专题19.11 一次函数与一元一次不等式（知识讲解）-2021-2022学年八年级数学下册基础知识专项讲练（人教版）学案

专题19.11  一次函数与一元一次不等式（知识讲解）

【学习目标】

1．能用函数的观点认识一次函数、一次方程（组）与一元一次不等式之间的联系，能直观地用图形（在平面直角坐标系中）来表示方程（或方程组）的解及不等式的解，建立数形结合的思想及转化的思想．

2．能运用一次函数的性质解决简单的不等式问题及实际问题．

3.设参求值解决一次函数与不等式中的动点问题。

【要点梳理】

 要点一、一次函数与一元一次不等式

　　由于任何一个一元一次不等式都可以转化为＞0或＜0或≥0或≤0（、为常数，≠0）的形式，所以解一元一次不等式可以看作：当一次函数的值大于0（或小于0或大于等于0或小于等于0）时求相应的自变量的取值范围.

     要点诠释：求关于的一元一次不等式＞0（≠0）的解集，从“数”的角度看，就是为何值时，函数的值大于0？从“形”的角度看，确定直线在轴（即直线＝0）上方部分的所有点的横坐标的范围.

要点二、一元一次方程与一元一次不等式

我们已经学过，利用不等式的性质可以解得一个一元一次不等式的解集，这个不等式的解集的端点值就是我们把不等式中的不等号变为等号时对应方程的解.

要点三、如何确定两个不等式的大小关系

（≠，且）的解集的函数值大于的函数值时的自变量取值范围直线在直线的上方对应的点的横坐标范围．

【典型例题】

类型一、一次函数与一元一次不等式 

1、（2021·江苏南京市·八年级期末）已知一次函数的图像经过点．

（1）求该函数的表达式；

（2）取何值时，？

【答案】（1）；（2）

【分析】

（1）利用待定系数法求出b的值，即可得出结果；

（2）求得直线与x轴的交点，然后根据一次函数的性质即可求解．

解：（1）一次函数y＝x＋b的图象经过点A（−1，3）．

∴3＝−1＋b，

∴b＝4，

∴该一次函数的解析式为y＝x＋4；

（2）令y＝0，则x＋4＝0，解得x＝−4，

∵k＝1，

∴y随x的增大而增大，

∴x＞−4时，y＞0．

【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数的解析式及一次函数与一元一次不等式的关系，熟练掌握一次函数的图象与性质是解题的关键．

举一反三：

【变式1】（2020·广西八年级月考）如图，直线与轴交于点，与轴交于点，则关于的不等式的解集为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【分析】

根据一次函数的性质得出 y 随 x 的增大而减小，当 x >-1时，y <0，即可求出答案．

解： 直线 与 x 轴交于点(-1，0)，与轴交于点

根据图形可得 k <0，

y 随 x 的增大而减小，当 x >-1时，y <0，即．

故答案为： A

【点拨】本题主要考查对一次函数与一元一次不等式，一次函数的性质等知识点的理解和掌握，能熟练地运用性质进行说理是解此题的关键．

举一反三：

【变式】（2021·江苏南京市·八年级期末）已知直线过和，则关于的不等式的解集是______．

【答案】

【分析】由题意可以求得k和b的值，代入不等式即可得到正确答案 ．　

解：由题意可得：

∴ k=2，b=-2，

∴原不等式即为2x-2<0，

解之可得：x<1，

故答案为x<1 ．

【点拨】本题考查一次函数与一元一次不等式的综合应用，利用直线与坐标轴的交点求出不等式的系数是解题关键．

2.（2021·北京西城区·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，直线与x轴交于点A，直线与x轴交于点B，且与直线交于点．

（1）求m和b的值；

（2）求的面积；

（3）若将直线向下平移个单位长度后，所得到的直线与直线的交点在第一象限，直接写出t的取值范围．

【答案】（1）m=2，b=4；（2）4；（3）<t<8

【分析】

（1）先把代入，求出m的值，再把点C的坐标代入即可求出b的值；

（2）先求出点A和点B的坐标，然后根据三角形的面积公式求解即可；

（3）设出平移后的解析式，然后分别把点D和点A的坐标代入即可解答．

解：（1）把代入，得

，

把代入，得

，

∴b=4；

（2）当时，

解得x=2，

∴A(2，0)；

当时，

解得x=-2，

∴B(-2，0)；

∴AB=4，

∴的面积=；

（3）设平移后的解析式为，

当x=0时，，

∴D(0，)，

把D(0，)代入，得

，

∴t=；

把A(2，0)代入，得

，

∴t=8；

∴t的取值范围<t<8．

【点拨】

本题考查了一次函数的交点，一次函数与坐标轴的交点，一次函数的平移，利用函数图象解不等式，以及三角形的面积公式等知识，熟练掌握各知识点是解答本题的关键．

举一反三：

【变式】（2020·全国八年级课时练习）已知一次函数（k，b为常数，且）的图像如图（a）所示，

（1）方程的解为              ，不等式的解集是________．

（2）如图（b）所示，正比例函数（m为常数，且）与一次函数相交于点P，则不等式组的解集为________．

（3）在（2）的条件下，比较mx与的大小（直接写出结果）．

【答案】（1），；（2）；（3）当时，；当时，；当时，．

【分析】

（1）由图象可知：当时，y=0，即可求出方程的解，然后根据图象可知当x=0时，y=4，y随x增大而减小，从而求出不等式的解集；

（2）根据图象分别求出mx＞0的解集和＞0的解集即可得出结论；

（3）由图象可知：在交点P左侧时，正比例函数的函数值比一次函数函数值小；在交点P处，正比例函数的函数值和一次函数函数值相等；在交点P右侧时，正比例函数的函数值比一次函数函数值大，即可得出结论．

解：（1）由图象可知：当时，y=0

∴方程的解为    

由图象可知：当x=0时，y=4，y随x增大而减小

∴当时，

∴不等式的解集是   

故答案为：；；

（2）由图象可知：正比例函数中，当x=0时，y=0，y随x的增大而增大

∴当x＞0时，＞0

∴mx＞0的解集为x＞0

一次函数中，当x=2时，y=0，y随x增大而减小

∴当x＜2时，＞0，

∴＞0的解集为x＜2

∴不等式组的解集为．

故答案为：．

（3）由图象可知：在交点P左侧时，正比例函数的函数值比一次函数函数值小；在交点P处，正比例函数的函数值和一次函数函数值相等；在交点P右侧时，正比例函数的函数值比一次函数函数值大．

∴当时，；当时，；当时，．

【点拨】此题考查的是根据交点坐标求不等式或不等式组的解集，掌握一次函数和一元一次不等式或不等式组的关系是解决此题的关键．

3、（2020·河北邯郸市·育华中学八年级期末）如图，直线与轴交于点，直线与轴交于点，两条直线交于点．

（1）方程组的解是_____；

（2）当与同时成立时，的取值范围是_________；

（3）求的面积；

（4）在直线的图象上存在异于点的另一点，使得与的面积相等，请求出点的坐标．

【答案】（1） ；（2） ；（3）8 ；（4）P（－2，－6）

【分析】

（1）利用两直线交点坐标得出方程组的解；

（2）利用函数图象得出在x轴上方时，对应x的取值范围；

（3）利用已知图象结合三角形面积求法得出答案；

（4）利用三角形面积求法得出P点横坐标，进而代入函数解析式得出P点坐标．

解：（1）如图所示：方程组的解为：；

故答案为：；

（2）如图所示：当y1＞0与y2＞0同时成立时，x取何值范围是：1＜x＜3；

故答案为：1＜x＜3；

（3）∵令x＝0，则y1＝－2，y2＝6，

∴A（0，－2），B（0，6）．

∴AB＝8．

∴S△ABC＝×8×2＝8；

（4）令P（x0，2x0－2），则S△ABP＝×8×|x0|＝8，

∴x0＝±2．

∵点P异于点C，

∴x0＝－2，2x0－2＝－6．

∴P（－2，－6）．

【点拨】此题主要考查了一次函数与二元一次方程组以及一次函数与一元一次不等式和三角形面积求法等知识，正确利用数形结合分析是解题关键．

举一反三：

【变式】（2019·百色市·八年级期中）如图，函数y=2x与y=ax+5的图象相交于点A(m，4)．

（1）求A点坐标及一次函数y=ax+5的解析式；

（2）设直线y=ax+5与x轴交于点B，求的面积；

（3）不等式2x＜ax+5的解集为　     　．

【答案】（1）(2，4)，y=﹣x+5；（2）20；（3）x＜2

【分析】

（1）将点A（m，4）代入y=2x，即可求得A点坐标，将A点坐标代入y=ax+5，即可求得一次函数的解析式；
（2）求得B点的坐标后利用三角形面积公式列式计算即可；
（3）根据图象，找出直线y=2x落在y=ax+5下方的部分对应的自变量的取值范围即可．

解：（1）∵函数y=2x的图象过点A（m，4），

∴4=2m，解得m=2，

∴A点坐标为（2，4）．

∵y=ax+5的图象过点A，

∴2a+5=4，解得a=﹣，

∴一次函数y=ax+5的解析式为y=﹣x+5；

（2）∵y=﹣x+5，

∴y=0时，﹣x+5=0．

  解得x=10，

∴B（10，0），

 OB=10，

∴△AOB的面积=×10×4=20；

（3）由图形可知，不等式2x＜ax+5的解集为x＜2．

故答案为：x＜2．

【点拨】本题考查了一次函数与一元一次不等式，待定系数法求一次函数的解析式，函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，利用了数形结合的思想．

类型二、用一次函数的性质“设参求值”解决动点问题

4、（2020·湖北黄冈市·思源实验学校八年级期末）如图，直线与轴，轴分别交于点，点，与函数的图象交于点．

（1）直接写出k，b的值和不等式的解集；

（2）在轴上有一点，过点作轴的垂线，分别交函数和的图象于点，点．若，求点的坐标．

【答案】（1）不等式的解集为；（2）点的坐标为 ，或，．

【分析】

（1）把M点的坐标分别代入y=kx和可求出k、b的值，再确定A点坐标，然后利用函数图象写出不等式的解集；（2）先确定B点坐标得到OB的长，设P（m，0），则，D（m，2m），利用2CD=OB得到，然后解绝对值方程求出m，从而得到点P的坐标．

解：（1）把代入得；

把代入得，解得；

当0时，，解得，则，

所以不等式的解集为；

（2）当时，，则，

，

设，则，，

，

，

解得或，

点的坐标为 ，或，．

【点拨】本题考查了待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式，掌握待定系数法求一次函数解析式，一次函数与一元一次不等式是解题的关键.

举一反三：

【变式1】（2020·沈阳市第一二六中学八年级期末）在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点是直线上一点，直线交x轴于点C，直线与x轴交点，与y轴交于点B，直线、相交于点Q．

（1）________，的解析式为________，点Q坐标为________；

（2）连接OP、OQ，直接写出的面积________；

（3）在x轴上找一点M，使，则点M的坐标为________．

【答案】（1）-2；；（4，4）；（2）12；（3）（2，0）或（-10，0）．

【分析】

（1）把点代入直线中即可求出m的值，把点代入中求出b即可，把和联立组成方程组求解即可；

（2）分别过点p，Q作x轴的垂线，从而分别先求出三角形OPC的面积和△OCQ的面积，再把它们相加即可；

（3）分两种情况进行讨论即可．

解：（1）∵点是直线上一点，

∴．

∵直线与x轴交点，

∴-8+b=0

解得：b=8．

∴的解析式为．

∵

解得：

∴点Q坐标为（4，4）．

故答案为：-2；；（4，4）．

（2）令，则

解得：x=-4．

∴OC=4．

如图，过点P作PE⊥AC于点E，过点Q作QF⊥AC于F，

∵点，点Q坐标为（4，4），

∴PE=2，QF=4．

的面积=的面积+的面积

==12．

故答案为：12．

（3）设点M的坐标为（a，0），

由（2）可知OC=4，

∴点C的坐标为（-4，0），

∴MC=

令x=0，则，

∴OB=8．

∵

∴

解得：a=2或-10．

∴点M的坐标为（2，0）或（-10，0）．

故答案为：（2，0）或（-10，0）．

【点拨】本题考查了一次函数的综合，掌握相关知识是解题的关键．

举一反三：

【变式】（2021·广东深圳市·八年级期末）如图，在平面直角坐标系中，过点C（0，6）的直线AC与直线OA相交于点A（4，2）．

（1）求直线AC的表达式；

（2）求△OAC的面积；

（3）动点M在线段OA和射线AC上运动，是否存在点M，使△OMC的面积是△OAC的面积的？若存在，求出此时点M的坐标；若不存在，请说明理由．

【答案】（1）；（2）12；（3）存在，或或

【分析】

（1）利用待定系数法即可求得函数的解析式；

（2）利用三角形的面积公式即可求解；

（3）当△OMC的面积是△OAC的面积的时，根据面积公式即可求得M的横坐标，然后代入解析式即可求得M的坐标．

解：（1）设直线AC的解析式是，

根据题意得：，

解得：，

则直线AC的解析式是：；

（2）；

（3）存在这样的M点，理由如下：

设OA的解析式是，则，解得：，

则直线OA的解析式是：，

当△OMC的面积是△OAC的面积的时，M的横坐标是×4＝2，

在中，当时，，则M的坐标是（2，1）；

在中，当时，，则M的坐标是（2，4）；

则M的坐标是：或；

当M点在y轴左侧时，

在中，当时，，则M的坐标是（−2，8）；

综上所述，M的坐标是：或或．

【点拨】本题主要考查了用待定系数法求函数的解析式，熟记三角形面积公式及利用M点横坐标为±2分别求出是解题关键．