第14章整式的乘法与因式分解14.3因式分解（中考真题专练）-2021-2022学年八年级上册数学把关题分类专练（人教版）

第14章整式的乘法与因式分解14.3因式分解（中考真题专练）

学校:___________姓名：___________班级：___________考号：__________

一、单选题

1．（2018·湖南邵阳·中考真题）将多项式x﹣x3因式分解正确的是（　　）

A．x（x2﹣1） B．x（1﹣x2） C．x（x+1）（x﹣1） D．x（1+x）（1﹣x）

【答案】D

【解析】

【分析】

直接提取公因式x，然后再利用平方差公式分解因式即可得出答案．

【详解】

x﹣x3=x（1﹣x2）

=x（1﹣x）（1+x）．

故选D．

【点评】本题主要考查了提取公因式法以及公式法分解因式，正确应用公式法是解题关键．

2．（2019·四川泸州·中考真题）把分解因式，结果正确的是(　　)

A． B．

C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

先提公因式2，然后再利用平方差公式进行分解即可.

【详解】

=

=，

故选C．

【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．分解因式的步骤一般为：一提(公因式)，二套(公式)，三彻底.

3．（2019·黑龙江绥化·中考真题）下列因式分解正确的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

利用提公因式法、公式法、十字相乘法等对各选项进行分解因式即可判断正误.

【详解】

A、，故A选项错误；

B、，故B选项错误；

C、不能分解，故C选项错误；

D、，正确，

故选D.

【点评】本题考查了因式分解，熟练掌握因式分解的方法以及注意事项是解题的关键.

4．（2019·湖南岳阳·中考真题）下列运算结果正确的是(     )

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据合并同类项法则、同底数幂乘除法法则、公式法分解因式逐项进行计算即可得.

【详解】

A、3x﹣2x＝x，故A选项错误；

B、x3÷x2＝x，正确；

C、x3•x2＝x5，故C选项错误；

D、x2+2xy+y2＝(x+y)2，故D选项错误，

故选B.

【点评】本题考查了合并同类项、同底数幂乘除、公式法分解因式，熟练掌握相关的运算法则以及完全平方公式的结构特征是解题的关键.

5．（2016·山东滨州·中考真题）把多项式x2+ax+b分解因式，得(x+1)(x-3)，则a、b的值分别是（       ）

A．a=2，b=3 B．a=-2，b=-3

C．a=-2，b=3 D．a=2，b=-3

【答案】B

【解析】

分析：根据整式的乘法，先还原多项式，然后对应求出a、b即可.

详解：（x+1）（x-3）

=x2-3x+x-3

=x2-2x-3

所以a=2，b=-3，

故选B．

点评：此题主要考查了整式的乘法和因式分解的关系，利用它们之间的互逆运算的关系是解题关键.

二、填空题

6．（2018·辽宁锦州·中考真题）因式分解：x3﹣4x=_____．

【答案】x（x+2）（x﹣2）

【解析】

试题分析：首先提取公因式x，进而利用平方差公式分解因式．即x3﹣4x=x（x2﹣4）=x（x+2）（x﹣2）．故答案为x（x+2）（x﹣2）．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

7．（2018·湖南郴州·中考真题）因式分解：a3﹣2a2b+ab2=_____．

【答案】a（a﹣b）2．

【解析】

【分析】先提公因式a，然后再利用完全平方公式进行分解即可．

【详解】原式=a（a2﹣2ab+b2）

=a（a﹣b）2，

故答案为a（a﹣b）2．

【点评】本题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

8．（2016·福建福州·中考真题）若x＋y＝10，xy＝1 ，则＝         ．

【答案】98．

【解析】

试题分析：∵x＋y＝10，xy＝1，∴== ==98．故答案为98．

考点：因式分解的应用；代数式求值．

9．（2018·四川德阳·中考真题）分解因式___________

【答案】

【解析】

【分析】

原式提取公因式，再利用完全平方公式分解即可．

【详解】

原式＝2x（y2＋2y＋1）＝2x（y＋1）2，

故答案为2x（y＋1）2

【点评】此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键．

10．（2020·湖南湘西·中考真题）分解因式：=_________________________．

【答案】．

【解析】

【分析】

【详解】

试题分析：==．

故答案为．

考点：提公因式法与公式法的综合运用．

三、解答题

11．（2015·广东茂名·中考真题）设，若代数式化简的结果为，请你求出满足条件的a值．

【答案】a=﹣2或0．

【解析】

试题分析：因式分解得到原式=，再把当代入得到原式=，所以当满足条件，然后解关于a的方程即可．

试题解析：原式=，

当时，代入原式得，即，解得：a=﹣2或0．

考点：1．整式的混合运算；2．平方根．

12．（2020·贵州毕节·中考真题）如图（1），大正方形的面积可以表示为，同时大正方形的面积也可以表示成两个小正方形面积与两个长方形的面积之和，即．同一图形（大正方形）的面积，用两种不同的方法求得的结果应该相等，从而验证了完全平方公式：．把这种“同一图形的面积，用两种不同的方法求出的结果相等，从而构建等式，根据等式解决相关问题”的方法称为“面积法”

（1）用上述“面积法”，通过如图（2）中图形的面积关系，直接写出一个多项式进行因式分解的等式：_______；

（2）如图（3），中，，，，是斜边边上的高．用上述“面积法”求的长；

（3）如图（4），等腰中，，点为底边上任意一点，，，，垂足分别为点，，，连接，用上述“面积法”，求证：．

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

【分析】

（1）大长方形的面积为一个正方形的面积与三个小长方形面积之和即，同时大长方形的面积也可以为，列出等量关系即可；

（2）由勾股定理求出AB，然后根据，代入数值解之即可．

（3）由和三角形面积公式即可得证．

【详解】

（1）如图（2），大长方形的面积为一个小正方形的面积与三个小长方形面积之和，即，同时大长方形的面积也可以为，

故答案为：；

（2）如图（3）中，，，，

∴,

∵,

∴；

（3）如图（4），

∵，，，垂足分别为点，，，

∴，

∴，

∵AB=AC，

∴CH=OM+ON

即．

【点评】本题考查了因式分解的几何背景、图形的拆拼前后的面积相等、类比法等，解答的关键是根据已知条件和图形特点，利用拆拼前后的面积相等通过分析、推理和计算．

13．（2020·四川内江·中考真题）我们知道，任意一个正整数x都可以进行这样的分解：（m，n是正整数，且），在x的所有这种分解中，如果m，n两因数之差的绝对值最小，我们就称是x的最佳分解．并规定：．

例如：18可以分解成，或，因为，所以是18的最佳分解，所以．

（1）填空：；；

（2）一个两位正整数t（，，a，b为正整数），交换其个位上的数字与十位上的数字得到的新数减去原数所得的差为54，求出所有的两位正整数；并求的最大值；

（3）填空：

①；

②；

③；

④．

【答案】（1）；1；（2）t为39，28，17；的最大值；（3）

【解析】

【分析】

（1）6＝1×6＝2×3，由已知可求＝；9=1×9=3×3，由已知可求=1；

（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，得到b−a＝6，可求t的值，故可得到的最大值；

（3）根据的定义即可依次求解．

【详解】

（1）6＝1×6＝2×3，

∵6−1＞3−2，

∴＝；

9=1×9=3×3，

∵9−1＞3−3，

∴=1，

故答案为：；1；

（2）由题意可得：交换后的数减去交换前的数的差为：

10b＋a−10a−b＝9（b−a）＝54，

∴b−a＝6，

∵1≤a≤b≤9，

∴b＝9，a＝3或b＝8，a＝2或b＝7，a＝1，

∴t为39，28，17；

∵39＝1×39＝3×13，

∴＝；

28＝1×28＝2×14＝4×7，

∴＝；

17＝1×17，

∴；

∴的最大值．

（3）①∵=20×21

∴；

②=28×30

∴；

③∵=56×30

∴；

④∵=56×60

∴，

故答案为：．

【点评】

本题考查因式分解的应用；理解题意，从题目中获取信息，列出正确的代数式，再由数的特点求解是解题的关键．

14．（2019·广西河池·中考真题）分解因式：．

【答案】．

【解析】

【分析】

直接利用完全平方公式化简，进而利用平方差公式分解因式即可．

【详解】

解：原式

．

【点评】此题主要考查了公式法分解因式，正确运用公式是解题关键．

15．（2020·湖北鄂州·中考真题）因式分解：=___________________．

【答案】

【解析】

【分析】

先提取公因式2，再根据完全平方公式分解因式即可得到结果.

【详解】

原式．

考点：本题考查的是因式分解

点评：解答本题的关键是熟练掌握完全平方公式：

16．（2018·黑龙江大庆·中考真题）已知：x2﹣y2=12，x+y=3，求2x2﹣2xy的值．

【答案】2x2﹣2xy=28．

【解析】

【分析】

先求出x﹣y=4，进而求出2x=7，而2x2﹣2xy=2x（x﹣y），代入即可得出结论．

【详解】

∵x2﹣y2=12，
∴（x+y）（x﹣y）=12，
∵x+y=3①，
∴x﹣y=4②，
①+②得，2x=7，
∴2x2﹣2xy=2x（x﹣y）=7×4=28．

【点评】

本题考查了因式分解的应用，代数值求值，二元一次方程组的特殊解法等，求出x-y=4是解本题的关键.

17．（2020·浙江嘉兴·中考真题）比较x2+1与2x的大小．

（1）尝试（用“＜”，“＝”或“＞”填空）：

①当x＝1时，x2+1　   　2x；

②当x＝0时，x2+1　   　2x；

③当x＝﹣2时，x2+1　   　2x．

（2）归纳：若x取任意实数，x2+1与2x有怎样的大小关系？试说明理由．

【答案】（1）①=；②>；③>；（2）x2+1≥2x，理由见解析

【解析】

【分析】

（1）根据代数式求值，可得代数式的值，根据有理数的大小比较，可得答案；

（2）根据完全平方公式，可得答案．

【详解】

解：（1）①当x＝1时，x2+1＝2x；

②当x＝0时，x2+1＞2x；

③当x＝﹣2时，x2+1＞2x．

故答案为：＝；＞；＞．

（2）x2+1≥2x．

证明：∵x2+1﹣2x＝（x﹣1）2≥0，

∴x2+1≥2x．

【点评】本题考查了求代数式的值，有理数的大小比较，两个整式大小比较及证明，公式法因式分解、不完全归纳法，解题关键是理解根据“A-B”的符号比较“A、B”的大小．