专题30 幂函数的概念、解析式、定义域、值域-2022新高考高中数学技巧之函数专题汇编

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幂函数的概念、解析式、定义域、值域一．选择题（共12小题） 1．（2019•贵州校级模拟）幂函数经过点，则是　　A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在是减函数 D．非奇非偶函数，且在上是增函数【解析】解：设幂函数的解析式为：，将代入解析式得：，解得，，故选：．2．（2019•延边州模拟）若函数是幂函数，且其图象过点，则函数的单调增区间为　　A． B． C． D．【解析】解：由题意得：，解得：，故，将代入函数的解析式得：，解得：，故，令，解得：，故在递增，故选：．3．（2019•天津校级模拟）当时，幂函数为减函数，则实数的值为　　A． B． C．或 D．【解析】解：因为函数既是幂函数又是的减函数，所以解得：．故选：．4．（2019•天津二模）已知点在幂函数的图象上，设，则，，的大小关系为　　A． B． C． D．【解析】解：函数是幂函数，解得，又点在的图象上，即，解得；，是偶函数，且在，上是单调增函数；，，，且，．故选：．5．（2005•湖北）在，，这三个函数中，当时，使恒成立的函数的个数是　　A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【解析】解：对于有，恒成立对于有，，，故选：．6．（2019秋•新罗区校级期中）若函数是幂函数，且图象与坐标轴无交点，则　　A．是偶函数 B．是奇函数 C．是单调递减函数 D．在定义域内有最小值【解析】解：幂函数的图象与坐标轴无交点，可得，且，解得，则函数．是奇函数，在定义域上不是减函数，且无最值．故选：．7．（2019秋•静宁县校级期末）已知函数是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数　　A． B．2 C．3 D．2或【解析】解：函数是幂函数，，解得：或，时，，有交点不合题意，时，，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故，故选：．8．（2019春•沙市区校级月考）若幂函数的图象过点，则　　A． B． C． D．【解析】解：幂函数的图象过点，（4），解得，，．故选：．9．（2019秋•万州区期末）已知幂函数在单调递增，则实数的值为　　A． B．3 C．或3 D．1或【解析】解：幂函数在单调递增，，解得或；又，时满足条件，则实数的值为3．故选：．10．（2019秋•辽源期末）已知是幂函数，且在第一象限是单调递减的，则的值为　　A． B．2 C．或2 D．3【解析】解：由题意得：，解得：，故选：．11．（2019春•淮南期末）幂函数在上单调递增，则的值为　　A．2 B．3 C．4 D．2或4【解析】解：由题意得：，解得，．故选：．12．（2019秋•南阳期末）已知幂函数在上单调递增，函数，，时，总存在，使得，则的取值范围是　　A． B．或 C．或 D．【解析】解：由是幂函数得：或2，而在上单调递增，则，，时，，，，时，，，若，时，总存在，使得，则，，，故，解得：，故选：．二．多选题（共1小题）13．（2020春•奎文区校级月考）若幂函数的图象经过点，则幂函数是　　A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数【解析】解：设幂函数 为常数），幂函数的图象经过点，，，，函数在单调递增，又，幂函数是奇函数，故选：．三．填空题（共12小题）14．（2018•上海）已知，，，1，2，，若幂函数为奇函数，且在上递减，则　　．【解析】解：，，，1，2，，幂函数为奇函数，且在上递减，是奇数，且，．故答案为：．15．（2019•山东学业考试）已知幂函数的图象过点，则（9）　3　．【解析】解：由题意令，由于图象过点，得，（9）．故答案为：3．16．（2020•攀枝花模拟）已知幂函数的图象经过点，则　　．【解析】解：函数为幂函数，则；又函数的图象经过点，则，解得；所以．故答案为：．17．（2019•攀枝花一模）若幂函数在上为增函数，则　4　．【解析】解：由题意得：，解得：或，若在递增，故，，，故答案为：4．18．（2019秋•内蒙古期末）若幂函数的图象过点，则（9）　　．【解析】解：设幂函数，幂函数的图象过点，，解得．，（9），故答案为：．19．（2019•碑林区校级一模）已知幂函数的图象不过坐标原点，则的值是　1或2　．【解析】解：幂函数的图象不过坐标原点，，即解得或2，当时，幂函数满足条件．当时，幂函数也满足条件．故答案为：或220．（2019秋•大兴区期末）已知幂函数的图象经过点，则　　．【解析】解：设幂函数的解析式为，幂函数的图象过点，，解得，．故答案为：21．（2019•上海模拟）幂函数的图象经过点，则的值为　4　【解析】解：根据题意，设幂函数，幂函数的图象经过点，则有，则，则，；故答案为：4．22．（2019秋•松山区校级期末）如果幂函数的图象经过点，则（4）　　．【解析】解：由题意（2），所以，所以，所以（4）故答案为：23．（2019春•香坊区校级期末）幂函数在上为增函数，则实数的值为　2　．【解析】解：由函数是幂函数，则，解得或；当时，，在上为减函数，不合题意；当时，，在上为增函数，满足题意．故答案为：2．24．（2019•昌平区二模）已知幂函数的图象经过点，则（4）的值为　2　．【解析】解：设幂函数，过点，，（4），故答案为：2．25．（2019春•福清市校级期末）已知幂函数的图象经过点，则　5　．【解析】解：幂函数的图象经过点，，且，，．故答案为：5．四．解答题（共8小题）26．（2019秋•泰山区校级期中）已知幂函数为偶函数．（1）求的解析式；（2）若在，上不是单调函数，求实数的取值范围．【解析】解：（1）由题意，解得：或3，若是偶函数，故；（2），的对称轴是，若在，上不是单调函数，则，解得：．27．（2019春•凯里市校级期中）已知一次函数的图象过点和，为幂函数．（Ⅰ）求函数与的解析式；（Ⅱ）当时，解关于的不等式：．【解析】解：根据一次函数的图象过点和，设，则，解得，则为幂函数，则，故即，则△当或时，不等式的解集为或，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为当时，不等式的解集为．28．（2019秋•天山区校级期中）已知幂函数为偶函数．（1）求的解析式；（2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围．【解析】解：（1）由为幂函数知，即，解得或；当时，，符合题意；当时，，为奇函数，不合题意，舍去；；（6分）（2）由（1）得，，则函数的对称轴为，由题意知函数在上为单调函数，对称轴或，解得或．（12分）29．（2019秋•浦东新区期末）已知是整数，幂函数在，上是单调递增函数．（1）求幂函数的解析式；（2）作出函数的大致图象；（3）写出的单调区间，并用定义法证明在区间，上的单调性．【解析】解：（1）由在，上单调递增可得：，，又，或，；（2）由于，所以．如图所示：（3）根据函数的图象：函数的单调减区间为：，和，．函数的单调增区间为，和，．证明：设，所以．所以．所以函数在区间，上为增函数．30．（2019秋•荆州区校级期中）已知幂函数的图象过定点．（1）求的值；（2）若存在，，使得，求实数的取值范围．【解析】解：（1）由幂函数的图象过点，得，解得；（2）由（1）得，从而，设在区间，上的最大值是（a），由于的图象是开口向上的抛物线，所以（a），（2）；又存在，使得，所以（a）；于是或者（2），解得；所以实数的取值范围是．31．（2019秋•琼海校级月考）已知幂函数的图象经过点．（1）求的解析式；（2）判断的单调性并用定义证明你的结论．【解析】解：（1）依题意，设，则，解得，；（2）为上的增函数，设，，，，因为，，，，，，在上单调递增．32．（2019秋•海林市校级期中）已知幂函数的图象过点．求：（1）解析式；（2）（3）的值．【解析】解：（1）设，因为的图象过点，所以，解得，所以，（2）由（1）知，所以（3）．33．（2020春•鼓楼区校级月考）已知幂函数的图象经过点，，（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）定义：若函数自变量的取值区间为，其值域区间为，则称区间为该函数的倍值区间．（1）试求函数的形如，的倍值区间；（2）设函数，试求函数的所有倍值区间．【解析】解：（Ⅰ）设幂函数为常数），幂函数图象过点，，，，幂函数；（Ⅱ）（1）幂函数，在区间上单调递增，，解得或2，又，所求区间为；（2）显然，因为函数值非负，所以区间左端点非负．①若所求区间为，型区间，则，解得或5；经检验，，均符合条件；②若为抛物线顶点纵坐标，则，但，不合题意，舍去；③若所求区间不是型区间，显然区间右端点不能超过3，且左端点应大于，在该单调减区间内，则该方程组无解，故所求区间为，；