专题18 双曲线的简单几何性质（核心素养练习）-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）

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专题十八   双曲线的简单几何性质  一、核心素养聚焦考点一  数学运算-求双曲线的方程例题6.求适合下列条件的双曲线的标准方程：(1)虚轴长为12，离心率为；(2)焦点在x轴上，离心率为，且过点(－5,3)；【解析】(1)设双曲线的标准方程为－＝1或－＝1(a＞0，b＞0)．由题意知2b＝12，＝且c2＝a2＋b2，∴b＝6，c＝10，a＝8，∴双曲线的标准方程为－＝1或－＝1.(2)∵e＝＝，∴c＝a，b2＝c2－a2＝a2.又∵焦点在x轴上，∴设双曲线的标准方程为－＝1(a＞0)．把点(－5,3)代入方程，解得a2＝16.∴双曲线的标准方程为－＝1.考点二   直观想象-直线与双曲线的位置关系例题7.已知双曲线－y2＝1，求过点A (3，－1)且被点A平分的弦MN所在直线的方程．【解析】　法一：由题意知直线的斜率存在，故可设直线方程为y＋1＝k(x－3)，即y＝kx－3k－1，由消去y，整理得(1－4k2)x2＋8k(3k＋1)x－36k2－24k－8＝0.设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∴x1＋x2＝.∵A(3，－1)为MN的中点，∴＝3，即＝3，解得k＝－.当k＝－时，满足Δ>0，符合题意，∴所求直线MN的方程为y＝－x＋，即3x＋4y－5＝0.法二：设M(x1，y1)，N(x2，y2)，∵M，N均在双曲线上，∴两式相减，得＝y－y，∴＝.∵点A平分弦MN，∴x1＋x2＝6，y1＋y2＝－2.∴kMN＝＝＝－.经验证，该直线MN存在．∴所求直线MN的方程为y＋1＝－(x－3)，即3x＋4y－5＝0.二、学业质量测评一、选择题1．1．双曲线的左焦点与右顶点之间的距离等于（    ）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】B【解析】由已知得左焦点的坐标为，右顶点的坐标为，所以左焦点与右顶点之间的距离等于8.故选：B.2．P是双曲线上一点，双曲线的一条渐近线的方程为，，分别是双曲线的左､右焦点，若，则（    ）A．12 B．16 C．18 D．20【答案】A【解析】不妨设，因为双曲线的一条渐近线的方程为，所以即，所以双曲线的方程为，所以点，所以点的横坐标为，代入双曲线的方程可得点的纵坐标为，所以，.故选：A.3．已知是双曲线的两个焦点，是双曲线左支上的一点，且与两条渐近线相交于两点．若点恰好平分线段，则双曲线的焦距为（    ）．A． B． C． D．4【答案】C【解析】不妨取渐近线方程为，是中点，故，故，，故，，，根据勾股定理：，故，故焦距为.故选：C.4．已知双曲线的离心率为2，则点到渐近线的距离等于（    ）A．3 B． C．2 D．6【答案】A【解析】由题意，双曲线的离心率为2，即，解得，所以双曲线的一条渐近线的方程为，即，所以点到的渐近线的距离为.故选：A.5．设曲线是双曲线，则“的方程为”是“的渐近线方程为”的（    ）A．充分必要条件 B．充分而不必要条件C．必要而不充分条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】若的方程为，则，，渐近线方程为，即为，充分性成立；若渐近线方程为，则双曲线方程为（），“的方程为”是“的渐近线方程为”的充分而不必要条件.故选：B.6．双曲线被斜率为的直线截得的弦的中点为则双曲线的离心率为（    ）A． B． C．2 D．【答案】B【解析】设代入双曲线方程作差有:，有，所以，故选：B．7．（多选题）已知中心在原点，且关于坐标轴对称的双曲线M的离心率为，且它的一个焦点到一条渐近线的距离为2，则双曲线M的方程可能是（    ）A． B． C． D．【答案】AB【解析】焦点到一条渐近线的距离为b，所以，因为，所以，所以该双曲线的方程为或．故选：AB8．（多选题）已知双曲线的焦距为4，两条渐近线的夹角为，则下列说法正确的是（    ）A．M的离心率为B．M的标准方程为C．M的渐近线方程为D．直线经过M的一个焦点【答案】ACD【解析】依题意得，则，因为两条渐近线的夹角为，所以两条渐近线的倾斜角分别为，所以，所以，所以双曲线方程为，离心率，渐近线方程为，焦点坐标为、，显然直线过点；故选：ACD 二、填空题9．若双曲线的一个焦点到坐标原点的距离为3，则m的值为______.【答案】7或【解析】依题意可知，当双曲线的焦点在x轴上时，，所以；当双曲线的焦点在y轴上时，，所以综上，或.故答案为：7或10．倾斜角为的直线l经过双曲线的左焦点，交双曲线于A，B两点，线段的垂直平分线过右焦点，则此双曲线的渐近线方程为_______.【答案】【解析】如图为的垂直平分线，可得，且，可得，，由双曲线的定义可得，，即有，即有，，，由，可得，可得，即，，则渐近线方程为．故答案为：．11．与双曲线共渐近线且过点的双曲线方程是___________.【答案】【解析】据题意可设所求方程为，把)代入易得，故所求双曲线方程为.答案：12．若双曲线x2－＝1的离心率为，则实数m＝________，其渐近线方程为________.【答案】2        【解析】由题意知＝e2＝3，则m＝2.渐近线方程为y＝±x.故填2,.三、解答题13．已知双曲线的标准方程为 ．（1）写出双曲线的实轴长，虚轴长，离心率，左、右焦点、的坐标；（2）若点在双曲线上，求证：．【答案】详见解析【解析】(1)由，可得：，，所以离心率为，左、右焦点分别为,；(2)因为,,,所以，所以14．已知双曲线的中心在原点，焦点F1，F2在坐标轴上，离心率为，且过点（4，－）．（1）求双曲线方程；（2）若点M（3，m）在双曲线上，求证：点M在以F1F2为直径的圆上；（3）在（2）的条件下求△F1MF2的面积．【答案】（1）；（2）见解析；（3）6.【解析】∵离心率∴双曲线为等轴双曲线，可设其方程为，则由点在双曲线上，可得，∴双曲线方程为（2）证明 ∵点M（3，m）在双曲线上，，又双曲线的焦点为∴，∴点M在以F1F2为直径的圆上．（3）解15．如图所示，过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点，若，则这样的直线共有几条？【答案】条【解析】设，则.对于过双曲线一个焦点的弦长，如果弦是在同一支上，那么最短的弦是垂直于轴的弦，长度为；如果弦是跨两支，那么最短的弦为实轴.过双曲线的右焦点作直线交双曲线于两点.若轴，则为通径，而通径长度正好是4，故直线交双曲线于同支上的两点且，这样的直线只有一条.若经过顶点，此时，故直线交双曲线于异支上的两点且，这样的直线有且只有两条.故满足的直线有条.