专题13 第四章 复习与检测（核心素养练习） 高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）

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专题十三   第四章 复习与检测   核心素养练习 一、核心素养聚焦考点一 直观想象-对数函数的图象例题6.函数y＝1＋log(x－1)的图象一定经过点(　　)A．(1,1)   B．(1,0)C．(2,1)   D．(2,0)【答案】C　【解析】把y＝logx的图象向右平移1个单位，再向上平移1个单位即可得到y＝1＋log(x－1)的图象，故其经过点(2,1)．考点二   数学建模-指数函数模型的应用例题7.一种放射性元素，最初的质量为500 g，按每年10%衰减．(1)求t年后，这种放射性元素的质量w的表达式；(2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到0.1)．【解析】　(1)最初的质量为500 g.经过1年，w＝500(1－10%)＝500×0.9；经过2年，w＝500×0.92；由此推知，t年后，w＝500×0.9t.(2)由题意得500×0.9t＝250，即0．9t＝0.5，两边同时取以10为底的对数，得lg 0.9t＝lg 0.5，即tlg 0.9＝lg 0.5，所以t＝≈6.6.即这种放射性元素的半衰期约为6.6年．考点三  数学运算-对数运算例题8、设3x＝4y＝36，则＋的值为(　　)A．6 B．3C．2   D．1【答案】D　【解析】由3x＝4y＝36得x＝log336，y＝log436，∴＋＝2log363＋log364＝log369＋log364＝log3636＝1.二、学业质量测评一、选择题1．（2018·佛山市第四中学高一月考）根式的分数指数幂的形式为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】.故选：D.2．（2019·广西高一月考）若，则(　　)A． B．1 C． D．【答案】C【解析】依题意，.故选：C.3．（2019·河南高一月考）若，则（    ）A．2 B．2或0 C．0 D．或0【答案】C【解析】依题意，，，，或，，，，，（舍去），，．故选：C4．（2019·河南项城市第三高级中学高一月考）若，，且，b>0,则下列等式正确的是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】，故A错误；，故B错误；，故C错误．根据指数运算公式可知D选项正确.故选：D.5．（2018·佛山市三水区实验中学高一月考）已知指数函数的图像经过点，那么这个函数也必定经过点（     ）A． B． C． D．【答案】D【解析】设，且 即 因为 所以D正确故选：D6．（2019·湖南高三月考（文））设，，，则（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意，对数的运算公式，可得，，又由，所以，即，由指数函数的性质，可得，所以.故选：D.7．（2019·黑龙江大庆实验中学高一月考）已知恒为正数，则取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】A【解析】当时，是减函数，，则，解得；当时，是增函数，，则，解得，又，所以；综上取值范围是.故选：A8．（2019·河南高一月考）函数与函数在同一坐标系中的图象可能是（    ）A． B．C． D．【答案】D【解析】，则函数与函数单调性相反，排除选项B,C；再由可排除选项A，故选：D9．（2019·安徽高一月考）定义在上的奇函数满足：当时，，则函数的零点的个数是(    )A． B． C． D．【答案】C【解析】当时，，结合指数与对数函数的单调性可知，在上单调递增，（1），时，，则在上有唯一的零点，因为奇函数的图象关于原点对称，故当时也有唯一零点，且，综上可得，程的实根个数为3个.故选：C10．（2019·河北安平中学高一月考）函数的值域为R，则实数a的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】令，因为函数的值域为R，所以的值域包含．①当时，，值域，成立．②当时，要使的值域包含，则，解得综上所述：．故选：D．11．（2019·六盘水市第二中学高一月考）已知函数对任意的，，时都满足，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】因为对任意的，，满足，所以是减函数，所以在一定是增函数，所以在定义域上是减函数，所以，解得，即.故选：C. 12．（2019·临澧县第一中学高一月考）若二次函数在区间上不单调，则的取值范围是（  ）A． B． C． D．【答案】A【解析】二次函数的对称轴为，由于二次函数在区间上不单调，所以，而函数在上递增，所以，即.故选：A.二、填空题13．（2018·江西单元测试）函数f(x)＝ax－2 017＋2 017的图象一定过点P，则P点的坐标是________．【答案】(2017,2018).【解析】因为当，即时，，所以总在函数图象上，即定点的坐标为，故答案为．14．（2017·全国高一单元测试）若函数是奇函数，则a=______．【答案】【解析】为奇函数，且定义域为，则，。15．（2018·江西单元测试）若函数f(x)＝logax(a>0且a≠1)在区间[2，4]上的最大值与最小值之差为2，则a＝________．【答案】或.【解析】当时，，解得；当时，，解得，故的值为或，故答案为或.16．（2017·全国高一单元测试）已知函数f(x)＝logax＋x－b(a＞0，且a≠1)．当2＜a＜3＜b＜4时，函数f(x)的零点为x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n=       　.【答案】2【解析】设函数y=logax，m=﹣x+b根据2＜a＜3＜b＜4，对于函数y=logax 在x=2时，一定得到一个值小于1，而b-2>1，x=3时，对数值在1和2 之间，b-3<1在同一坐标系中画出两个函数的图象，判断两个函数的图形的交点在（2，3）之间，∴函数f（x）的零点x0∈（n，n+1）时，n=2．故答案为2. 三、解答题17．（2017·全国高一单元测试）计算：（1）；（2）.【答案】(1)  (2)【解析】（1）；（2）。18．（2018·江西单元测试）(1)解不等式：；(2)已知a－5x＞ax＋7(a＞0，且a≠1)，求x的取值范围．【答案】（1）{x|x≥0}．（2）当a＞1时，x＜－；当0＜a＜1时，x＞－.【解析】(1)因为，所以原不等式可以转化为因为y＝在R上是减函数，所以3x－1≥－1，所以x≥0.故原不等式的解集是{x|x≥0}．(2)当a＞1时，因为a－5x＞ax＋7，所以－5x＞x＋7，解得x＜－；当0＜a＜1时，因为a－5x＞ax＋7，所以－5x＜x＋7，解得x＞－.综上所述，x的取值范围是：当a＞1时，x＜－；当0＜a＜1时，x＞－.19．（2011·全国高一单元测试）求函数的单调区间．【答案】的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4）．【解析】由，得函数的定义域是（0，4）．令，则．，的单调减区间是［2，4］，增区间是（0，2）．又在上是减函数，函数的单调减区间是（0，2］，单调增区间是［2，4）．20．（2019·河南高一月考）设函数，．（1）若，求t的取值范围；（2）求的最值，并写出取最值时对应的x的值．【答案】（1）（2）时，；时，【解析】（1），，，即．（2），令，，则，当即，时，．当即时，．21．（2019·河北安平中学高一月考）已知指数函数（，且），为的反函数．（1）写出函数的解析式；（2）解关于x的不等式【答案】（1）且；（2）见解析【解析】（1）因为指数函数且，所以且．（2）由，得当时，因为函数在上单调递增，所以解得；当时，因为函数上单调递减，所以解得．综上所述，当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为．22．（2018·佛山市三水区实验中学高一月考）    据观测统计，某湿地公园某种珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加．(1)求两年后这种珍稀鸟类的大约个数；(2)写出（珍稀鸟类的个数）关于（经过的年数）的函数关系式；(3)约经过多少年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上？（结果为整数）(参考数据：，)【答案】（1）1166个；（2），（3）15年【解析】解：(1)依题意，一年后这种鸟类的个数为两年后这种鸟类的个数为(2)由题意可知珍稀鸟类的现有个数约只，并以平均每年的速度增加则所求的函数关系式为， (3)令，得：两边取常用对数得：，即考虑到，故，故因为所以 约经过15年以后，这种鸟类的个数达到现有个数的倍或以上