专题06 第二章 复习与检测（知识精讲） 高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）学案

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专题六  第二章 复习与检测 知识精讲一 知识结构图内  容考点关注点 不等式的性质基本不等式一元二次不等式的解法不等式的性质灵活运用基本不等式 一正二定三相等解一元二次不等式二次函数开口方向、两根的大小不等式的恒成立求函数的最值 二.学法指导1.不等式真假的判断，要依靠其适用范围和条件来确定，举反例是判断命题为假的一个好方法，用特例法验证时要注意，适合的不一定对，不适合的一定错，故特例只能否定选择项。2. 基本不等式的主要应用是求函数的最值或范围，既适用于一个变量的情况，也适用于两个变量的情况.基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能.解答此类问题关键是创设应用不等式的条件，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技巧，而拆与凑的目的在于使等号能够成立.3．解一元二次不等式时，要注意数形结合，充分利用对应的二次函数图像、一元二次方程的解的关系.如果含有参数，则需按一定的标准对参数进行分类讨论.4.对于恒成立不等式求参数范围问题常见类型及解法有以下两种：1变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.2转化法求参数范围三.知识点贯通知识点1   不等式的性质不等式的基本性质(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇒a＞c.(3)可加性：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)可乘性：a＞b，c＞0⇒ac＞bc；a＞b，c＜0⇒ac＜bc.(5)加法法则：a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.(6)乘法法则：a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.(7)乘方法则：a＞b＞0⇒an＞bn＞0(n∈N，n≥2)．例1.如果a，b，c满足c＜b＜a且ac＜0，则以下列选项中不一定成立的是(　　)A．ab＞ac　　 B．c(b－a)＞0C．cb2＜ab2   D．ac(a－c)＜0【答案】C【解析】c＜b＜a，ac＜0⇒a＞0，c＜0.对于A：⇒ab＞ac，A正确．对于B：⇒c·(b－a)＞0，B正确．对于C：⇒cb2≤ab2cb2＜ab2，C错，即C不一定成立．对于D：ac＜0，a－c＞0⇒ac(a－c)＜0，D正确，故选C.知识点二   基本不等式1.重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．2.基本不等式当a，b是任意正实数时，a，b的几何平均数不大于它们的算术平均数，即≤，当且仅当a＝b时，等号成立．3.已知x、y都是正数，(1)若x＋y＝S(和为定值)，则当x＝y时，积xy取得最大值.(2)若xy＝p(积为定值)，则当x＝y时，和x＋y取得最小值2.上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大．例题2：设x<－1，求y＝的最大值．【答案】1【解析】　∵x<－1，∴x＋1<0.∴－(x＋1)>0，∴y＝＝＝＝(x＋1)＋＋5＝－＋5≤－2＋5＝1，当(x＋1)2＝4，即x＝－3时取“＝”．知识点三 一元二次不等式的解法1.三个“二次”的关系设y＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式y＞0或y＜0的步骤求方程y＝0的解有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－没有实数根函数y＝ax2＋bx＋c(a＞0)的图象不等式解集y＞0{x|x＜x1_或x＞x2}Ry＜0{x|x1＜x＜x2}∅∅例题3 .解关于x的不等式：x2＋(1－a)x－a＜0.【解析】　方程x2＋(1－a)x－a＝0的解为x1＝－1，x2＝a.函数y＝x2＋(1－a)x－a的图象开口向上，所以(1)当a＜－1时，原不等式解集为{x|a＜x＜－1}；(2)当a＝－1时，原不等式解集为∅；(3)当a＞－1时，原不等式解集为{x|－1＜x＜a}．知识点四  不等式的恒成立1.对于不等式恒成立求参数范围问题常见类型及解法有以下两种：1变更主元法根据实际情况的需要确定合适的主元，一般知道取值范围的变量要看作主元.2转化法求参数范围2.已知二次函数y＝ax2＋bx＋c的函数值的集合为B＝{y|m≤y≤n}，则1y≥k恒成立⇒ymin≥k即m≥k；2y≤k恒成立⇒ymax≤k即n≤k.例题4．若不等式ax2－2x＋2>0对于满足1<x<4的一切实数x恒成立，求实数a的取值范围．【解析】　∵1<x<4，∴不等式ax2－2x＋2>0可化为a>.令y＝，且1<x<4，则y＝＝－22＋≤，当且仅当＝，即x＝2时，函数y取得最大值，∴a>即为所求．五 易错点分析易错一  基本不等式求最值满足“一正二定三相等”。例题5.已知x<3，求f(x)＝＋x的最大值；【答案】-1【解析】∵x<3，∴x－3<0，∴f(x)＝＋x＝＋(x－3)＋3＝－＋3≤－2＋3＝－1，当且仅当＝3－x，即x＝1时取等号，∴f(x)的最大值为－1.误区警示
基本不等式求最值时，应满足“一正二定三相等”，不满足正值时，提取负号，转化为正值，不满足和定、积定时，将和或积凑成定值。易错二   解一元二次不等式时易忽略两根大小例题6.解关于x的不等式：ax2－2≥2x－ax(a<0)．【解析】　原不等式移项得ax2＋(a－2)x－2≥0，化简为(x＋1)(ax－2)≥0.∵a<0，∴(x＋1)≤0.当－2<a<0时，≤x≤－1；当a＝－2时，x＝－1；当a<－2时，－1≤x≤.综上所述，当－2<a<0时，解集为；当a＝－2时，解集为{x|x＝－1}；当a<－2时，解集为.错误区警示解一元二次不等式时，求出对应的一元二次方程的根后，两根大小不确定时，要讨论两根的大小，根据二次函数的图像写出不等式的解集。