第03讲 向量基本定理与向量方法(知识与方法构建)-2022年春季高一数学辅导讲义（苏教版2019必修第二册）练习题

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一、向量基本定理
向量基本定理是坐标表示向量的理论依据．我们在“第一讲：向量的概念与表示”中即由自由向量可任意平移引出了向量的坐标表示，这样做基于以下考虑：
(1)向量是数与形的结合体，有向线段是向量“形”的一面，坐标是向量“数”的一面，在向量第一讲即引入坐标表示，并且在之后学习向量的过程中始终数形相伴，可以使学生更深刻的体会向量数形兼备的特质．
(2)由向量基本定理引入坐标表示较为抽象，不易理解和接受．在已有的代数与几何知识基础上，由自由向量可任意平移引出向量的坐标表示，学生理解和接受起来更加自然．在已经熟悉了向量的坐标形式之后，学生再理解向量基本定理是向量坐标表示的理论依据，则是水到渠成的事了．
(一)例题
【例1】(2020秋•山西期末)在平行四边形ABCD中，E，F分别满足BE→=13BC→，DF→=12DC→，则AF→=( )
A．58BD→+98AE→；B．58BD→+12AE→；C．14BD→+34AE→；D．BD→+14AE→
【答案】A．
【解析】选取BC→=a→，BA→=b→为基底表示各向量．
BD→=a→+b→，AE→=BE→-BA→=13a→-b→，AF→=AD→+DF→=a→-12b→．
设AF→=xBD→+yAE→，即a→-12b→=xa→+b→+y13a→-b→，得x+y3-1a→+x-y+12b→=0→，
故x+y3-1=0x-y+12=0，解得x=58y=98．
*【例2】(2020秋•新泰市校级期中)设O﹣ABC是正三棱锥，G1是△ABC的重心，G是OG1上的一点，且OG=3GG1，若OG→=xOA→+yOB→+zOC→，则x+y+z=( )
A．14；B．12；C．34；D．1
【答案】C．
【解析】如图所示，取BC的中点E，连接AE，因为OG=3GG1，所以
OG→=34OG1→=34(OA→+AG1→)=34OA→+34×23AE→=34OA→+12AE→=34OA→+12×12AB→+AC→
=34OA→+14(OB→-OA→+OC→-OA→)=14(OA→+OB→+OC→)，所以x+y+z=3×14=34．
(二)练习
1．(2020秋•连云港月考)平行四边形ABCD中，M为CD的中点，点N满足BN→=2NC→，若AB→=λAM→+μAN→，则λ+μ的值是( )
A．4；B．2；C．14；D．12
【答案】D．
【解析】选取AB→=a→，AD→=b→为基底表示各向量．
AM→=AD→+DM→=b→+12a→，AN→=AB→+BN→=a→+23b→．AB→=λAM→+μAN→，则
a→=λb→+12a→+μa→+23b→，得λ2+μ-1a→+λ+2μ3b→=0→，故λ2+μ-1=0λ+2μ3=0，解得λ=-1μ=32．
2．(2020秋•兴庆区校级月考)在边长为2的正方形ABCD中，E为CD的中点，AE交BD于F．若AF→=2xAB→+3yAD→，则x+y=( )
A．1；B．718；C．-13；D．-59
【答案】B．
【解析】因为F在线段AE上，则可设AF→=λAE→，所以
AF→=λ(AD→+DE→)=λ(AD→+12AB→)=12λAB→+λAD→，又AF→=2xAB→+3yAD→，
所以2x=12λ3y=λ，则4x=3y…①又B，F，D三点共线，则2x+3y=1…②
联立①②解得x=16，y=29，所以x+y=718．
*3．(2019秋•金凤区校级期末)已知向量{a→，b→，c→}是空间的一组基底，则下列可以构成基底的一组向量是( )
A．a→+b→，a→，a→-b→；B．a→+b→，b→，a→-b→；
C．a→+b→，c→，a→-b→；D．a→+b→，2a→-b→，a→-b→
【答案】C．
【解析】向量a→，b→，c→是空间的一组基底．
对于A，(a→+b→)+(a→-b→)=2a→与a→共线，故选项A错误．
对于B，(a→+b→)﹣(a→-b→)=2b→与b→共线，故选项B错误．
对于C，c→和a→+b→与a→-b→不共线向量，所以可以作为基底，故选项C正确．
对于D，2a→-b→=12(a→+b→)+32(a→-b→)，所以不可以作为向量的基底，故选项D错误．
*4．(2020秋•武清区校级月考)如图，在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，M在AC上，且AM=12MC，N在A1D上，且A1N=2ND．设AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，则MN→=( )
A．-13a→+13b→+13c→；B．a→+13b→-13c→；C．13a→-13b→-23c→；D．-13a→+b→+13c→
【答案】A．
【解析】∵M在AC上，且AM=12MC，N在A1D上，且A1N=2ND，∴AM→=13AC→，A1N→=23A1D→．
在平行六面体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB→=a→，AD→=b→，AA1→=c→，
所以AC→=a→+b→，A1D→=b→-c→，所以
MN→=MA→+AA1→+A1N→=-13AC→+AA1→+23A1D→=-13a→+b→+c→+23b→-c→=-13a→+13b→+13c→．
二、向量基本方法
(一)例题
【例3】(2018•天津)在如图的平面图形中，已知OM＝1，ON＝2，∠MON＝120°，BM→=2MA→，CN→=2NA→，则BC→⋅OM→的值为( )
A．﹣15；B．﹣9；C．﹣6；D．0
【答案】C．
【解析】BC→=3MN→=3ON→-OM→，∴BC→⋅OM→=3ON→-OM→·OM→=-6．
【变式】(2020秋•烟台期末)如图所示，平面向量OA→，OB→的夹角为60°，|OB→|=2|OA→|=2，点P关于点A的对称点Q，点Q关于点B的对称点为点R，则|PR→|为( )
A．3；B．23；C．4；D．无法确定
【答案】B．
【解析】根据题意，AB→=OB→-OA→，而向量OA→，OB→的夹角为60°，|OB→|=2|OA→|=2，
则|AB→|＝|OB→-OA→|=OA→2+OB→2-2OB→⋅OA→=4+1-2=3，
又由点P关于点A的对称点Q，点Q关于点B的对称点为点R，
则A是PQ的中点，B是RQ的中点，则|PR→|=2|AB→|＝23．
【例4】(2020秋•运城期末)在平行四边形ABCD中，A=π3，AB＝3，BC＝2，若EC→+3ED→=0→，则BE→⋅AC→=( )
A．4；B．﹣2；C．274；D．-54
【答案】B．
【解析】法一：如下左图，选取AB→=a→，AD→=b→为基底表示各向量．
则BE→=BC→+CE→=b→-34a→，且AC→=a→+b→，
∴BE→⋅AC→=b→-34a→⋅a→+b→=b→2-34a→2+14a→⋅b→=-2．

法二：如上右图，建系．则A0，0，B3，0，C4，3，D1，3，E2，3，
∴BE→=-1，3，AC→=4，3，∴BE→⋅AC→=-2．
【变式1】(2014•江苏)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB=8，AD=5，CP→=3PD→，AP→⋅BP→=2，则AB→⋅AD→的值是 ．

【答案】22．
【解析】法一：如图，选取AB→=a→，AD→=b→为基底表示各向量．
则AP→=AD→+DP→=b→+14a→，BP→=BC→+CP→=b→-34a→，
∴AP→⋅BP→=b→+14a→⋅b→-34a→=b→2-316a→2-12a→⋅b→=25-13-12AB→⋅AD→=2，得AB→⋅AD→=22．
法二：如图，建系．则A0，0，B8，0，设Dx，y，则Px+2，y．
则x+2，y·x-6，y=2x2+y2=25 ，解得x=114，∴AB→⋅AD→=8，0·x，y=8x=22．
法三：设∠BAD=α，则D5csα，5sinα，则P5csα+2，5sinα．
AP→⋅BP→=5csα+2，5sinα⋅5csα-6，5sinα=13-20csα=2，得csα=1120，
∴AB→⋅AD→=22．
【变式2】(2016•江苏)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，BA→•CA→=4，BF→•CF→=﹣1，则BE→•CE→的值是 ．

【答案】78．
【解析】法一：如图，选取DC→=a→，DF→=b→为基底表示各向量，设DC→=a，DF→=b．
则BA→=a→+3b→，CA→=-a→+3b→，BF→=a→+b→，CF→=-a→+b→，BE→=a→+2b→，CE→=-a→+2b→．
BA→•CA→=a→+3b→·-a→+3b→=-a2+9b2=4BF→•CF→=a→+b→·-a→+b→=-a2+b2=-1 ，得a2=-138b2=58 ，
∴BE→•CE→=a→+2b→·-a→+2b→=-a2+4b2=78．
法二：如图，建系．设B-a，0，Ca，0，设∠ADC=α，设A3bcsα，3bsinα，
则E2bcsα，2bsinα，Fbcsα，bsinα．
则BA→=3bcsα+a，3bsinα，CA→=3bcsα-a，3bsinα，BF→=bcsα+a，bsinα，
CF→=bcsα+a，bsinα，BE→=2bcsα+a，2bsinα，CE→=2bcsα+a，2bsinα．
BA→•CA→=3bcsα+a，3bsinα·3bcsα-a，3bsinα=-a2+9b2=4BF→•CF→=bcsα+a，bsinα·bcsα+a，bsinα=-a2+b2=-1，得a2=-138b2=58 ，
∴BE→•CE→=2bcsα+a，2bsinα·2bcsα+a，2bsinα=-a2+4b2=78．
【变式3】(2020秋•阳泉期末)如图，AB是单位圆O的直径，且满足AC＝CD＝DB，则AC→⋅AD→=( )
A．1；B．32；C．32；D．3
【答案】B．
【解析】如图，A-1，0，B1，0，C-12，32，D12，32．则AC→=12，32，AD→=32，32．
∴AC→⋅AD→=32．
【例5】(2020秋•安顺期末)△ABC中，AB→⊥AC→，M是BC中点，O是线段AM上任意一点，且|AB→|=|AC→|=2，则OA→⋅OB→+OA→⋅OC→的最小值为( )
A．﹣2；B．2；C．﹣1；D．1
【答案】C．
【解析】因为△ABC中，AB→⊥AC→，|AB→|=|AC→|=2，所以△ABC为等腰直角三角形，且M是BC中点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A(0，0)，B(2，0)，C(0，2)，M(1，1)．
又O是线段AM上任意一点，设O(x，x)，0≤x≤1，
所以OA→=(-x，-x)，OB→=(2-x，-x)，OC→=(-x，2-x)，
故OA→⋅OB→+OA→⋅OC→＝(﹣x，﹣x)•(2﹣x，﹣x)+(﹣x，﹣x)•(﹣x，2﹣x)＝4x2﹣4x=4(x-12)2-1，
所以当x=12时，OA→⋅OB→+OA→⋅OC→的最小值为﹣1．
【变式】(2020秋•运城期末)已知△ABC中，AB＝AC＝2，∠CAB＝120°，若P是其内一点，则AP→⋅AB→的取值范围是( )
A．(﹣4，﹣2)；B．(﹣2，0)；C．(﹣2，4)；D．(0，2)
【答案】C．
【解析】建立如图所示的平面直角坐标系，因为AB＝AC＝2，∠CAB＝120°，
则A(0，0)，B(-3，-1)，设P(x，y)，则-3＜x＜3，-1＜y＜0，
AB→=(-3，-1)，AP→=(x，y)，故AB→⋅AP→=-3x-y，
故当-3×3-(-1)＜-3x-y＜-3×(-3)-(-1)=4，故-2＜-3x-y＜4，
所以AP→⋅AB→的取值范围是(﹣2，4)．
【例6】(2020秋•如皋市期末)如图，在四边形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O．已知AC＝BC，AC⊥BC，AD⊥BD，且O是AC的中点，若AD→⋅AB→-CD→⋅CB→=2，则AC→⋅BD→的值为 ．
【答案】﹣3．
【解析】如图，建系，则C(0，0)，设A(a，0)，则B(0，a)，O(a2，0)，设D(m，n)．
则BD→=m，n-a，BO→=a2，-a，AD→=m-a，n，AB→=-a，a，CD→=m，n，
CB→=(0，a)，AC→=-a，0．依题意，m·-a=n-a·a2m·m-a+n-a·n=0m-a·-a+n·a-m·0+n·a=2，整理得
a=2m+nm2+n2=m+naaa-m=2，消掉a得mm+3n=02m+nm+n=2，m≠0，n<0，解得m=35n=-15a=55，
∴AC→⋅BD→=-a，0·m，n-a=-ma=-3．
(二)练习
5．(2021•山东模拟)如图，▱ABCD中，∠DAB＝60°，AD＝2AB＝2，延长AB至点E，且AB＝BE，则AC→•ED→的值为( )
A．﹣1；B．﹣3；C．1；D．23
【答案】C．
【解析】选取AB→，AD→为基底表示各向量．AC→=AB→+AD→，ED→=AD→-AE→=AD→-2AB→，
所以AC→•ED→=(AB→+AD→)•(AD→-2AB→)=AB→⋅AD→-2AB→2+AD→2-2AB→⋅AD→=1．
6．(2020秋•南开区期末)如图，在边长1为正方形ABCD中，M，N分别是BC，CD的中点，则AM→•AC→= 32 ，若AC→=λAM→+μBN→，则λ+μ＝ ．
【答案】32，85．
【解析】以点A为原点，边AB所在的直线为x轴，建立如图所示的平面直角坐标系，则：
A(0，0)，B(1，0)，C(1，1)，M(1，12)，N(12，1)，∴AM→=(1，12)，AC→=(1，1)，BN→=(-12，1)，
∴AM→⋅AC→=1+12=32，AC→=λAM→+μBN→=λ(1，12)+μ(-12，1)=(λ-μ2，μ+λ2)=(1，1)，
∴λ-μ2=1μ+λ2=1，解得λ=65μ=25，∴λ+μ=85．
7．(2021•郑州一模)设a→，b→为单位向量，且|a→-b→|＝1，则|a→+2b→|＝( )
A．3；B．3；C．7；D．7
【答案】D．
【解析】如图，a→=1，0，b→=12，32，∴a→+2b→=2，3=7．
8．(2021•八模拟)在△ABC中，AB＝2，AC=7，∠ABC=π3，AD⊥BC于D点，E为AC的中点，BE与AD交于点P，则AP→=( )
A．12AB→+14AC→；B．14AB→+14AC→；C．14AB→+12AC→；D．12AB→+12AC→
【答案】A．
【解析】如图，B0，0，A1，3，D1，0．设Ca，0，则Ea+12，32，设P1，m．
AB→=-1，-3，AC→=a-1，-3．
由a-12+-32=7，得a=3，∴C3，0，E2，32，AC→=2，-3．
由BP→∥BE→，即1×32=m×2，得m=34，∴P为BE中点，∴AP→=12AB→+12AE→=12AB→+14AC→.
9．(2021•山东模拟)△ABC中，∠A＝60°，AB＝3，AC＝4，AP→=12AB→+λAC→，且AP→⊥BC→，则实数λ的值为( )
A．-35；B．203；C．-53；D．320
【答案】D．
【解析】如图，A0，0，B32，332，C4，0，BC→=52，-332．
取AB中点M34，334，依题意，设Pm，334．
由m，334·52，-332=0，得m=2720，∴λ=2720-344=320．
10．(2020秋•淄博期末)如图所示，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，点F是侧面CDD1C1的中心，若AF→=xAD→+yAB→+zAA1→，求x+y+z＝( )
A．1；B．32；C．2；D．52
【答案】C．
【解析】设棱长为1，如图，F12，1，12，故AF→=12，1，12，故x+y+z＝2．
附：例题、练习答案
一、例题
【例1】A；*【例2】C；【例3】C；【变式】B；【例4】B；【变式1】22；【变式2】78；【变式3】B；【例5】C；【变式】C；【例6】-3．
二、练习
1．D；2．B；*3．C；*4．A；5．C；6．85；7．D；8．A；9．D；10．C．