专题14 任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式（知识精讲） 高一数学新教材知识讲学（人教A版必修第一册）学案

专题十四  任意角与弧度制、三角函数的概念、诱导公式 知识精讲

一 知识结构图

二.学法指导

1.象限角的判定方法：

(1)在坐标系中画出相应的角，观察终边的位置，确定象限．

(2)第一步，将α写成α＝k·360°＋β(k∈Z,0°≤β<360°)的形式；

第二步，判断β的终边所在的象限；

第三步，根据β的终边所在的象限，即可确定α的终边所在的象限．

2. 所有与角α终边相同的角，连同角α在内可以用式子k·360°＋α，k∈Z表示，在运用时需注意以下四点：

(1)k是整数，这个条件不能漏掉．

(2)α是任意角．

(3)k·360°与α之间用“＋”连接，如k·360°－30°应看成k·360°＋(－30°)，k∈Z.

(4)终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同，终边相同的角有无数个，它们相差周角的整数倍．

3．角度制与弧度制互化的关键与方法

1关键：抓住互化公式π rad＝180°是关键；

2方法：度数×＝弧度数；弧度数×＝度数；

3角度化弧度时，应先将分、秒化成度，再化成弧度.

4.弧度制下解决扇形相关问题的步骤：

(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l＝|α|r，S＝αr2和S＝lr.(这里α必须是弧度制下的角)

(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式．

(3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解．

5.由角α终边上任意一点的坐标求其三角函数值的步骤：

(1)已知角α的终边在直线上时，常用的解题方法有以下两种：

①先利用直线与单位圆相交，求出交点坐标，然后再利用正、余弦函数的定义求出相应三角函数值．

②在α的终边上任选一点P(x，y)，P到原点的距离为r(r>0)．则sin α＝，cos α＝.已知α的终边求α的三角函数时，用这几个公式更方便．

(2)当角α的终边上点的坐标以参数形式给出时，一定注意对字母正、负的辨别，若正、负未定，则需分类讨论．

6.判断三角函数值在各象限符号的攻略：

1基础：准确确定三角函数值中各角所在象限；

2关键：准确记忆三角函数在各象限的符号；

3注意：用弧度制给出的角常常不写单位，不要误认为角度导致象限判断错误.

7、利用诱导公式一进行化简求值的步骤

1定形：将已知的任意角写成2kπ＋α的形式，其中α∈[0，2π，k∈Z.

2转化：根据诱导公式，转化为求角α的某个三角函数值.

（）求值：若角为特殊角，可直接求出该角的三角函数值.

8、利用同角三角函数的基本关系解决给值求值问题的方法：

1已知角α的某一种三角函数值，求角α的其余三角函数值，要注意公式的合理选择，一般是先选用平方关系，再用商数关系.

2若角α所在的象限已经确定，求另两种三角函数值时，只有一组结果；若角α所在的象限不确定，应分类讨论，一般有两组结果.

9、sin α＋cos α，sin α－cos α，sin αcos α三个式子中，已知其中一个，可以求其他两个，即“知一求二”，它们之间的关系是：(sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α.

10．已知tan α＝m，求关于sin α，cos α的齐次式的值

解决这类问题需注意以下两点：(1)一定是关于sin α，cos α的齐次式(或能化为齐次式)的三角函数式；(2)因为cos α≠0，所以可除以cos α，这样可将被求式化为关于tan α的表示式，然后代入tan α＝m的值，从而完成被求式的求值．

11、三角函数式化简的常用方法

1化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化简的目的. 

2对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的.

3对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造sin2α＋cos2α＝1，以降低函数次数，达到化简的目的.

12.证明恒等式常用的思路是：(1)从一边证到另一边，一般由繁到简；(2)左右开弓，即证左边、右边都等于第三者；(3)比较法(作差，作比法)．

13．技巧感悟：朝目标奔．常用的技巧有：(1)巧用“1”的代换；(2)化切为弦；(3)多项式运算技巧的应用(分解因式)．

14.利用诱导公式求任意角三角函数值的步骤

1“负化正”——用公式一或三来转化；

2“大化小”——用公式一将角化为0°到360°间的角；

3“小化锐”——用公式二或四将大于90°的角转化为锐角；

4“锐求值”——得到锐角的三角函数后求值.

15.解决条件求值问题的两技巧

1寻找差异：解决条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名及有关运算之间的差异及联系.

2转化：可以将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化.

三.知识点贯通

知识点1   角的有关概念的判断

任意角的分类

(1)按旋转方向分

(2)按角的终边位置分

①前提：角的顶点与原点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合．

②分类：

例1.　(1)给出下列说法：

①锐角都是第一象限角；②第一象限角一定不是负角；③小于180°的角是钝角、直角或锐角；④始边和终边重合的角是零角．

其中正确说法的序号为________(把正确说法的序号都写上)．

(2)已知角的顶点与坐标原点重合，始边与x轴的非负半轴重合，作出下列各角，并指出它们是第几象限角．

①420°.②855°.③－510°.

（1）【答案】①　

【解析】①锐角是大于0°且小于90°的角，终边落在第一象限，是第一象限角，所以①正确；

②－350°角是第一象限角，但它是负角，所以②错误；

③0°角是小于180°的角，但它既不是钝角，也不是直角或锐角，所以③错误；

④360°角的始边与终边重合，但它不是零角，所以④错误．]

（2）【解析】　作出各角的终边，如图所示：

由图可知：

①420°是第一象限角．

②855°是第二象限角．

③－510°是第三象限角．

知识点二   终边相同的角

所有与角α终边相同的角，连同角α在内，可构成一个集合S＝{β|β＝α＋k·360°，k∈Z}，

即任一与角α终边相同的角，都可以表示成角α与整数个周角的和．

例题2：写出与α＝－1 910°终边相同的角的集合，并把集合中适合不等式－720°≤β＜360°的元素β写出来．

【解析】　与α＝－1 910°终边相同的角的集合为

{β|β＝k·360°－1 910°，k∈Z}．

∵－720°≤β＜360°，即－720°≤k·360°－1 910°＜360°(k∈Z)，∴3≤k＜6(k∈Z)，故取k＝4,5,6.

k＝4时，β＝4×360°－1 910°＝－470°；

k＝5时，β＝5×360°－1 910°＝－110°；

k＝6时，β＝6×360°－1 910°＝250°.

知识点三   角度制与弧度制的换算

例题3 .(1)①将112°30′化为弧度为________．

②将－rad化为角度为________．

【答案】①rad　②－75°　　

【解析】(1)①因为1°＝rad，

所以112°30′＝×112.5 rad＝rad.

知识点四  扇形的弧长和面积公式

设扇形的半径为R，弧长为l，α(0＜α＜2π)为其圆心角，则

(1)弧长公式：l＝αR.

(2)扇形面积公式：S＝lR＝αR2.

例题4．已知扇形OAB的周长是60 cm，面积是20 cm2，求扇形OAB的圆心角的弧度数．

【解析】设扇形的弧长为l，半径为r，

则

∴或

∴扇形的圆心角的弧度数为

＝43－3或43＋3.

知识点五    任意角的三角函数的定义

1、(1)条件

在平面直角坐标系中，设α是一个任意角，α∈R它的终边与单位圆交于点P(x，y)，那么：

(2)结论

①y叫做α的正弦函数，记作sin α，即sin α＝y；

②x叫做α的余弦函数，记作cos_α，即cos α＝x；

③叫做α的正切，记作tan_α，即tan α＝(x≠0)．

2、一般地，设角α终边上任意一点的坐标为(x，y)，它与原点的距离为r，则

sin α＝，cos α＝，tan α＝(x≠0)．

例题5 已知角θ的终边上有一点P(x,3)(x≠0)，且cos θ＝x，则sin θ＋tan θ的值为________．

【答案】或　

【解析】因为r＝，cos θ＝，

所以x＝.

又x≠0，所以x＝±1，所以r＝.

又y＝3＞0，所以θ是第一或第二象限角．

当θ为第一象限角时，sin θ＝，tan θ＝3，则sin θ＋tan θ＝.

当θ为第二象限角时，sin θ＝，tan θ＝－3，

则sin θ＋tan θ＝.

知识点六    三角函数值符号的运用

正弦、余弦、正切函数值在各象限内的符号

(1)图示：

(2)口诀：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．

例题6 判断下列各式的符号：

①sin 145°cos(－210°)；②sin 3·cos 4·tan 5.

【解析】①∵145°是第二象限角，∴sin 145°＞0，

∵－210°＝－360°＋150°，∴－210°是第二象限角，∴cos(－210°)＜0，

∴sin 145°cos(－210°)＜0.

②∵＜3＜π，π＜4＜，＜5＜2π，∴sin 3＞0，cos 4＜0，tan 5＜0，

∴sin 3·cos 4·tan 5＞0.

知识点七     诱导公式一的应用

公式一

例题7 求值：

(1)tan 405°－sin 450°＋cos 750°；

(2)sincos＋tancos.

【解析】　(1)原式＝tan(360°＋45°)－sin(360°＋90°)＋cos(2×360°＋30°)

＝tan 45°－sin 90°＋cos 30°＝1－1＋＝.

(2)原式＝sincos＋tan·cos

＝sincos＋tancos＝×＋1×＝.

知识点八   应用同角三角函数关系求值

1．平方关系

(1)公式：sin2α＋cos2α＝1.

(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的平方和等于1.

2．商数关系

(1)公式：＝tanα(α≠kπ＋，k∈Z)．

(2)语言叙述：同一个角α的正弦、余弦的商等于角α的正切．

例题8（1） 已知cos α＝－，求sin α，tan α的值．

【解析】　∵cos α＝－＜0，∴α是第二或第三象限的角．

如果α是第二象限角，那么

sin α＝＝＝，tan α＝＝＝－.

如果α是第三象限角，同理可得

sin α＝－＝－，tan α＝.

（2）已知sin α＋cos α＝，α∈(0，π)，则tan α＝________.

（2）【答案】－　

【解析】法一：(构建方程组)

因为sin α＋cos α＝，①

所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，

即2sin αcos α＝－.

因为α∈(0，π)，所以sin α＞0，cos α＜0.

所以sin α－cos α＝＝＝.②

由①②解得sin α＝，cos α＝－，

所以tan α＝＝－.

法二：(弦化切)

同法一求出sin αcos α＝－，＝－，＝－，

整理得60tan2α＋169tan α＋60＝0，解得tan α＝－或tan α＝－.

由sin α＋cos α＝＞0知|sin α|＞|cos α|，故tan α＝－.

(3)已知＝2，计算下列各式的值．

①；

②sin2α－2sin αcos α＋1.

（3）【解析】　由＝2，化简，

得sin α＝3cos α，

所以tan α＝3.

①法一(换元)原式＝＝＝.

法二(弦化切)原式＝＝＝.

②原式＝＋1

＝＋1＝＋1＝.

知识点九   给角求值问题

1．公式二

(1)角π＋α与角α的终边关于原点对称．如图所示．

(2)公式：sin(π＋α)＝－sin_α，

cos(π＋α)＝－cos_α，

tan(π＋α)＝tan_α.

2．公式三

(1)角－α与角α的终边关于x轴对称．如图所示．

(2)公式：sin(－α)＝－sin_α，

cos(－α)＝cos_α，

tan(－α)＝－tan_α.

3．公式四

(1)角π－α与角α的终边关于y轴对称．如图所示．

(2)公式：sin(π－α)＝sin_α，

cos(π－α)＝－cos_α，

tan(π－α)＝－tan_α.

4．公式五

(1)角－α与角α的终边关于直线y＝x对称，如图所示．

(2)公式：sin＝cos_α，

cos＝sin_α.

5．公式六

(1)公式五与公式六中角的联系＋α＝π－.

(2)公式：sin＝cos_α，

cos＝－sin_α.

例题9 求值：

(1)sin 1 320°；(2)cos；（3）已知sin＝，则cos的值为________．

【解析】(1)法一：sin 1 320°＝sin(3×360°＋240°)＝sin 240°＝sin(180°＋60°)＝－sin 60°＝－.

法二：sin 1 320°＝sin(4×360°－120°)＝sin(－120°)

＝－sin(180°－60°)＝－sin 60°＝－.

(2)法一：cos＝cos

＝cos＝cos＝－cos＝－.

法二：cos＝cos

＝cos＝－cos＝－.

（3）cos＝cos＝sin＝.

五 易错点分析

易错一  区间角的表示

例题10.已知，如图所示．

①分别写出终边落在OA，OB位置上的角的集合；

②写出终边落在阴影部分(包括边界)的角的集合．

【解析】　①终边落在OA位置上的角的集合为{α|α＝90°＋45°＋k·360°，k∈Z}＝{α|α＝135°＋k·360°，k∈Z}；

终边落在OB位置上的角的集合为{α|α＝－30°＋k·360°，k∈Z}．

②由题干图可知，阴影部分(包括边界)的角的集合是由所有介于[－30°，135°]之间的与之终边相同的角组成的集合，故该区域可表示为{α|－30°＋k·360°≤α≤135°＋k·360°，k∈Z}．

误区警示
正角是按逆时针方向旋转，区间角的书写注意旋转方向，逆时针方向旋转，角变大，区间角是大于小角小于大角。

易错二 扇形的弧长、面积

例题11.求半径为π cm，圆心角为120°的扇形的弧长及面积．

【解析】　因为r＝π，α＝120×＝，

所以l＝αr＝ cm，S＝lr＝ cm2.

错误区警示

扇形的弧长、面积公式中，圆心角的度数应为弧度制。

易错三 任意角三角函数的定义运用

例题12.已知角α的终边过点P(－3a,4a)(a≠0)”，求2sin α＋cos α。

【解析】　因为r＝＝5|a|．

①若a>0，则r＝5a，角α在第二象限，

sin α＝＝＝，cos α＝＝＝－，

所以2sin α＋cos α＝－＝1.

②若a<0，则r＝－5a，角α在第四象限。

sin α＝＝－，cos α＝＝，

所以2sin α＋cos α＝－＋＝－1。

错误警示

求任意角的三角函数值时，终边过的点的坐标用字母表示时，注意考虑字母的正负，不确定时，应分正负讨论。

易错四  任意角三角函数的值的求解

例题13  已知sin α＋cos α＝，α∈(－π，0)，则tan α＝________.

【解析】因为sin α＋cos α＝，①  所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝，

即2sin αcos α＝－.  因为α∈(－π，0)，所以sin α＜0，cos α＞0，

所以sin α－cos α＝－＝－＝－。

与sin α＋cos α＝联立解得sin α＝－，cos α＝，

所以tan α＝＝－。

错误警示

运用同角三角函数基本关系求值时，注意判断三角函数值的正负。

易错五 利用诱导公式化简

例题14   　设k为整数，化简：.

【解析】法一：(分类讨论)当k为偶数时，设k＝2m(m∈Z)，则原式＝＝＝＝－1；

当k为奇数时，设k＝2m＋1(m∈Z)，同理可得原式＝－1.

法二：(配角法)由于kπ－α＋kπ＋α＝2kπ，(k＋1)π＋α＋(k－1)π－α＝2kπ，故cos[(k－1)π－α]＝cos[(k＋1)π＋α]＝－cos(kπ＋α)，sin[(k＋1)π＋α]＝－sin(kπ＋α)，

sin(kπ－α)＝－sin(kπ＋α)．

所以原式＝＝－1。

错误警示

利用诱导公式化简时，注意找角的关系，从而正确选择诱导公式。