第四讲 向量综合(知识与方法构建)

一、平面向量与三角函数求值

(一)例题

(2020秋•会宁县校级月考)已知向量(4sinα，1﹣cosα)，(1，﹣2)，若2，则(　　)

A．1；B．﹣1；C．；D．

(2020春•大连期末)已知向量，tanα)，(1，cosα)，若⊥，则cos(α)=(　　)

A．；B．；C．；D．

(2020•青岛模拟)已知向量(1+cosx，2)，(sinx，1)，x∈(0，)，若∥，则sinx=(　　)

A．；B．；C．；D．

(二)练习

1．(2019秋•碑林区校级期末)已知向量(cosα，3)，(sinα，﹣4)，，则的值是(　　)

A．；B．﹣2；C．；D．

2．(2020秋•宁县校级期末)在△ABC中，设角A、B、C的对边分别为a、b、c，若(cosC，2a﹣c)，(b，﹣cosB)，且⊥，则角B=______．

二、两个模型的应用

善用模型，结合几何关系的分析，可使问题大为简化，并可避免复杂的运算求解过程．

1．比例分点模型

在题目中通常以两种方式出现：

(1)由给出的比例分点，得出向量的线性运算关系，通常是比较直接的问题，直接套用模型；

(2)由给出的向量线性运算关系，寻找三点共线，通常需要经过转化适用模型．

2．投影模型

有模长，有垂直，可提供建系依据．

(一)例题

(2020春•丽水期末)如图，在△ABC中，3，E是BD上一点，若t，则实数t的值为(　　)

A．；B．；C．；D．

(2019秋•天河区校级期末)如下左图所示，在△ABC中，D、E分别为线段BC、AC上的两点，且|BD|=|DC|，，，则的值为(　　)

A．；B．；C．；D．

(2020秋•会昌县月考)如上右图，在平行四边形ABCD中，E为BC的中点，F为DE的中点，若xy，则x，y是(　　)

A．，；B．，；C．，；D．，

(2020·江苏一模)已知是的垂心(三角形三条高所在直线的交点)，，则的值为______．

【变式4】(2019•江苏)如图，在△ABC中，D是BC的中点，E在边AB上，BE＝2EA，AD与CE交于点O．若•6•，则的值是______．

(2020·江苏二模)在中，为定长，．若的面积的最大值为2，则边的长为______．

(2020秋•长宁区期末)在△ABC中，AB=3，AC=2，点D在边BC上．若1，，则的值为______．

(2018•莆田二模)如图所示，在平行四边形ABCD中，AP⊥BD，垂足为P，且AP=1，则•______．

(2018·江苏二模)如图，扇形AOB的圆心角为90°，半径为1，点P是圆弧上的动点，作点P关于弦AB的对称点Q，则的取值范围为______．

(2020秋•沙河口区校级期中)已知圆O的半径是2，点P是圆O内部一点(不包括边界)，点A是圆O圆周上一点，且2，则的最小值为(　　)

A．；B．4；C．；D．

(2020秋•金山区期末)在直角三角形ABC中，AB=5，AC=12，BC=13，点M是△ABC外接圆上的任意一点，则•的最大值是______．

(2019秋•鼓楼区校级期末)如图，圆O是边长为2的正方形ABCD的内切圆，△PQR是圆O的内接正三角形，若△PQR绕着圆心O旋转，则的最大值是(　　)

A．；B．；C．；D．

(2020•山东)已知P是边长为2的正六边形ABCDEF内的一点，则•的取值范围是(　　)

A．(﹣2，6)；B．(﹣6，2)；C．(﹣2，4)；D．(﹣4，6)

(2019•江苏一模)在平面四边形ABCD中，AB=1，DA=DB，3，2，则的最小值为______．

【变式1】(2020春•沙坪坝区校级月考)如图，AD为△ABC的外接圆的直径，若BC=2，且，则(　　)

A．2；B．；C．1；D．

【变式2】(2018•上海)已知A、B为平面上的两个定点，且||=2，该平面上的动线段PQ的端点P、Q，满足||≤5，6，2，则动线段PQ所形成图形的面积为(　　)

A．36；B．60；C．72；D．108

【例9】(2020春•新洲区校级月考)如图，O为△ABC的外心，，，∠BAC为钝角，M是边BC的中点，则•等于(　　)

A．2；B．3；C．4；D．5

【变式】(2020秋·百强名校月考)已知O是△ABC的外心，2，则(　　)

A．；B．6；C．；D．

(二)练习

3．(2020秋•常州期末)在四边形ABCD中，AB＝8，若，则______．

4．(2020秋•辽宁月考)在平面四边形ABCD中，||=2，||，23，若••，则向量与夹角的余弦值为(　　)

A．；B．；C．；D．

三、最值问题

1．由比例分点模型提供条件的最值问题

以比例分点模型中系数和为定值1为条件，通常可转化为基本不等式问题进行最值求解．

2．二次函数型的最值问题

通过向量运算转化为二次函数型的最值问题，通常借由配方法寻找最值和取得最值的条件．

3．三角函数型的最值问题

通过向量运算转化为三角函数型的最值问题．

(一)例题

【例10】(2020春•庐江县期末)如图，在△ABC中，，E为线段AD上的动点，且x，则的最小值为(　　)

A．16；B．15；C．12；D．10

【变式】(2020秋•怀仁市期末)在△ABC中，已知•9，b=c•cosA，△ABC的面积为6，若P为线段AB上的点(点P不与点A，点B重合)，且x•y•，则的最小值为(　　)

A．9；B．；C．；D．

【例11】(2020秋•珠海月考)已知P是边长为1的正方形ABCD边上或正方形内的一点，则的取值范围是______．

【变式】(2020秋•益阳期末)在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝135°，M是△ABC所在平面上的动点，则w•••的最小值为______．

【例12】(2020秋•泰州期末)已知向量，，则△ABC的面积最大值为(　　)

A．；B．；C．；D．1

【变式】(2020秋•温州期末)已知平面单位向量，满足．设向量与向量的夹角为θ，则cosθ的最大值为______．

(二)练习

5．(2020春•道里区校级期末)已知A，B，C为直线l上的不同三点，O为l外一点，存在实数m，n(m>0，n>0)，使得9m4n成立，则的最小值为(　　)

A．36；B．72；C．144；D．169

6．(2020秋•天心区校级月考)若平面向量，满足||＝||•2，则对于任意实数λ，|λ(1﹣λ)|的最小值是(　　)

A．；B．；C．2；D．1

7．(2020秋•清江浦区校级月考)已知正方形ABCD的内切圆的半径为1，点M是圆上的一动点，则•的取值范围是(　　)

A．[﹣1，0]；B．[﹣1，3]；C．[0，3]；D．[﹣1，4]