专题07 直线的倾斜角与斜率（核心素养练习）-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）

 专题七    直线的倾斜角与斜率

一、核心素养聚焦

考点一  直观想象-倾斜角

例题6.一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α(0°<α<90°)，则其倾斜角为(　　)

A．α　　　　　　 B．180°－α

C．180°－α或90°－α   D．90°＋α或90°－α

【答案】D　

【解析】如图，当l向上方向的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l向上方向的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.

故选D.

考点二   数学运算-斜率有关运算

例题7设点A(m，－m＋3)，B(2，m－1)，C(－1,4)，直线AC的斜率等于直线BC的斜率的3倍，则实数m的值为________．

【答案】4　

【解析】依题意知，直线AC的斜率存在，且m≠－1.

kAC＝＝＝－1，

kBC＝＝，

由题意得kAC＝3kBC，

∵－1＝3×，解得m＝4

考点三  逻辑推理-斜率的范围

例题8.已知坐标平面内三点A(－1,1)，B(1,1)，C(2，＋1)．若D为△ABC的边AB上一动点，求直线CD斜率k的取值范围．

【解析】如图，当斜率k变化时，直线CD绕点C旋转，当直线CD由CA逆时针转到CB时，直线CD与AB恒有交点，即D在线段AB上，此时k由kCA增大到kCB，所以k的取值范围为.

二、学业质量测评

一、选择题

1．已知直线经过点，，则直线的斜率为（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【详解】

因为直线经过点，，所以直线的斜率为.

故选：A．

2．若直线的倾斜角满足，且，则其斜率满足（    ）

A． B．

C．或 D．或

【答案】C

【详解】

斜率，因为，且，

故或，即或，

故选：C.

3．若，，三点共线，则实数的值为（    ）

A．2 B． C． D．

【答案】C

【详解】

因为，，三点共线，

所以方向向量与共线，

所以，解得.

故选：C

4．下列说法中，正确的是（    ）

A．直线的倾斜角为，则此直线的斜率为

B．直线的斜率为，则此直线的倾斜角为

C．若直线的倾斜角为，则

D．任意直线都有倾斜角，且时，斜率为

【答案】D

【详解】

对于A，当时，直线的斜率不存在，故A不正确；

对于B，虽然直线的斜率为，

但只有时，才是此直线的倾斜角，故B不正确；

对于C，当直线与轴平行或重合时，，，故C不正确；

根据直线倾斜角的定义以及斜率的定义，可判断D正确；

故选：D.

5．过点)与点)的直线的倾斜角为（    ）

A． B． C．或 D．

【答案】A

【详解】

，

故直线的倾斜角为.

故选：A.

6．设直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，则“是“”的（    ）

A．必要不充分条件 B．充分不必要条件

C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件

【答案】D

【详解】

解：∵直线，的斜率和倾斜角分别为，和，，

当倾斜角均为锐角时，和均为钝角时，若“”，则“”，

若“”，则“”，

当倾斜角一个为锐角一个为钝角时，若“”，则“与”的大小不能确定，

若“”，则“与”的大小也不能确定，

故则“”是“”的既不充分也不必要条件．

故选：D．

7（多选题）．下列说法正确的是（    ）

A．坐标平面内的任何直线均有倾斜角与斜率

B．直线的倾斜角的取值范围为

C．若一直线的斜率为，则此直线的倾斜角为

D．若一直线的倾斜角为，则此直线的斜率为

【答案】B

【详解】

A. 当直线的倾斜角是时,斜率不存在,故错误;

B. 直线的倾斜角的取值范围为，故正确；

C.若一直线的斜率为，则，如，不是此直线的倾斜角，故错误；

D.当直线的倾斜角为，则直线的斜率不存在，故错误.

故选：B

8（多选题）．如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，则下列选项正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AD

【详解】

解：如图，直线，，的斜率分别为，，，倾斜角分别为，，，

则，，

故，且为钝角，

故选：AD.

二、填空题

9．若直线的倾斜角为，则的弧度数是________.

【答案】

【详解】

解：因为直线垂直x轴，

所以其倾斜角弧度数为.

故答案为：.

10．若经过两点的直线l的倾斜角为锐角，则实数m的取值范围是_______．

【答案】

【详解】

因为直线l的倾斜角为锐角，所以其斜率，故．

故答案为：.

11．已知两点，直线过点且与线段相交，直线的斜率的取值范围是______________ .

【答案】

【详解】

如下图，直线的斜率为，直线的斜率为.

由图可知直线的斜率的取值范围是.

12．已知，，直线过点，若直线与线段总有公共点，则直线的斜率取值范围是___________，倾斜角的取值范围是___________.

【答案】       

【详解】

如图，若直线与线段总有公共点，则，

，， ，

,,

，即，

，.

故答案为：；.

三、解答题

13．（1）求经过下列两点的直线的斜率，并判断其倾斜角是锐角、直角还是钝角．

①，；

②，；

③，．

【答案】（1）①钝角，②直角，③锐角；（2）证明见解析

【详解】

（1）①，倾斜角为钝角；

②k不存在，倾斜角为直角；

③，倾斜角为锐角．

14．已知，，三点．

（1）若过A，C两点的直线的倾斜角为，求m的值．

（2）A，B，C三点可能共线吗？若能的，求出m值．

【答案】（1）；（2）能共线，.

【详解】

（1）过A，C两点的直线的斜率为 ，

又直线AC的倾斜角为，所以，得.

（2），，

若，，三点共线，则有，即，解得，

所以A，B，C三点能共线，且.