专题12 直线与圆的位置关系 核心素养练习 -【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）

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考点一 数学运算-求直线与圆的方程
例题5、已知圆C经过点A(2,0)，B(1，－eq \r(3))，且圆心C在直线y＝x上．
(1)求圆C的方程；
(2)过点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),3)))的直线l截圆所得弦长为2eq \r(3)，求直线l的方程．
【解析】 (1)AB的中点坐标eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)，－\f(\r(3),2)))，AB的斜率为eq \r(3).可得AB垂直平分线方程为2eq \r(3)x＋6y＝0，与x―y＝0的交点为(0,0)，圆心坐标(0,0)，半径为2，
所以圆C的方程为x2＋y2＝4.
(2)直线的斜率存在时，设直线的斜率为k，又直线l过eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1，\f(\r(3),3)))，
∴直线l的方程为y－eq \f(\r(3),3)＝k(x－1)，
即y＝kx＋eq \f(\r(3),3)－k，
则圆心(0,0)到直线的距离d＝eq \f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)－k)),\r(1＋k2))，又圆的半径r＝2，截得的弦长为2eq \r(3)，
则有eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\b\lc\|\rc\|(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),3)－k)),\r(1＋k2))))eq \s\up12(2)＋(eq \r(3))2＝4，解得：k＝－eq \f(\r(3),3)，
则直线l的方程为y＝－eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(2\r(3),3).
当直线的斜率不存在时，直线方程为x＝1，满足题意．
∴直线l的方程为x＝1或y＝－eq \f(\r(3),3)x＋eq \f(2\r(3),3).
考点二 数学建模-直线与圆位置关系的综合
例题6.一艘轮船沿直线返回港口的途中，接到气象台预报，台风中心位于轮船正西70 km处，受影响的范围是半径为30 km的圆形区域，已知港口位于台风中心正北40 km处，如果这艘轮船不改变航线，那么它是否会受到台风的影响？
【解析】 以台风中心为坐标原点，以东西方向为x轴建立平面直角坐标系(如图所示)，其中取10 km为单位长度，则受台风影响的圆形区域为圆x2＋y2＝9及其内部，港口所对应的点的坐标为(0,4)，轮船的初始位置所对应的点的坐标为(7,0)，则轮船航线所在直线l的方程为eq \f(x,7)＋eq \f(y,4)＝1，即4x＋7y－28＝0.圆心(0,0)到直线4x＋7y－28＝0的距离d＝eq \f(|28|,\r(42＋72))＝eq \f(28,\r(65))，而半径r＝3，
因为d＞r，所以直线与圆相离，所以轮船不会受到台风的影响．
二、学业质量测评
一、选择题
1．1．经过点的圆的切线方程是（ ）
A．B．
C．D．
【答案】D
【详解】
，
在圆上，且，
过的切线斜率为.
过的切线方程为：，即.
故选:D.
2．过点作圆的切线，若切点为A、，则直线的方程是（ ）
A．B．C．D．
【答案】B
【详解】
根据题意，设，圆的圆心为，半径，
有，
则，
则以为圆心，为半径为圆为，即，
公共弦所在的直线即直线，
则，变形可得；
即直线的方程是；
故选：B.
3．直线和圆的位置关系是（ ）
A．相交B．相切C．相离D．不确定
【答案】A
【详解】
圆心到直线的距离
即直线和圆相交
故选：A
4．圆x2+y2+4x﹣2y+1＝0截x轴所得弦的长度等于（ ）
A．2B．2C．2D．4
【答案】B
【详解】
令y＝0，可得x2+4x+1＝0，
所以，，
所以.
故选：B
5．设直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是（ ）
A．，B．，C．，D．，
【答案】D
【详解】
如图，
直线的倾斜角为，当直线与半圆相切时，直线在轴上的截距为.
要使直线与曲线有公共点，则实数的取值范围是，.
故选：D.
6．一条光线从点射出，经轴反射后与圆相切，则反射光线所在直线的斜率为（ ）
A．或B．或C．或D．或
【答案】D
【详解】
根据光的反射原理知，反射光线的反向延长线必过点关于轴的对称点，
设反射光线所在直线的斜率为，
则反射光线所在直线方程为，即，
又由反射光线与圆相切，可得，
整理得，解得或.
故选：D.
7．(多选题)直线l与圆C有公共点，则直线l与圆C的位置关系可能是（ ）
A．相交B．相切
C．相离D．不能确定
【答案】AB
【详解】
根据直线与圆位置关系的确定，有一个公共点时相切，有两个公共点时相交．相离时无公共点．
故选：AB．
8．(多选题)已知圆x2＋y2－2x＋4y＋3＝0与直线x－y＝1，则（ ）
A．圆心坐标为(1，－2)
B．圆心到直线的距离为
C．直线与圆相交
D．圆的半径为
【答案】AD
【详解】
把圆的方程化为标准形式得(x－1)2＋(y＋2)2＝2，所以圆心坐标为(1，－2)，半径为，所以圆心到直线x－y＝1的距离为d＝＝，直线与圆相切．
故选：AD
二、填空题
9．已知直线：12x－5y＝3与圆x2＋y2－6x－8y＋16＝0相交于A，B两点，则|AB|＝________.
【答案】4
【详解】
把圆的方程化成标准方程为(x－3)2＋(y－4)2＝9，所以圆心坐标为(3，4)，半径r＝3，所以圆心到直线12x－5y＝3的距离d＝＝1，则|AB|＝2＝4.
故答案为：
10．过点P(2，1)作圆x2＋(y－2)2＝1的切线，则切线长为________．
【答案】2
【详解】
点P(2，1)到圆心(0，2)的距离为,
所以切线长为.
故答案为：2．
11．圆x2＋y2－2x＋4y＝0与直线2tx－y－2－2t＝0(t∈R)的位置关系为________．
【答案】相交
【详解】
直线2tx－y－2－2t＝0恒过点(1，－2)．
因为12＋(－2)2－2×1＋4×(－2)＝－5