专题20 抛物线的简单几何性质（知识精讲）-【新教材精创】2020-2021学年高二数学新教材知识讲学（人教A版选择性必修第一册）学案

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专题二十   抛物线的简单几何性质 一 知识结构图内  容考点关注点 抛物线的简单几何性质抛物线的简单几何性质性质运用直线与抛物线的位置关系   直线与抛物线的位置关系的判断及相关问题 二.学法指导1．抛物线的性质可以总结为五个“1”，即：一个顶点，一个焦点，一条准线，一条对称轴，离心率为1的无心圆锥曲线．2.抛物线中常见的几个结论：已知AB是抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点弦，且A(x1，y1)，B(x2，y2)．点F是抛物线的焦点(如图)．则有(1)y1y2＝－p2，x1x2＝.(2)|AB|＝x1＋x2＋p.(3)以过焦点的弦为直径的圆与准线相切．(4)以焦半径为直径的圆与y轴相切．3．应用抛物线性质解题的常用技巧(1)抛物线的中点弦问题用点差法较简便．(2)轴对称问题，一是抓住对称两点的中点在对称轴上，二是抓住两点连线的斜率与对称轴所在直线斜率的关系．(3)在直线和抛物线的综合题中，经常遇到求定值、过定点问题．解决这类问题的方法很多，如斜率法、方程法、向量法、参数法等．解决这些问题的关键是代换和转化．(4)圆锥曲线中的定点、定值问题，常选择一参数来表示要研究问题中的几何量，通过运算找到定点、定值，说明与参数无关，也常用特值探路法找定点、定值．三.知识点贯通知识点1   抛物线性质的应用标准方程y2＝2px(p＞0)y2＝－2px(p＞0)x2＝2py(p＞0)x2＝－2py(p＞0)图形性质焦点准线x＝－x＝y＝－y＝范围x≥0，y∈Rx≤0，y∈Ry≥0，x∈Ry≤0，x∈R对称轴x轴y轴顶点(0,0)离心率e＝1 例题1.如图，过抛物线y2＝2px(p＞0)的焦点F的直线依次交抛物线及准线于点A，B，C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝4，求抛物线的方程．     知识点二   直线与抛物线的位置关系直线与抛物线有三种位置关系：相离、相切和相交．设直线y＝kx＋m与抛物线y2＝2px(p＞0)相交于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，将y＝kx＋m代入y2＝2px，消去y并化简，得k2x2＋2(mk－p)x＋m2＝0.①k＝0时，直线与抛物线只有一个交点；②k≠0时，Δ＞0⇔直线与抛物线相交⇔有两个公共点．Δ＝0⇔直线与抛物线相切⇔只有一个公共点．Δ＜0⇔直线与抛物线相离⇔没有公共点．例题2：过定点P(0,1)作与抛物线y2＝2x只有一个公共点的直线有几条？     知识点三   中点弦及弦长公式直线过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F，与抛物线交于A(x1，y1)、B(x2，y2)两点，由抛物线的定义知，|AF|＝x1＋，|BF|＝x2＋，故|AB|＝x1＋x2＋p.例题3 .过点Q(4,1)作抛物线y2＝8x的弦AB，恰被点Q所平分，求AB所在直线的方程．      知识点四  抛物线的综合应用例题4．如图所示，抛物线关于x轴对称，它的顶点为坐标原点，点P(1,2)，A(x1，y1)，B(x2，y2)均在抛物线上．(1)求抛物线的方程及其准线方程；(2)当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时，证明：直线AB的斜率为定值．   五 易错点分析易错一  直线与抛物线的位置关系例题5.若直线l：y＝(a＋1)x－1与曲线C：y2＝ax(a≠0)恰好有一个公共点，试求实数a的取值集合．      误区警示
考虑直线与抛物线的位置关系，当含参数时，要分情况讨论。