专题19 抛物线及其标准方程（核心素养练习）-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）

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 专题十九  抛物线及其标准方程  一、核心素养聚焦考点一  数学运算-求抛物线方程例题5.根据下列条件分别求出抛物线的标准方程：(1)经过点(－3，－1)；(2)焦点为直线3x－4y－12＝0与坐标轴的交点．【解析】(1)∵点(－3，－1)在第三象限，∴设所求抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)或x2＝－2py(p>0)．若抛物线的标准方程为y2＝－2px(p>0)，则由(－1)2＝－2p×(－3)，解得p＝；若抛物线的标准方程为x2＝－2py(p>0)，则由(－3)2＝－2p×(－1)，解得p＝.∴所求抛物线的标准方程为y2＝－x或x2＝－9y.(2)对于直线方程3x－4y－12＝0，令x＝0，得y＝－3；令y＝0，得x＝4，∴抛物线的焦点为(0，－3)或(4,0)．当焦点为(0，－3)时，＝3，∴p＝6，此时抛物线的标准方程为x2＝－12y；当焦点为(4,0)时，＝4，∴p＝8，此时抛物线的标准方程为y2＝16x.∴所求抛物线的标准方程为x2＝－12y或y2＝16x. 考点二   数学抽象-抛物线定义例题6已知抛物线C：y2＝x的焦点为F，A(x0，y0)是C上一点，|AF|＝x0，则x0＝(　　)A．1　　　　B．2　　　　C．4　　　　D．8【答案】A【解析】由题意知抛物线的准线为x＝－.因为|AF|＝x0，根据抛物线的定义可得x0＋＝|AF|＝x0，解得x0＝1，故选A.考点三   数学建模-抛物线实际问题例题7.一辆卡车高3 m，宽1.6 m，欲通过断面为抛物线形的隧道，如图所示，已知拱口宽AB恰好是拱高OD的4倍．若拱口宽为a m，求能使卡车通过的a的最小整数值．【解析】　以拱顶O为原点，拱高OD所在直线为y轴，建立直角坐标系，如图所示．设抛物线方程为x2＝－2py(p＞0)．∵AB是OD的4倍，∴点B的坐标为.由点B在抛物线上，得＝－2p·，∴p＝.∴抛物线方程为x2＝－ay.设点E(0.8，y0)为抛物线上一点，代入方程x2＝－ay，得0.82＝－ay0，∴y0＝－，∴点E到拱底AB的距离h＝－|y0|＝－，令h＞3，则－＞3，解得a＞6＋或a＜6－(舍去)．∴a的最小整数值为13.二、学业质量测评一、选择题1．已知点在抛物线上，若点到抛物线焦点的距离等于，则焦点到抛物线准线的距离等于（    ）A． B． C． D．【答案】C【解析】由抛物线定义可知：点到焦点的距离即为点到抛物线准线的距离，即，解得：，又焦点到抛物线准线的距离为，所求距离为.故选：.2．抛物线的焦点坐标是（    ）A． B． C． D．【答案】D【解析】即,故抛物线焦点在轴上,,焦点纵坐标为.故焦点坐标为故选：D3．过点且与y轴相切的圆的圆心轨迹为（    ）A．圆 B．椭圆 C．直线 D．抛物线【答案】D【解析】设点P为满足条件的一点，因为点P到点A的距离等于点P到y轴的距离，由抛物线定义可得，点P在以点A为焦点，y轴为准线的抛物线上.故选：D.4．设某曲线上一动点M到点与到直线的距离相等，经过点的直线l与该曲线相交于A、B两点，且点P恰为的中点，则（    ）A．6 B．8 C．9 D．10【答案】D【解析】由曲线上一动点M到点与到直线的距离相等，知曲线为抛物线，其方程为，过点的直线l与该曲线相交于A、B两点，且点P恰为的中点，分别过点A、B、P向抛物线的准线作垂线，垂足分别为、、，连接、，由梯形的中位线知，，，所以.故选：D.5．点是抛物线上一动点，则点到点的距离与到直线的距离之和的最小值是（    ）A． B．2 C． D．【答案】D【解析】依题设P在抛物线准线的投影为P'，抛物线的焦点为F，A（0，-1）．
则F（1，0），
依抛物线的定义知P到该抛物线准线的距离为|PP'|=|PF|，
则点P到点A（0，-1）的距离与P到该抛物线准线的距离之和，
d=|PF|+|PA|≥|AF|=．
故答案为： 6．抛物线y2＝x上一点P到焦点的距离是2，则P点坐标为(　　)A． B．(，±) C．(，±) D．(，±)【答案】B【解析】：∵抛物线方程为y2=x
∴抛物线的2p=1，得 ，
设P（x，y），
∵抛物线y2=x上的一点P到焦点的距离是2，
∴
∴
因此，可得点P的坐标是(，±)．故选B．7．（多选题）点到抛物线的准线的距离为2，则a的值可以为（    ）A． B． C． D．【答案】AB【解析】抛物线的准线方程为，因为点到抛物线的准线的距离为2，所以，解得或，故选AB．8．（多选题）已知点在抛物线上，抛物线的焦点为F，延长与抛物线相交于另一点B，O为坐标原点，则下列结论中正确的是（    ）A．抛物线的准线方程为B．抛物线的焦点坐标为C．点B的坐标为D．的面积为8【答案】ABD【解析】将代入抛物线方程可得，因此抛物线方程为，所以准线方程为，焦点坐标为，故A，B正确；易知轴，所以，故C错误；又因为，所以，故D正确．故选：ABD二、填空题9．若直线经过抛物线的焦点，则______．【答案】【解析】抛物线方程可化为，所以焦点在y轴上，又直线经过焦点，所以焦点为，因此，解得．故答案为：10．已知点M是抛物线上一点，F为C的焦点，的中点坐标是，则P的值为______.【答案】4【解析】解析依题意，有，设，则有，所以.故答案为：411．已知抛物线方程为，直线的方程为，在抛物线上有一动点，点到轴的距离为，点到直线的距离为，则的最小值为______.【答案】【解析】如图，焦点为，抛物线的准线方程为，过点作直线的垂线，垂足为，则，过点作准线的垂线，垂足为，交轴于点，则，，根据抛物线的定义可知，，所以，过点作直线的垂线，垂足为，则,当点在与抛物线的交点时，最小，为，此时，取得最小值.故答案为：.12．抛物线x2＝y的焦点F的坐标为__________，若该抛物线上有一点P满足|PF|＝，且P在第一象限，则点P的坐标为___________.【答案】        【解析】抛物线的焦点F的坐标为，其准线方程为y＝－，设P(x0，y0)(x0＞0，y0＞0)，根据抛物线定义，得y0＋＝，∴y0＝1，代入，由于x0＞0，∴x0＝1.故答案为　(1,1).三、解答题13.若抛物线y2＝－2px(p＞0)上有一点M，其横坐标为－9，它到焦点的距离为10，求点M的坐标．【解析】　由抛物线方程y2＝－2px(p＞0)，得其焦点坐标为F，准线方程为x＝.设点M到准线的距离为d，则d＝|MF|＝10，即－(－9)＝10，得p＝2，故抛物线方程为y2＝－4x.由点M(－9，y)在抛物线上，得y＝±6，故点M的坐标为(－9,6)或(－9，－6)．14．动圆P与定圆外切，且与直线相切，求动圆圆心P的轨迹方程.【答案】.【解析】如图，设动圆圆心，过点P作于点D，作直线，过点P作于点，连接.设动圆P的半径为R，由题知圆A的半径为1.∵圆P与圆A外切，∴.又∵圆P与直线相切，∴.∵，即动点P到定点A与到定直线的距离相等，∴点P的轨迹是以A为焦点，以为准线的抛物线.设抛物线的方程为，可知，∴所求动圆圆心P的轨迹方程为.15．已知抛物线的焦点是，点是抛物线上的动点，点．（1）求的最小值，并求出取最小值时点的坐标；（2）求点到点的距离与到直线的距离之和的最小值．【答案】（1）最小值为，点的坐标为；（2）2．【解析】（1）将代入，得．，∴点在抛物线的内部．过点作垂直拋物线的准线，垂足为，结合抛物线的定义，知，当三点共线时，的值最小，为， 即的最小值为；此时点的纵坐标为2，代入，得，∴点的坐标为；（2）易知点在抛物线的外部．设点到准线的距离为．结合抛物线的定义，得，当且仅当三点共线（在线段上）时取等号．又，∴所求距离之和的最小值为2．