专题14 函数-2021-2022学年新教材高一数学秋季辅导讲义（沪教2020）

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专题14 函数
（函数的概念，函数的表示方法）
知识梳理

一、 函数的概念
1. 函数定义：
定义一：如果在某个变化过程中有两个变量，，对于在某个范围内的每一个确定的值按照某种对应法则， 都有唯一的值与它对应，那么就是的函数，记作，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，和的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．
定义二：非空数集到非空数集的一个对应关系：，使中每一个元素在中都有唯一确定的元素和它对应，那么对应关系：叫做到的函数，记作，其中，，叫做自变量，的取值范围叫做函数的定义域，和的值相对应的的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域．（一般有）
注意：1、函数定义中要求对定义域中的任何一个，在值域中有且只有一个值和它对应；但并不要求对于值域中的每一个也只能有一个和它相对应，即函数的对应法则可以是1对1，也可以多对1，但不可以1对多（即定义域中一个对应值域中一个以上的）．
2、定义域与值域都必须是非空数集．
3、定义域的表示方法有：集合表示法、区间表示法
2.函数的三要素： 定义域 、 值域 和 对应关系 .
确定函数定义域的方法：
（1）关系式为整式时，函数定义域为全体实数；
（2）关系式含有分式时，分式的分母不等于零；
（3）关系式含有二次根式时，被开放方数大于等于零；
（4）关系式中含有指数为零的式子时，底数不等于零；
（5）实际问题中，函数定义域还要和实际情况相符合，使之有意义。
3.相等函数：如果两个函数的 定义域 和 对应关系 完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.
注：若两个函数的定义域与值域相同，是否为相等函数？
（不一定。如果函数和,其定义域与值域完全相同，但不是相等函数，看两个函数是否相等，关键是看定义域和对应关系）
4.函数的表示法：
表示函数的常用方法有： 解析法 、 图象法 、 列表法 .
函数解析式的求法主要包含： 配凑法 、 待定系数法 、 换元法 、 赋值法（方程组法） .
5.函数的定义域、值域：
在函数,中，叫做自变量，的取值范围叫做函数的 定义域 ；与的值相对应的值叫做函数值，函数值的集合{|}叫做函数的 值域 .
（1）函数的定义域包含三种形式：
①自然型：指函数的解析式有意义的自变量x的取值范围（如：分式函数的分母不为零，偶次根式函数的被开方数为非负数，对数函数的真数为正数，等等）；
②限制型：指命题的条件或人为对自变量的限制，这是函数学习中重点，往往也是难点，因为有时这种限制比较隐蔽，容易犯错误；
③实际型：解决函数的综合问题与应用问题时，应认真考察自变量的实际意义。
（2）求抽象函数的定义域的时候，注意定义域指的是自变量的取值范围，注意等量关系是括号内的取值范围保持恒等不变
（2）常见简单函数的值域求法：
①配方法（将函数转化为二次函数）；②判别式法（将函数转化为二次方程）；③不等式法，主要运用于分式函数（运用不等式的各种性质）；④数形结合法（将函数的值域问题转化为画函数图像）。
6.分段函数
若函数在其定义域的不同子集上，因对应法则不同而分别用几个不同的式子来表示，这种函数称为分段函数。
分段函数的定义域等于各段函数的定义域的并集，其值域等于各段函数的值域的并集，分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是个函数。
二、 函数关系的建立
建立变量间的函数关系大致上应分为两个基本步骤，第一，是确定其中的自变量和因变量；第二，则是依据现实世界的客观规律抽象概括出因变量与自变量之间的关系并根据实际背景确定函数的定义域.

三、 函数的运算
函数的和：设函数，，则
称为函数与的和；其中。
函数的积：设函数，，则称为函数与的积，其中。
在高中数学学习中，我们常常会碰到形如的函数，我们称这样的函数为“耐克函数”，它是正比例函数与反比例函数的和函数，一种类似于反比例函数的重要的函数之一，它的性质及图像有十分鲜明的特征和规律，其图像形如两个中心对称的对勾，故又名对号函数、对勾函数，在实际问题中有着广泛的应用．
耐克函数的一般形式是：
定义域是:
值域是：
当时， ,有最小值；
当时，,有最大值
一、 函数的概念
【例1】下列图像中，是函数图像的是（ ）
y
y
y
y
O
O
O
O
X
X
X
X

① ② ③ ④
【难度】★
【答案】①③

【例2】下列式子能确定y是x的函数的有（ ）
①=2 ② ③y=
A、0个 B、1个 C、2个 D、3个
【难度】★★
【答案】B

【例3】已知函数y=f（x），则对于直线x=a（a为常数），以下说法正确的是（ ）
A. y=f（x）图像与直线x=a必有一个交点 B.y=f（x）图像与直线x=a没有交点
C.y=f（x）图像与直线x=a最少有一个交点 D.y=f（x）图像与直线x=a最多有一个交点
【难度】★★
【答案】D


【例4】下列各组函数中，哪一组是同一函数：
（1）与； （2）与；
（3）与； （4）与
（5）与； （6）与
（7）与； （8）与
【难度】★
【答案】（4）；（6）；（8）
【例5】设，，下面图像所示的与的对应关系哪一个是到的函数关系（ ）
O
–1
1
1


O
–1
1
1
–1


1
3
1
O

–1


1
–1
1
O






【难度】★
【答案】D
【例6】作出下列函数的图象：
(1) ； (2) ；
【难度】★★★
【答案】



【例7】若函数，则
【难度】★★
【答案】

【例8】求下列函数的定义域：
⑴ ⑵

⑶ (4)=


(5) （6）=
【难度】★★
【答案】（1） （2） （3）
(4)(5)(6)
【例9】（1）已知函数的定义域为，求函数的定义域为


（2）若函数的定义域为，则函数的定义域是 ；函数的定义域为 。
【难度】★★
【答案】（1）；（2）
【例10】周长为定值的扇形，它的面积是这个扇形半径的函数，则函数定义域为 。
【难度】★★【答案】
【例11】函数＝的定义域为，则的取值范围是
【难度】★★【答案】
【例12】已知，若的图像关于平面上任意一条直线对称所得的图像，仍然是一个函数的图像，则_____．
【难度】★★★【答案】-2
【巩固训练】
1．下列曲线中，可以表示函数的图像的是（ ）
O


O



O





O



【难度】★
【答案】D

2、设集合M＝{x|0≤x≤2}，N＝{y|0≤y≤2}，那么下面的4个图形中，能表示集合M到集合N的函数关系的有(　　)







A．①②③④ B．①②③ C．②③ D．②
【难度】★
【答案】C
3．已知函数，那么＝____
【难度】★★【答案】


4．若函数的定义域为，则函数的定义域是
【难度】★★【答案】

5．已知函数f（x）=的定义域是，则实数的取值范围是
【难度】★★【答案】


6．已知函数若则实数的取值范围是
【难度】★★【答案】


7．定义符号函数，求不等式的解集
【难度】★★★
【答案】分类讨论（1）当x>0，原不等式等价于
（2）当x=0，原不等式恒成立
（3）当x