专题16 椭圆的简单几何性质（核心素养练习）-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）

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专题十六   椭圆的简单几何性质  一、核心素养聚焦考点一  数学运算-由离心率求椭圆方程例题9.设椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)过点(0,4)，离心率为.(1)求椭圆C的方程；(2)求过点(3,0)且斜率为的直线被C所截线段的中点的坐标．【解析】(1)将(0,4)代入C的方程，得＝1，∴b＝4.由e＝＝，得＝，即1－＝，∴a＝5，∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)过点(3,0)且斜率为的直线方程为y＝(x－3)．设直线与C的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，将直线AB的方程y＝(x－3)代入C的方程，得＋＝1，即x2－3x－8＝0，则x1＋x2＝3，∴＝，＝(x1＋x2－6)＝－，即中点的坐标为. 考点二   直观想象-离心率和椭圆的形状例题10比较椭圆①x2＋9y2＝36与②＋＝1的形状，则________更扁．(填序号)【答案】①　【解析】把x2＋9y2＝36化为标准形式＋＝1，离心率e1＝＝，而＋＝1的离心率e2＝＝，这里e2＜e1，故①更扁．考点三  逻辑推理-直线与椭圆的位置关系例题11、已知椭圆方程为.（1）判断直线是否与椭圆有公共点；（2）若斜率为1的直线l与椭圆相交于A、B两点，且，求直线l的方程.【答案】（1）没有公共点；（2）或.【解析】（1）由可得，由于，所以该方程组无解，即直线与椭圆没有公共点.（2）设直线l的方程为，.由方程组消去y得，由题意，得，且，因为，所以，解得，验证知成立，所以直线l的方程为或.二、学业质量测评一、选择题1．椭圆的焦点为，点为椭圆上的动点若为钝角，点的横坐标的取值范围为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】因为，为椭圆的两焦点，则，，设，则，，因为为钝角，所以，又∵，∴，∴.故选：B.2．若点在椭圆的内部，则实数的取值范围是（    ）A． B．C． D．【答案】B【解析】解：，所以故选：B.3．若椭圆：的一个焦点坐标为，则的长轴长为（    ）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】因为椭圆：，焦点，所以，，，即，解得或（舍去）.所以，长轴为.故选：D4．椭圆的焦点在y轴上，长轴长是短轴长的两倍，则m的值为（    ）A． B．8 C．2 D．4【答案】A【解析】由题意， 且，∴．故选:A．5．已知椭圆的右顶点为，左焦点为，若以为直径的圆过短轴的一个顶点，则椭圆的离心率为（    ）A． B． C． D．【答案】B【解析】设椭圆的焦距为，则，，因为圆以为直径，所以半径，圆心到原点的距离为，因为以为直径的圆过短轴的一个顶点，所以，即，化简得，，，则，，，解得或（舍去），故选：B.6．“”是“椭圆的离心率为”的（    ）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】椭圆离心率为，可得：时，，；时，，总之或．“”是“椭圆离心率为”的充分不必要条件．故选：A．7．（多选题）已知直线被椭圆截得的弦长为，则下列直线中被椭圆截得的弦长一定为的有（    ）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】由于椭圆关于原点、轴、轴对称.对于A选项，直线与直线关于原点对称，则直线截椭圆所得弦长为，A选项合乎要求；对于B选项，直线与直线平行，直线截椭圆所得弦长大于，B选项不合乎要求；对于C选项，直线与直线关于轴对称，则直线截椭圆所得弦长为，C选项合乎要求；对于D选项，直线与直线关于轴对称，则直线截椭圆所得弦长为，D选项合乎要求.故选：ACD.8．（多选题）若椭圆和椭圆的离心率相同，且，则下列结论正确的是（    ）A．椭圆和椭圆一定没有公共点 B．C． D．【答案】AB【解析】依题意，，即，所以，所以，因此B正确；又，所以椭圆和椭圆一定没有公共点，因此A正确；设，其中，则有，即有，则，因此C错误；，即有，则，因此D错误．故选：AB．二、填空题9．已知是椭圆上的一点，为右焦点，点的坐标为，则周长的最大值为_______.【答案】10【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为，由题意可知，则，因为的坐标为，所以，由椭圆的定义可得，因为，所以周长为，当且仅当三点共线时取等号，所以周长的最大值为10，故答案为：1010．已知F是椭圆C：（）的左焦点，是椭圆C过F的弦，的垂直平分线交x轴于点P.若，且P为的中点，则椭圆C的离心率为______.【答案】【解析】如图，设椭圆的右焦点为，连接，过点作交于，则点为中点. 设.所以点是中点，因为,所以由椭圆的定义得在直角中，，所以 （1）在直角中，所以.把代入（1）得故答案为：.11．已知椭圆，倾斜角为60°的直线与椭圆分别交于A、B两点且，点C是椭圆上不同于A、B一点，则△ABC面积的最大值为_____．【答案】【解析】由题意，设直线AB的方程为，点 A（x1，y1），B（x2，y2），联立方程组，整理得18x2+10mx+5m2﹣30＝0，所以x1+x2，x1x2．因为，即，代入整理得，解得，不妨取：m＝2，可得直线AB的方程为，设与直线AB平行且与椭圆相切的直线方程为yx+t，联立方程组，整理得18x2+10tx+5t2﹣30＝0，由△＝300t2﹣72×（5t2﹣30）＝0，解得：t＝±6．取t＝﹣6时，与直线AB平行且与椭圆相切的直线与直线AB的距离，所以△ABC面积的最大值，故答案为：．12．已知椭圆：的左、右焦点分别为、，为椭圆上一点，则的最大值为______；过点作椭圆的切线，则切线的斜率为______.【答案】        【解析】由余弦定理可得：，当且仅当时，取到最小值，取到最大值；可判断直线斜率一定存在，设直线方程为：，由得，令得，化简得故答案为：；三、解答题13．已知焦点在轴上的椭圆半长轴离心率等于.（1）求椭圆的标准方程；（2）若点是椭圆上的一点，焦点分别为，且的面积为1，求点的坐标.【答案】（1）（2）点的坐标有以下可能：，，，【解析】（1）由得，所以，所以椭圆的标准方程为（2）设，由（1）得，且得，所以，因为，解得所以点的坐标有以下可能：14．已知椭圆C：和点.（1）求椭圆C的焦点坐标和离心率；（2）设直线l：与椭圆C交于A，B两点，求弦长；（3）求通过M点且被这点平分的弦所在的直线方程.【答案】（1）和，；（2） ；（3）.【解析】（1）由得，，，，∴焦点坐标是和；离心率.（2）联立方程组，消y得，得，或，则A，B两点坐标分别为和，弦长.（3）显然直线不与x轴垂直，可设此直线方程为，设交点分别为、，则，，又，，，，直线方程为 即.15．已知椭圆上有一点，它关于原点的对称点为，点为椭圆的右焦点，且满足，设，且，求该椭圆的离心率的取值范围．【答案】．【解析】如图所示，设椭圆的左焦点为，连接，则四边形为矩形，．，，．，，，，∴椭圆的离心率．