专题13 对数函数-2021-2022学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教2020）

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 专题13 对数函数(对数函数的定义与图像，对数函数的性质）                知识梳理一、对数函数1、对数函数定义：函数叫做对数函数。对数函数与指数函数互为反函数。2、性质：（1）对数函数的图像都在y轴的右方；（2）对数函数的图像经过点（1,0）；（3）对数函数,当x>1时，y>0；当0<x<1时，  y<0；对数函数,当x>1时，y<0；当0<x<1时， y>0；（4）对数函数在（0，+∞）上是增函数，对数函数在（0，+∞）上是减函数。（5）对数函数图像在第一象限的规律是：以直线x=1把第一象限分成两个区域，每个区域里对数函数底数都是由左向右逐渐增大，如右图所示，C1，C2，C3，C4对应，，，，则0<a4<a3<1<a2<a1。3、复合函数的单调性在复合函数中，如果和的增减性相异，则为减函数，如果的增减性相同，则为增函数。 例题解析一、对数函数的概念与简单运用【例1】求下列函数的定义域（1）  （2）     【例2】已知函数f(x)的定义域是[0，1]，求函数的定义域。     【例3】若，则a的取值范围是   （    ） A．  B． C．  D．【例4】函数的定义域为[1，2]，则函数的定义域为 （    ） A．[0，1] B．[1，2] C．[2，4] D．[4，16]【例5】已知函数的定义域为R，求实数a的取值范围。        【例6】函数（1）              若其定义域包含一切负实数，求实数a的取值范围（2）       当时，求y=f(x)的反函数       【巩固训练】1．求下列函数的定义域：    2．求函数的定义域。       3．若，则实数k的取值范围是                     .4．已知函数的值域为R，则实数a的取值范围是               二、对数函数的性质与图像问题【例7】由函数图像，画出下列各函数图像。（1）（2）（3）（4）（5）（6）      【例8】右图是对数函数的图像，已知a取则相应于C1C2C3C4的a值依次为       。【例9】已知，试确定m和n的大小关系。      【例10】在函数的图象上有A、B、C三点，它们的横坐标分别为、、，若△ABC的面积为S，求函数的值域.      【例11】使成立的的取值范围是           。【例12】上恒有成立，则实数的取值范围            【例13】设定义域为R的函数，则关于的方程有7个不同实数解的充要条件是（  ）A．且B．且C．且D．且 【巩固训练】1．画出下列函数的大致图像（1） （2）   2．求函数的值域。        3．已知函数，   （1）求的定义域；   （2）此函数的图象上是否存在两点，过这两点的直线平行于x轴？   （3）当a、b满足什么条件时恰在取正值.      三、对数函数与指数函数的关系抽象函数奇偶性的证明问题，往往需要对已知等式中的变量进行赋值，创造新的条件．【例15】函数y=的图像过点（9,2），求的值。    【例16】将y=2x的图像：（     ）再作关于y=x对称图像，可得到函数y=log2(x+1)的图像。（A）先向左平行移动1个单位      （B）先向右平行移动1个单位（C）先向上平行移动1个单位      （D）先向下平行移动1个单位【巩固训练】 1．函数y=f(x)满足；函数g(x)满足，且，，则函数F(x)的表达式可以是_____  四、对数函数与函数性质的综合应用【例21】（1）求函数y=lg(x+1)的值域。（2）求函数的值域。（3）函数值域为R，求实数a范围。          【例22】求函数的最值。    【例23】已知x满足不等式2(log2x)2-7log2x+30,求函数f(x)=log2的最大值和最小值。    【例24】解不等式    【例25】解不等式.    【例26】已知函数在区间上是增函数，求实数a的取值范围。         【巩固训练】1．若y=log(2-ax)在［0，1］上是x的减函数，则a的取值范围是                2．求函数的最小值。    4．求函数单调区间。    5．解不等式     反思总结    对数函数是在学习指数函数、对数基础上引入的。通过指数函数与对数的联系，掌握对数函数的概念、图像、性质并能应用，同时能够灵活解决对数函数和函数性质的综合题目、对数函数应用题；在解决问题中，通过数形结合，分类讨论等数学思想方法，发展逻辑思维能力，提高信息检查和整合能力课后练习一、选择题：1．对数式中，实数a的取值范围是  （    ）A． B．(2,5) C． D．  2．如果lgx=lga+3lgb－5lgc，那么   （    ）A．x=a+3b－c B．  C．     D．x=a+b3－c33．设函数y=lg(x2－5x)的定义域为M，函数y=lg(x－5)+lgx的定义域为N，则 （    ）A．M∪N=R B．M=N  C．MN  D．MN 4．若a＞0，b＞0，ab＞1，=ln2，则logab与的关系是 （    ）A．logab＜     B．logab=C． logab＞ D．logab≤5．若函数log2(kx2+4kx+3)的定义域为R，则k的取值范围是  （    ）A．  B． C．  D．6．北京市为成功举办2008年奥运会，决定从2003年到2007年五年间更新市内现有的全部出租车，若每年更新的车辆数比前一年递增10%，则2003年底更新现有总车辆数的(参考数据：1．14=1．46，1．1­5=1．61)                                          (     )A．10%         B．16．4%          C．16．8%         D．20% 7．下列关系式中，成立的是   （    ）A． B． C．    D．二、填空题：8．函数的定义域是     ，值域是       .9.方程log2(2x+1)log2(2x+1+2)=2的解为            .10.将函数的图象向左平移一个单位，得到图象C1，再将C1向上平移一个单位得到图象C2，作出C2关于直线y=x对称的图象C3，则C3的解析式为       .三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(共76分).11．已知函数.(1)求函数f (x)的定义域；(2)求函数f (x)的值域.     12．设x，y，z∈R+，且3x=4y=6z.(1)求证：;  (2)比较3x，4y，6z的大小.    13．现有某种细胞100个，其中有占总数的细胞每小时分裂一次，即由1个细胞分裂成2个细胞，按这种规律发展下去，经过多少小时，细胞总数可以超过个？（参考数据：）.         14．如图，A，B，C为函数的图象上的三点，它们的横坐标分别是t, t+2, t+4(t1). (1)设ABC的面积为S 求S=f (t)  ； (2)判断函数S=f (t)的单调性； (3) 求S=f (t)的最大值.       15．已求函数的单调区间.