第十五讲 导数与函数的零点-2022年新高二年级数学暑假精品课程（人教A版2019）练习题

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第十五讲 导数与函数的零点【考点剖析】考点一　判断零点的个数【例1】已知二次函数f(x)的最小值为－4，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}．(1)求函数f(x)的解析式；(2)求函数g(x)＝－4ln x的零点个数．解　(1)∵f(x)是二次函数，且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|－1≤x≤3，x∈R}，∴设f(x)＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a，且a>0.∴f(x)min＝f(1)＝－4a＝－4，a＝1.故函数f(x)的解析式为f(x)＝x2－2x－3.(2)由(1)知g(x)＝－4ln x＝x－－4ln x－2，∴g(x)的定义域为(0，＋∞)，g′(x)＝1＋－＝，令g′(x)＝0，得x1＝1，x2＝3.当x变化时，g′(x)，g(x)的取值变化情况如下表：X(0，1)1(1，3)3(3，＋∞)g′(x)＋0－0＋g(x)极大值极小值当0<x≤3时，g(x)≤g(1)＝－4<0，当x>3时，g(e5)＝e5－－20－2>25－1－22＝9>0.又因为g(x)在(3，＋∞)上单调递增，因而g(x)在(3，＋∞)上只有1个零点，故g(x)仅有1个零点．规律方法　利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g′(x)易求，g′(x)＝0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数．(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数．考点二　已知函数零点个数求参数的取值范围【例2】 函数f(x)＝ax＋xln x在x＝1处取得极值．(1)求f(x)的单调区间；(2)若y＝f(x)－m－1在定义域内有两个不同的零点，求实数m的取值范围．解　(1)函数f(x)＝ax＋xln x的定义域为(0，＋∞)．f′(x)＝a＋ln x＋1，因为f′(1)＝a＋1＝0，解得a＝－1，当a＝－1时，f(x)＝－x＋xln x，即f′(x)＝ln x，令f′(x)>0，解得x>1；令f′(x)<0，解得0<x<1.所以f(x)在x＝1处取得极小值，f(x)的单调递增区间为(1，＋∞)，单调递减区间为(0，1)．(2)y＝f(x)－m－1在(0，＋∞)内有两个不同的零点，可转化为y＝f(x)与y＝m＋1图象有两个不同的交点．由(1)知，f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，f(x)min＝f(1)＝－1，由题意得，m＋1>－1，即m>－2，①当0<x<e时，f(x)＝x(－1＋ln x)<0；当x>e时，f(x)>0.当x>0且x→0时，f(x)→0；当x→＋∞时，显然f(x)→＋∞.由图象可知，m＋1<0，即m<－1，②由①②可得－2<m<－1.所以m的取值范围是(－2，－1)．规律方法　与函数零点有关的参数范围问题，往往利用导数研究函数的单调区间和极值点，并结合特殊点，从而判断函数的大致图象，讨论其图象与x轴的位置关系，进而确定参数的取值范围；或通过对方程等价变形转化为两个函数图象的交点问题．考点三　函数零点的综合问题【例3】 设函数f(x)＝e2x－aln x.(1)讨论f(x)的导函数f′(x)零点的个数；(2)证明：当a>0时，f(x)≥2a＋aln .(1)解　f(x)的定义域为(0，＋∞)，f′(x)＝2e2x－(x>0)．当a≤0时，f′(x)>0，f′(x)没有零点；当a>0时，因为y＝e2x单调递增，y＝－单调递增，所以f′(x)在(0，＋∞)上单调递增．又f′(a)>0，假设存在b满足0<b<时，且b<，f′(b)<0，故当a>0时，f′(x)存在唯一零点．(2)证明　由(1)，可设f′(x)在(0，＋∞)上的唯一零点为x0，当x∈(0，x0)时，f′(x)<0；当x∈(x0，＋∞)时，f′(x)>0.故f(x)在(0，x0)上单调递减，在(x0，＋∞)上单调递增，所以当x＝x0时，f(x)取得最小值，最小值为f(x0)．由于2e2x0－＝0，所以f(x0)＝＋2ax0＋aln ≥2a＋aln .故当a>0时，f(x)≥2a＋aln .规律方法　1.在(1)中，当a>0时，f′(x)在(0，＋∞)上单调递增，从而f′(x)在(0，＋∞)上至多有一个零点，问题的关键是找到b，使f′(b)<0.2．由(1)知，函数f′(x)存在唯一零点x0，则f(x0)为函数的最小值，从而把问题转化为证明f(x0)≥2a＋aln .  【真题演练】1．（2021·全国高考真题）已知函数．（1）讨论的单调性；（2）从下面两个条件中选一个，证明：有一个零点①；②．2．（2021·浙江高考真题）设a，b为实数，且，函数（1）求函数的单调区间；（2）若对任意，函数有两个不同的零点，求a的取值范围；（3）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，满足.(注：是自然对数的底数)    【过关检测】1．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数在区间内有唯一零点，则实数的取值范围为（    ）A． B．C． D．2．（2021·黑龙江大庆市·铁人中学高三一模（理））下列命题为真命题的是（    ）A．函数有两个零点 B．“，”的否定是“，”C．若，则 D．幂函数在上是减函数，则实数3．（2021·全国高三其他模拟（理））已知函数．若的零点恰有个，则的取值范围是（    ）A． B．C． D．4．（2021·内蒙古赤峰市·高三二模（文））已知函数有且仅有两个零点，则实数（    ）A． B． C． D．5．（2021·山西高三一模（理））函数（，且）有两个零点，则a的取值范围为（    ）A． B． C． D．6．（2020·绵阳市·四川省绵阳江油中学高三月考）函数的零点个数为（   ）A． B． C． D．7．（2021·安徽亳州市·高二期末（文））已知函数有且仅有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．8．（2021·江苏连云港市·高二期末）已知函数有两个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）．A． B． C． D．9．（2021·全国高三其他模拟（理））若函数存在三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．10．（2021·黑龙江哈尔滨市第六中学校高三月考（文））若函数在区间有三个不同的零点，则实数的取值范围是（    ）A． B． C． D．11．（2021·河北沧州市·高二期末）已知函数．（Ⅰ）当时，求的极值；（Ⅱ）若在上有两个不同的零点，求a的取值范围．12．（2021·安徽安庆市·高三一模（理））函数.（1）讨论函数的极值；（2）当时，求函数的零点个数.