专题04 用空间向量研究直线、平面的位置关系 核心素养练习-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）

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专题四    用空间向量研究直线、平面的位置关系 一、核心素养聚焦考点一  数学运算-求平面的法向量例题9.．已知三点A(1,0,1)，B(0,1,1)，C(1,1,0)，求平面ABC的一个法向量．【解析】设平面ABC的一个法向量为n＝(x，y，z)，由题意得＝(－1,1,0)，＝(1,0，－1)．因为n⊥，n⊥，所以令x＝1，得y＝z＝1，所以平面ABC的一个法向量n＝(1,1,1).考点二   逻辑推理-证明线线平行例题10如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别为DD1和BB1的中点．求证：四边形AEC1F是平行四边形．【证明】以点D为坐标原点，分别以，，为正交基底建立空间直角坐标系，不妨设正方体的棱长为1，则A(1,0,0)，E，C1(0,1,1)，F，∴＝，＝，＝，＝，∴＝，＝，∴∥，∥，又∵F∉AE，F∉EC1，∴AE∥FC1，EC1∥AF，∴四边形AEC1F是平行四边形.二、学业质量测评一、选择题1．已知两不重合直线和的方向向量分别为，，则与的位置关系是（    ）A．平行 B．相交 C．垂直 D．不确定【答案】A【详解】因为，，所以，所以，故选：A2．若平面，且平面的一个法向量为，则平面的法向量可以是（    ）A． B． C． D．【答案】C【详解】∵平面，∴平面的一个法向量与平面的法向量垂直，即它们的数量积为0.对于A：，故A错误；对于B：，故B错误；对于C：，故C正确；对于D：，故D错误.故选：C.3．若直线的方向向量为，平面的法向量为，则能使的是（    ）A．， B．，C．， D．，【答案】C【详解】对于选项A：，故选项A不正确；对于选项B：，故选项B不正确；对于选项C：，所以，所以，故选项C 正确；对于选项D：，故选项D不正确；故选：C4．若是平面的一个法向量，且，与平面都平行，则向量等于（    ）A． B．C． D．【答案】D【详解】因为，，所以，，解得，，所以.故选：D5．设直线的方向向量是，平面的法向量是，则“”是“”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【详解】由，得：，则“”是“”的必要条件，而不一定有，也可能，则“”不是“”的充分条件.故选：B.6．已知点是平行四边形所在的平面外一点，如果，，.对于结论：①；②；③是平面的法向量；④.其中正确的是（    ）A．②④ B．②③ C．①③ D．①②【答案】B【详解】由，，，，2，，，2，，知：在①中，，故①不正确；在②中，，，，故②正确；在③中，， ，又因为，，知是平面的法向量，故③正确；在④中，，3，，假设存在使得，则，无解，故④不正确；综上可得：②③正确．故选：B．7．（多选题）已知为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），那么下列选项中，正确的是（    ）A．∥⇔α∥β B．⊥⇔α⊥βC．∥⇔l∥α D．⊥⇔l∥α【答案】AB【详解】解：为直线l的方向向量，，分别为平面α，β的法向量（α，β不重合），则∥⇔α∥β，⊥⇔α⊥β，∥⇔l⊥α，⊥⇔l∥α或l⊂α.因此AB正确.故选：AB.8．（多选题）下列利用方向向量、法向量判断线、面位置关系的结论中，正确的是（    ）A．两条不重合直线，的方向向量分别是，，则B．直线的方向向量，平面的法向量是，则C．两个不同的平面，的法向量分别是，，则D．直线的方向向量，平面的法向量是，则【答案】AC【详解】对于A，两条不重合直线，的方向向量分别是，,且，所以，选项正确；对于B，直线l的方向向量，平面的法向量是且，所以或，选项错误；对于C，两个不同的平面α，β的法向量分别是，，且，所以，选项C正确；对于D，直线l的方向向量，平面的法向量是且，所以，选项D错误.故选：AC二、填空题9．已知两个不同的平面，的法向量分别是和，则平面，的位置关系是________.【答案】【详解】，，，，.故答案为：.10．如图，四棱柱的底面是正方形，为底面中心，平面，.平面的法向量________.【答案】（答案不唯一）【详解】是正方形，且，，，，，，，，，，故，故，∵向量是平面OCB1的法向量，，，故，，取，故，平面的法向量故答案为：（答案不唯一）11．已知A(0,1,0),B(-1,0,-1),C(2,1,1),点P(x,0,z),若PA⊥平面ABC,则点P的坐标为_____.【答案】(-1,0,2)【详解】由题意得=(-x,1,-z),=(-1,-1,-1),=(2,0,1),由,得=x-1+z=0,由,得=-2x-z=0,解得故点P的坐标为(-1,0,2).12．若两条直线的方向向量分别是，，且两条直线平行，则x=___，y=___.【答案】    15    【详解】解：因为两条直线平行，且两条直线的方向向量分别是，，所以∥.所以令，则所以，解得，故答案为：；15三、解答题13．已知，，.（1）求平面的一个法向量；（2）证明:向量与平面平行.【答案】（1）平面的一个法向量为（答案不唯一）；（2）证明见解析.【详解】（1）因为，，，所以，，设为平面的一个法向量，则有，所以，不妨令，则，所以平面ABC的一个法向量为；（2）若存在实数，，使，即，则，解得，所以，即向量与平面平行.14．已知，，，分别是空间四边形的边，，，的中点.（1）用向量法证明，，，四点共面；（2）用向量法证明：平面；（3）设是和的交点，求证：对空间任一点，有.【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）证明见解析.【详解】（1）如图，连接，因为，，，分别是空间四边形的边，，，的中点，则，，则，由共面向量定理的推论知，，，四点共面；（2）因为.所以，又平面，平面，所以平面；（3）连接，，，，，，，由（2）知，同理，所以，，，所以､交于一点且被平分，所以.15．如图，在四棱锥中，底面是正方形，底面，是的中点，已知，．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）求证：平面平面．【答案】（Ⅰ）证明见解析；（Ⅱ）证明见解析.【详解】证明：以为原点，所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，则，，，．（Ⅰ）因为是的中点，所以的坐标为，所以，又因为，所以，所以，即有；（Ⅱ）因为底面是正方形，所以，因为底面，平面，所以，因为，所以平面，所以平面的一个法向量为，设平面的一个法向量为，，，由，取，，，所以平面的一个法向量为，因为，所以，所以平面平面.