专题20 抛物线的简单几何性质（核心素养练习）-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）

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专题二十   抛物线的简单几何性质  一、核心素养聚焦考点一  数学运算-抛物线几何性质的运用例题6.已知抛物线的顶点在坐标原点，对称轴为x轴且与圆x2＋y2＝4相交的公共弦长等于2，则抛物线的方程为________．【答案】y2＝3x或y2＝－3x　【解析】根据抛物线和圆的对称性知，其交点纵坐标为±，交点横坐标为±1，则抛物线过点(1，)或(－1，)，设抛物线方程为y2＝2px或y2＝－2px(p>0)，则2p＝3，从而抛物线方程为y2＝3x或y2＝－3x考点二   直观想象-直线与抛物线相交问题例题7已知抛物线的顶点在原点，x轴为对称轴，经过焦点且倾斜角为的直线l被抛物线所截得的弦长为6，求抛物线的标准方程．【解析】　当抛物线焦点在x轴正半轴上时，可设抛物线标准方程为y2＝2px(p＞0)，则焦点F，直线l的方程为y＝x－.设直线l与抛物线的交点为A(x1，y1)，B(x2，y2)，过点A，B向抛物线的准线作垂线，垂足分别为点A1，点B1，则|AB|＝|AF|＋|BF|＝|AA1|＋|BB1|＝＋＝x1＋x2＋p＝6，∴x1＋x2＝6－p.①由消去y，得＝2px，即x2－3px＋＝0.∴x1＋x2＝3p，代入①式得3p＝6－p，∴p＝.∴所求抛物线的标准方程是y2＝3x.当抛物线焦点在x轴负半轴上时，用同样的方法可求出抛物线的标准方程是y2＝－3x.二、学业质量测评一、选择题1．抛物线焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，，A为垂足，如果直线的倾斜角等于，那么等于(    )A． B． C． D．3【答案】C【解析】根据题意，可得抛物线及直线的线段关系如下图所示：抛物线焦点为F，则，准线方程为，直线的倾斜角等于，即，而，所以，由抛物线定义可知，因而， 作于，则，，所以，所以在中，，故选：C.2．已知抛物线的准线与圆相切，则p的值为A． B．1 C．2 D．4【答案】C【解析】抛物线y2=2px（p＞0）的准线方程为x=-，因为抛物线y2=2px（p＞0）的准线与圆（x-3）2+y2=16相切，所以3+=4，p=2；故选C．3．已知抛物线的焦点为F，Q为抛物线上一点，连接并延长交抛物线的准线于点P，且点P的纵坐标为负数，若，则直线PF的方程为（     ）A． B．C．或 D．【答案】D【解析】由于的纵坐标为负数，所以直线斜率大于零，由此排除B,C选项.设直线的倾斜角为.作出抛物线和准线的图像如下图所示.作，交准线于点.根据抛物线的定义可知，且.依题意，故在直角三角形中，所以，故直线的斜率为，所以直线的方程为，化简得.故选：D.4．已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为抛物线上一点，过P作于点A，当（O为坐标原点）时，（    ）A． B． C．2 D．3【答案】A【解析】设l与y轴交于点B，在中，，所以.设，则，代入，于是，从而.故选：.5．抛物线上的点到焦点的距离的最小值为（    ）A．3 B．6 C． D．【答案】C【解析】将抛物线方程化为标准形式得，因为，所以.所以抛物线上的点到焦点的距离的最小值为.故选：C6．已知是过抛物线的焦点的弦．若，则中点的纵坐标是（    ）A．1 B．2 C． D．【答案】D【解析】如图所示，设线段的中点为，分别过A，P，B三点作准线l的垂线，垂足分别为，Q，，由题意得．由得，所以抛物线的准线方程为，又，∴，∴．故选：D. 7．（多选题）设抛物线的准线与对称轴交于点，过点作抛物线的两条切线，切点分别为和，则（    ）A．点坐标为 B．直线的方程为C． D．【答案】ABC【解析】由得，，则焦点．，其准线方程为，A正确；设切线方程为，由得，令，解得．∴切点，因此直线的方程为，B正确；又，．从而，即，C正确；，D错误．故选：ABC．8．（多选题）已知抛物线：的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点，两点（点在第一象限）、与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（    ）A． B．为中点 C． D．【答案】ABC【解析】如图所示：作准线于，轴于，准线于.直线的斜率为，故，，，故，.，代入抛物线得到；，故，故为中点；，故；，，故；故选：.  二、填空题9．斜率为1，且过抛物线的焦点的直线被抛物线截得的弦长为__________________．【答案】8【解析】由抛物线得，所以焦点坐标为，因为斜率为1，所以过焦点的直线方程为，由消去，得．设该直线与抛物线的交点的坐标分别为，则，所以直线被抛物线截得的弦长为．故答案为：810．已知抛物线，过点的直线与抛物线交于，且的长为10，设的中点为，则到轴的距离为______．【答案】3【解析】由抛物线方程可知，，．由线段的中点到轴的距离为，故答案为3．11．已知抛物线y2＝2px(p＞0)经过焦点的弦AB的两端点坐标分别为A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 的值为________.【答案】－4【解析】由抛物线y2＝2px(p＞0)，得其焦点坐标为.设过焦点的弦AB所在直线方程为.由消去x整理得.所以y1y2＝－p2.因为点A(x1，y1), B(x2，y2)在抛物线上，所以，所以． 故答案为－4．12．设抛物线的焦点为，过点作直线与抛物线交于，两点，点满足，过作轴的垂线与抛物线交于点，若，则点的横坐标为__________，__________．【答案】1    8    【解析】由于点满足，所以是线段的中点.抛物线的焦点坐标为，准线方程为.设，由于在抛物线上，且，根据抛物线的定义得，所以，则，不妨设.若直线斜率不存在，则，则，此时的纵坐标和的纵坐标不相同，不符合题意.所以直线的斜率存在.设，设直线的方程为，代入抛物线方程并化简得，则.由于是线段中点，所以，而，所以，即，即，解得.所以，所以，则到准线的距离为，根据抛物线的定义结合中位线的性质可知.故答案为：(1). 1  (2). 8三、解答题13.已知点P(1，m)是抛物线C：y2＝2px上的点，F为抛物线的焦点，且|PF|＝2，直线l：y＝k(x－1)与抛物线C相交于不同的两点A，B.(1)求抛物线C的方程；(2)若|AB|＝8，求k的值．【解析】(1)抛物线C：y2＝2px的准线为x＝－，由|PF|＝2得：1＋＝2，得p＝2.所以抛物线的方程为y2＝4x.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，由可得k2x2－(2k2＋4)x＋k2＝0，Δ＝16k2＋16＞0，∴x1＋x2＝.∵直线l经过抛物线C的焦点F，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝＋2＝8，解得k＝±1，所以k的值为1或－1.14．设抛物线的焦点为，直线与抛物线交于不同的两点、，线段中点的横坐标为，且．（Ⅰ）求抛物线的标准方程；（Ⅱ）若直线（斜率存在）经过焦点，求直线的方程．【答案】（I）；（II）.【解析】（I）设点、，则线段中点横坐标为，，又，解得.因此，抛物线的标准方程为；（II）由（I）知，抛物线的焦点为，故可设直线的方程为，，联立方程组，消去，得，，解得，因此，直线的方程为．15．已知动圆M与直线相切，且与圆外切，记动圆M的圆心轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）若直线l与曲线C相交于A，B两点，且（O为坐标原点），证明直线l经过定点H，并求出H点的坐标.【答案】（1）（2）H（6,0），证明见解析【解析】（1）因为已知动圆与直线相切，且与圆外切，所以动圆的圆心到点的距离与动圆的圆心到直线的距离相等.    ∴动圆的圆心的轨迹是以为焦点的抛物线.   ∴曲线的方程.    （2）∵直线l与曲线相交于A，B两点，∴直线l的斜率不为0.设，，直线l的方程为.由，消去，得.    ∴，即.  ∴，.∵，∴.∴.    ∴，满足.   ∴直线l的方程为.∴直线l过定点H（6,0）.