专题12 指数函数-2021-2022学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教2020）

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 专题12 指数函数（指数函数的定义与图像，指数函数的性质）知识梳理1.根式的运算性质：(1)当n为任意正整数时，()=a(2)当n为奇数时，=a；当n为偶数时，=|a|=(3)根式的基本性质：，（a0）2.分数指数幂的运算性质：3.指数函数函数名称指数函数定义函数且叫做指数函数图   象               定义域值域过定点图象过定点，即当时，．单调性在上是增函数在上是减函数变化对图象的影响在第一象限内，越大图象越高；在第二象限内，越大图象越低． 热身练习1、的分数指数幂表示为        【难度】★【答案】2、函数的值域是    【难度】★★【答案】3、函数的图像必经过点     【难度】★★【答案】4、下列函数中值域是的是（    ）A、   B、  C、   D、【难度】★★【答案】B 5、已知函数满足，且，比较与的大小关系【难度】★★★【答案】∵，∴函数的对称轴是．故，又，∴．∴函数在上递减，在上递增．若，则，∴；若，则，∴．综上可得，即． 例题解析 考点一、指数函数的概念和性质【例1】在下列函数中，是指数函数的有_________________①②③④⑤⑥⑦【难度】★【答案】①⑥ 【例2】函数是指数函数，求的值【难度】★★【答案】2 【例3】函数的定义域是【难度】★★【答案】 【例4】函数在上是减函数，求的取值范围【难度】★★【答案】  【巩固训练】1．指出下列函数哪些是指数函数？（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．【难度】★【答案】（1）（5）（6）2．作出函数与的图像．【难度】★★【答案】 3．已知x>0, 函数的值恒大于1，则实数的取值范围是_____________【难度】★★【答案】   4．函数在区间[1,2]上的最大值比最小值大，则实数的值是_____【难度】★★【答案】   5．函数的图像与函数的图像关于_________对称，它们的交点坐标是______【难度】★★【答案】.轴，    考点二、指数函数的图像及其应用【例5】指数函数①②满足不等式，则它们的图象是 (　　)　　　【难度】★★【答案】C【例6】(1)函数的图象一定过____________象限.(2)函数的图象一定过定点，则点的坐标是_________.(3)函数与___________的图象关于轴对称.【难度】★★【答案】(1) = ,它可以看作是指数函数 图象作关于 轴对称的图象,因此一定过第三象限和第四象限.(2) 的图象可以看作把 的图象向右平移一个单位再向上平移3个单位而得到,且 一定过点 ,则 应过点 .(3)图象与 关于 轴对称的函数为 .【例7】方程的实根的个数为_______________.【难度】★★【答案】2 【例8】.比较下列各组数的大小:(1)  和；(2) 和；(3) 和；(4) 和（，）；(5)和；（6）和。【难度】★★【答案】(1) 在 上是减函数,又 ,故 <.(2)= ,由 的单调性可得, >即 >.(3)由 >1而 <1,可知 >.(4)当 时, <,当 时, >.(5)函数在R上是增函数，，>(6)函数在R上是减函数，，<【例9】已知函数，定义函数 给出下列命题：①；②函数是奇函数；③当时，若，，总有成立，其中所有正确命题的序号是.【难度】★★【答案】②③ 【巩固训练】1．曲线，，和分别是指数函数，, 和 的图象,则a，b，c，d 与1的大小关系是 (  ).　A．　        　B．　　C．　        　D．　【难度】★★【答案】D 2．直线与函数的图像有两个公共点，则的取值范围是    【难度】★★【答案】 3．若函数的图像经过第一、三、四象限，则一定有（  ） A．  B． C． D．【难度】★★【答案】B 4.函数的图象恒过定点____________.【难度】★★【答案】5．当时，不等式恒成立，则的取值范围是．【难度】★★【答案】 6．不等式的解集为，则实数的取值范围是．【难度】★★【答案】 7．下列曲线中，可能是函数的部分图像是（   ）【难度】★★★【答案】C   考点三、指数函数相关的复合函数问题【例10】（1）函数的定义域为                              ，值域为     （2）函数的定义域为                                      ，值域为     （3）函数的定义域是；值域是.                               （4）（5）函数的定义域，值域；在区间                      上是增函数（6）函数的定义域是，值域是                ．【难度】★★【答案】（1），；（2），；（3），；（4）；（5）R，（0，8〕，（-∞， 1〕；（6）， 【例11】(1)函数的单调递增区间是_______________.(2)函数（）的递增区间为___________，单调减区间为___________【难度】★★【答案】(1)令 ,显然当 时,由 是增函数,此函数是单调递增的.（2）令，则，当时，，内层函数为减，外层函数为增，所以复合函数的减区间为；当时，，内层函数为减，外层函数为减，所以复合函数的增区间为【例12】已知对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围【难度】★★【答案】原不等式化为在R上是减函数，即原不等式对任意恒成立，解得：实数的取值范围是【巩固训练】1．已知，求函数的最值．【难度】★★【答案】, 2．若函数的值域为，试确定的取值范围.【难度】★★【答案】 3．函数在区间上有最大值14，则a的值为（）A.3或-5        B. 3       C.          D. 3或【难度】★★【答案】D  4．求下列函数的定义域、值域.(1)；(2)y=4x-2x+1；(3)；(4)(a为大于1的常数)【难度】★★【答案】（1）R，(0，1)；（2）R [)；（3）；（4）(-∞，-1)∪[1，+∞) [1，a)∪(a，+∞)【解析】(1)函数的定义域为R (∵对一切xR，3x≠-1).∵ ，又∵ 3x>0， 1+3x>1，∴ ，  ∴ ，∴ ， ∴值域为(0，1).(2)定义域为R，，∵ 2x>0，  ∴ 即 x=-1时，y取最小值，同时y可以取一切大于的实数，∴ 值域为[).(3)要使函数有意义可得到不等式，即，又函数是增函数，所以，即，即，值域是.(4)∵    ∴ 定义域为(-∞，-1)∪[1，+∞)，又∵ ，∴ ， ∴值域为[1，a)∪(a，+∞).5．若函数的定义域为，则的取值范围为．【难度】★★【答案】 6．已知函数的值域为，则的一个可能的解析式为．【难度】★★【答案】 7．单调增函数对任意满足，若恒成立，则的取值范围是（    ） A、   B、C、     D、【难度】★★【答案】B 8．设函数若，则的取值范围是（      ）A．B．C．          D．【难度】★★【答案】D 9．已知，求函数的最大值【难度】★★【答案】2  考点四、指数函数的综合运用 【例16】已知函数f(x)＝2x－，若2t f(2t)+m f(t)≥0对于t∈[1,2]恒成立，求实数m的取值范围【难度】★★★【答案】 【例17】已知函数；
（1）当a=1时，求函数f（x）在（-∞，0）上的值域；
（2）若对任意x∈[0，+∞），总有|f（x）|≤3成立，求实数a的取值范围；
（3）若m＞0（m为常数），且对任意x∈[0，1]，总有|g（x）|≤M成立，求M的取值范围．【难度】★★★【答案】（1）（2）（3）  【例18】已知函数，其中为常数，且（1）求证：（2）试写出一个和的函数值满足的等式，使得第（1）题的结论是这个等式的一个特列，并证明它在和的公共区域R上恒成立；（3）试任意写出一个和的函数值满足等式。【难度】★★★【答案】（1）略 （2）对于任意的，证明略，当时，（1）式中的等式一个特列；（3）①②③④ 【例19】某公司投资兴建了甲、乙两个工厂，2001年公司从甲厂获得利润100万元，从乙厂获得利润400万元，以后每年上缴的利润甲厂一翻一番的速度递增，而乙厂则减为上一年的一半，试问：（1）哪一年公司从这两个工厂获得的年总利润最少？（2）哪一年开始，公司从这两个工厂获得的年利润超过50000万元？【难度】★★【答案】由题意知，经过年后，从甲厂获得的年利润为万元，从乙工厂获得利润为万元。  故公司的年总利润为（1）当且仅当，即时，等号成立经过1年（即2002年），公司从两家获得的年利润最少（2）又万元所以经过9年，即从2010年开始，公司从两家工厂获得的年总利润超过50000万元。【巩固训练】1．设函数（1）分别作出和的图像；（2）求实数的取值范围，使得方程与都有且仅有两个实数解．【难度】★★★【答案】（1）（2）由图像可知，当时，有且仅有两个解；当时，有且仅有两个解，所以的范围是。2．已知函数，若方程有且仅有两个解，则实数的取值范围是.【难度】★★★【答案】3．是定义在R上的奇函数，当时，（1）求函数在上的解析式（2）若方程在上有解，求的取值范围【难度】★★【答案】（1）（2）  反思总结 求解与指数函数有关的复合函数问题，首先要熟知指数函数的定义域、值域、单调性等相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断，最终将问题归纳为内层函数相关的问题加以解决．（1）会根据复合函数的单调性特征“同增异减”，判断形如(且)函数的单调性；（2）会根据(且)的单调性求形如，的值域；（3）解题时注意“分类讨论”、“数形结合”、“换元”等思想方法的应用。课后练习1．指数函数上的最大值与最小值的和为3，求【难度】★【答案】若的最大值与最小值分别为；（舍去）若的最大值与最小值分别为，综上：。 2．当时，下列不等式中正确的是（）A．              B．C．              D．【难度】★★【答案】D  3．函数的定义域和值域分别为（ ）A. ，          B.，C. ，          D. ，【难度】★★【答案】B4．已知函数满足，且，则与的大小关系为（  ）A.     B.     C.    D. 【难度】★★【答案】A 5．已知，则x的取值范围是（ ）A.    B.      C.    D.  【难度】★★【答案】C    6．方程的解为（  ）．A.          B.         C.  1             D. 3【难度】★★【答案】A 8．求函数的单调区间及值域.【难度】★★【答案】上单增，在上单减.   9．判断下列各数的大小关系：(1)1.8a与1.8a+1；             (2)(3)22.5，(2.5)0，        (4)【难度】★★【答案】（1）1.8a<1.8a+1 （2） （3）（4）当a>1时，，当0<a<1时，10．如果（，且），求的取值范围【难度】★★【答案】当时，；当时， 11．若函数的图象与轴有交点，则实数的取值范围是       【难度】★★【答案】 12．已知，求函数的值域【难度】★★【答案】，而函数在区间上是增函数，所以，函数的值域为 13．函数在上恒成立，则的取值范围是.【难度】★★【答案】  14．.函数的图像大致为(     ).【难度】★★【答案】A  15．设指数函数，则下列等式中不正确的是 （    ）A．f(x+y)=f(x)·f(y)  B．C． D．【难度】★★【答案】D  16．若指数函数在[－1,1]上的最大值与最小值的差是1，则底数a等于       【难度】★★【答案】     17．函数的定义域为，若且时总有，则称为单函数，例如，函数是单函数．下列命题：①函数是单函数；②指数函数是单函数；③若为单函数，且，则；④在定义域上具有单调性的函数一定是单函数；⑤若为单函数，则函数在定义域上具有单调性．其中的真命题是________．(写出所有真命题的编号)【难度】★★【答案】②③④