专题03 基本不等式-【备考集训】2021-2022学年高一数学上学期专题训练+期中期末全真模拟卷(人教A版2019必修第一册)(解析版)

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专题03  基本不等式训练题评讲中的考点、题型、知识与技巧点拨总结利用基本不等式求最值时，要反复强调以下这三个条件： （1）“一正”；（2）“二定”；（3）“三相等”。 如第1题。“和与积”互相转化，是基本不等式使用的重要思维和技巧。如第2题和第3题，可利用此题，引导学生观察和总结这个互化规律。“1”的代换综合型，就是构造分母，盯着分母，把分母看做整体，分离构造分母（也可以换元解决）是最常见的一种技巧。如第4题第5题。注意这个式子中体现出来的因式分解思维：。如第6题。实际上是“有和有积因式分解”型、“有和有积有（无）常数”这个模型，这类题比较难的，就是条件和结论中的“和”系数不一样。   专题集训题选1.已知，且，则的最小值为（    ）A．9 B．10 C．11 D．【答案】A【分析】利用“乘1法”将问题转化为求的最小值，然后展开利用基本不等式求解．【详解】，，又，且，，当且仅当，解得，时等号成立，故的最小值为9．故选：A．2.（多选题）已知正数a，b满足，则（    ）A．的最小值为2 B．的最小值为4C．的最小值为8 D．的最小值为8【答案】BD【分析】先利用基本不等式求得判断B；再结合对勾函数的性质判断A；利用基本不等式取等号条件判断C,D.【详解】对于B，因为a，b都是正数，，当且仅当，即时，等号成立，故，即的最小值为4，故B正确；对于A，由选项B知，结合对勾函数性质知，故A错误；对于C，，前一个等号成立的条件是，即，而后一个等号成立的条件是，即，等号不具有传递性，故，故C错误；对于D，，两个等号成立的条件都是，即，等号具有传递性，故，故D正确；故选：BD3.（多选题）下列关于基本不等式的说法正确的是（    ）A．若，则的最大值为B．函数的最小值为2C．已知，，，则的最小值为D．若正数数x，y满足，则的最小值是3【答案】AC【分析】根据均值不等式求最值，注意验证等号成立的条件.【详解】因为，所以，，当且仅当即时，等号成立 ，故A正确；函数，当且仅当，即时，等号成立，故B错误；因为，，，所以，当且仅当，即时，等号成立，故C正确；由可得，，当且仅当，即时等号成立，故D错误.故选：AC4.若 ，则有（    ）A．最大值 B．最小值 C．最大值 D．最小值【答案】A【分析】将给定函数化简变形，再利用均值不等式求解即得.【详解】因，则，于是得，当且仅当，即时取“=”，所以当时，有最大值.故选：A5.若正数、满足，则的最小值为________.【答案】【分析】由可得，将代数式与相乘，展开后利用基本不等式可求得的最小值.【详解】已知正数、满足，则，所以，，当且仅当时，等号成立.因此，的最小值为.故答案为：.6.已知，，且，则的最大值为（    ）A．2 B． C． D．【答案】C【分析】由已知条件可得，令，，可得，，，进一步可得，最后利用基本不等式求出最大值即可.【详解】，，配凑得：，两边同时除以4得：，即，令，，则，，，所以（当且仅当即时，等号成立）.故选：C.7.已知实数，满足，则的最小值是______【答案】【分析】将所求代数式变形为，然后利用基本不等式可求最小值.【详解】,,,当且仅当时，即当时，等号成立，因此的最小值为.故答案为：8.设，则取得最小值时，的值为（    ）A． B．2 C．4 D．【答案】A【分析】转化条件为原式，结合基本不等式即可得解.【详解】，当且仅当，即，，时，等号成立.故选：A.9.设，，是三个正实数，且，则的最大值为______.【答案】3【分析】由得到，代入转化为，令，，得到，利用基本不等式求解.【详解】因为，所以，所以，令，所以，当且仅当，即时，取等号，所以所以的最大值为3。故答案为：310.若实数满足，则的最大值为________.【答案】【分析】已知条件可化为，故可设，从而目标代数式可化为，利用基本不等式可求其最大值.【详解】由，得，设，其中.则，从而，记，则，不妨设，则,当且仅当，即时取等号，即最大值为.故答案为：.11.已知且，则的最小值为___________.【答案】【分析】令，，将已知条件简化为；将用表示，分离常数，再使用“乘1法”转化后利用基本不等式即可求得最小值．【详解】解：令，，因为，所以，则，，所以,所以，当且仅当，即，，即时取“”，所以的最小值为.故答案为：.12.若正实数满足，则的最小值为___________.【答案】【分析】由已知等量关系得，代入目标式化简得，应用基本不等式求最小值即可.【详解】由且知：，∴当且仅当时等号成立，即时等号成立.故答案为：13.已知，，且，则的最大值为____．【答案】【分析】由，，利用均值不等式得，解得的取值范围，进而求得的最大值.【详解】由，，得，即又，当且仅当，即时，取等，故，解得或（舍）故，即的最大值为，故答案为：.14.已知，则的最小值为________.【答案】【分析】利用可把变形为，该式可进一步变形为，利用基本不等式可求的最小值，从而得到所求的最小值.【详解】由题意得，所以，即，消去，得.记，注意到， 则，当且仅当即时等号成立，所以最小值为.故答案为：.15.已知实数，满足，，且，则的最小值为________．【答案】5【分析】设，，则，可得，展开后利用基本不等式求解即可.【详解】设，，则，且，当且仅当，即时取等号．此时，有解．故答案为：5.16.设正数a，b满足， ，则的最大值是________.【答案】18【分析】变形已知，利用基本不等式构造，由化简可得解.【详解】，，，当且仅当即 或时等号成立.故答案为：1817.已知正数满足：，则的最小值是_____________．【答案】2.【分析】将等式两边同时乘以，然后利用基本求解出，同时分析取的条件是否满足.【详解】因为，所以，所以，所以，所以，取等号时，所以，所以，当时，符合条件，所以.故答案为：.18.若对任意的，对任意的，不等式恒成立，求的最大值.【答案】33【分析】设，对讨论，分，，，判断的单调性，求得最值，由不等式的性质和不等式的解法，可得所求最大值．【详解】设，当时，，可得的最小值为 ，最大值为，由题意可得，即为，则 ；当时，，可得的最小值为，最大值为，由题意可得，即为，则．当即时，在递减，可得的最大值为，最小值为，由题意可得，即为，则，由，可得无最大值．综上可得的最大值为．19.已知a，b，c均为正实数，且满足.证明：（1）；（2）.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析.【分析】（1）首先推得，再由条件转化为的式子，运用基本不等式可得结论；（2）运用基本不等式推得，，，再相加即可得到所求结论．【详解】（1）由，，均为正实数，且满足，，可得，当且仅当时取得等号．则，当且仅当，时取得等号．（2）由，，均为正实数，且满足，，当且仅当取得等号，同理可得，当且仅当取得等号，同理可得，当且仅当取得等号，上面三式相加可得（当且仅当时取得等号）．20.已知函数f（x）＝|2x﹣1|+2|x+1|．（1）求不等式f（x）≤5的解集；（2）若存在实数x0，使得f（x0）≤5+m﹣m2成立的m的最大值为M，且实数a，b满足a3+b3＝M，证明：0＜a+b≤2．【答案】(1) ;(2)证明见解析.【分析】(1)先将不等式进行化简可得，利用绝对值的几何意义求解.(2)结合绝对值的几何意义求出的最小值，从而求出得到，利用基本不等式即可证明.【详解】(1) 解：，则，由绝对值的几何意义可得和时使得等号成立，所以解集为 (2)证明：由绝对值的几何意义已知的最小值为，所以，解得，所以，所以，因为，，所以，由得，，则，综上所述，.21.已知函数的定义域为.（1）求实数的取值范围；（2）设实数为的最大值，若实数满足，求的最小值.【答案】（1）（2）【分析】（1）由定义域为，只需求解的最小值，即可得实数的取值范围；（2）根据（1）求得实数的值，利用基本不等式即可求解最小值．【详解】（1）函数的定义域为.对任意的恒成立，令，则，结合的图像易知的最小值为，所以实数的取值范围.（2）由（1）得，则，所以，，当且仅当，即，，时等号成立，的最小值为.【点睛】本题主要考查了含绝对值函数的最值，转化思想和基本不等式的应用，考查了分析能力和计算能力，属于难题