
∴x＝4，y＝12时，(x＋y)min＝16.
(3) ∵x0.
y＝4x－2＋＝－(5－4x＋)＋3≤－2＋3＝1，
当且仅当5－4x＝，即x＝1时，上式等号成立，故当x＝1时，ymax＝1.
(4) 方法一：依题意，得(x＋1)(2y＋1)＝9，
∴(x＋1)＋(2y＋1)≥2＝6，即x＋2y≥4.
当且仅当即时等号成立．
∴x＋2y的最小值是4.
方法二：由

当且仅当，即x=2时等会成立．
(5) ∵a>b>0，∴b(a－b)≤＝，当且仅当a＝2b时等号成立．
∴a2＋≥a2＋＝a2＋≥2＝16，当且仅当a＝2时等号成立．
∴当a＝2，b＝时，a2＋取得最小值16.
注：多次使用不等式一定要保证

【例18】（1）若，且，则的最大值是
（2）设，，且，那么（ ）
A、有最小值 B、有最大值
C、有最大值 D、有最小值
（3）若是正数，则的最小值是（ ）
A．3 B． C．4 D．
【难度】★★
【答案】（1） （2）A （3）C
【解析】（1）略（2）略（3）
当且仅当 得时.

【例19】某国际化妆品生产企业为了占有更多的市场份额，拟在2012年英国伦敦奥运会期间进行一系列促销活动，经过市场调查和测算，化妆品的年销量x万件与年促销费t万元之间满足3－x与t＋1成反比例，如果不搞促销活动，化妆品的年销量只能是1万件，已知2012年生产化妆品的设备折旧、维修等固定费用为3万元，每生产1万件化妆品需再投入32万元的生产费用，若将每件化妆品的售价定为其生产成本的150%与平均每件促销费的一半之和，则当年生产的化妆品正好能销完．
(1)将2012年的利润y(万元)表示为促销费t(万元)的函数．
(2)该企业2012年的促销费投入多少万元时，企业的年利润最大？
(注：利润＝销售收入－生产成本－促销费，生产成本＝固定费用＋生产费用)
【难度】★★
【答案】见解析
【解析】解　(1)由题意可设3－x＝，将t＝0，x＝1代入，得k＝2.∴x＝3－.当年生产x万件时，
∵年生产成本＝年生产费用＋固定费用，∴年生产成本为32x＋3＝32(3－)＋3.
当销售x(万件)时，年销售收入为150%·[32(3－)]＋3＋t.
由题意，生产x万件化妆品正好销完，由年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费，得年利润y＝ (t≥0)．
(2)y＝＝50－(＋)≤50－2＝50－2＝42(万元)，
当且仅当＝，即t＝7时，ymax＝42，∴当促销费投入7万元时，企业的年利润最大．

【例20】设，求证：
【难度】★★★
【答案】



【巩固训练】
1．已知实数、，判断下列不等式中哪些一定是正确的？
（1） ； （2）； （3）； （4）
（5）； （6） （7）
【难度】★
【答案】（2）（3）（6）（7）
（1）错误。a、b为负实数时不正确
（2）正确
（3）正确
（4）错误。a、b为负实数时不正确
（5）错误。a、b为负实数时不正确
（6）正确
（7）正确

2．设，则的最小值是（ ）
A．2 B．4 C． D．5
【难度】★★
【答案】B





3． 如图所示，将一矩形花坛ABCD扩建成一个更大的矩形花坛AMPN，要求B点在AM上，D点在AN上，且对角线MN过点C，已知AB＝3米，AD＝2米．
(1)要使矩形AMPN的面积大于32平方米，则DN的长应在什么范围内？
(2)当DN的长度为多少时，矩形花坛AMPN的面积最小？并求出最小值．

【难度】★★
【答案】见解析
【解析】解：(1)设DN的长为x(x>0)米，则|AN|＝(x＋2)米．
∵＝，∴|AM|＝，∴S矩形AMPN＝|AN|·|AM|＝.
由S矩形AMPN>32，得>32.又x>0，得3x2－20x＋12>0，解得00)≥2＋12＝24，
当且仅当3x＝即x＝2时，矩形花坛的面积最小，为24平方米．

4．若实数x、y、m满足|x-m|>|y-m|，则称x比y远离m．
（1）若x2-1比1远离0，求x的取值范围；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，证明：a3+b3比a2 b + ab2远离．
【难度】★★
【答案】（1）；
（2）对任意两个不相等的正数a、b，有，，
因为，
所以，即a3+b3比a2b+ab2远离．

三、 幂、指与对数

【例1】在下列函数中，是指数函数的有_________________
①②③④⑤⑥⑦
【难度】★【答案】①⑥


【例2】函数是指数函数，求的值
【难度】★★【答案】2

【例3】函数的定义域是
【难度】★★【答案】

【例4】函数在上是减函数，求的取值范围
【难度】★★【答案】


【巩固训练】
1．指出下列函数哪些是指数函数？
（1）；（2）；（3）；（4）；
（5）；（6）．
【难度】★【答案】（1）（5）（6）
2．作出函数与的图像．
【难度】★★【答案】


3．已知x>0, 函数的值恒大于1，则实数的取值范围是_____________
【难度】★★【答案】



4．函数在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则实数的值是_____
【难度】★★【答案】



5．函数的图像与函数的图像关于_________对称，它们的交点坐标是______
【难度】★★【答案】.轴，

【例1】求下列各式中的实数x.
(1) (2)
(3) (4)
【难度】★
【答案】解题策略：因为（a>0,且a1,N>0）,
（a>0,且a1,N>0）利用这种等价关系可以解决。
解：(1)
(2)
(3)
(4)
【例2】计算
(1) (2)
【难度】★★
【答案】解题策略：为了计算特殊值的对数值，可先将对数式转化为指数式，再求指数即得。
解：(1)设=y,则，
即


即 =-2
(2) =
=
注意：第（2）题将底数100改写成，即立刻应用指对数恒等式：（a>0,且a1,N>0）。



【例3】已知lg2=0.3010.
(1)判断是几位数？
(2)判断小数点后连续有多少个零？
【难度】★★
【答案】解题策略：我们对该数取常用对数，然后根据已知条件，利用对数的运算法则求得lgN，则lgN=n+a(n是整数，a是正的纯小数或零)这里n称为lgN的首数，a称为lgN的尾数，由lgN=n+a得N=，所以，如果n>0,那么N就是n+1位数，如果n0,那么N的小数点后连续有n+1个零。
解：(1)

=33.1990
是34位数
(2)=-42lg2-10lg5=-42lg2-10+10lg2=-32lg2-10
=-19.632=-20+0.368
小数点后连续有19个零。
注意：对数的尾数不能写成负小数，必须转化成正小数。如(2)=-19.632=-19-0.632不能认为尾数是-0.632.

【例4】设都是正数，且。
（1）求证：（2）比较的大小
【难度】★
【答案】都是正数，
设，则，于是
（1）

所以成立
（2）

故
同理
故 所以
【巩固训练】
1．不用计算器，计算：
（1）（2）
【难度】★★
【答案】（1）
（2）

2．化简
（1）
（2）
【解】（1）

（2）


3．已知，则=____________（用表示）
【难度】★★
【答案】







4．如果，求的值。
【解】


5．在中，令，已知°，，
求证：
【难度】★★
【答案】证明

二、对数的运算性质和换底公式
【例5】已知
解题策略：注意到18=2，36=，45=5，可见质因数只有2，3，5三个，其中3出现得最多，可取以3为底的对数，又已知两等式均以18为底，故也可取以18为底的对数。
【难度】★★
【答案】解：方法1：又a=可得
2a+a=2,故=
由，有b=
,
所以，=
方法2：由已知可得
于是=
又，故

注意：方法1为通法。


【例6】已知试用a、b表示的值。
【难度】★★
【答案】解题策略：利用换底公式，将式子表示成2，3，5的乘积。
解：∵
∴====

【例7】已知正数a、b、c满足，N>0且N≠1，
【难度】★★
【答案】证明：=。
解题策略：可以先将要证明的式子化成底数相同的式子，结合条件等式就可以解决。
解：由，两边取常用对数得到2lgb=lga+lgc，
因为==•，
又2lgb=lga+lgc，lgb-lga= lgc- lgb，所以=，
又因为==，
所以=。

【例8】若a>1,b>1,=16,求的最小值。
【难度】★★
【答案】解题策略：利用对数的运算性质，求的最小值即求为的最小值，可利用基本不等式求解。
解：∵a>1,b>1,∴
∴
当且仅当，即a=b时，取到最小值。
∴的最小值为8
注意：利用基本不等式时一定要满足其条件。

【例9】设01,0q
当0