人教A版 (2019)必修 第一册第三章 函数概念与性质3.2 函数的基本性质练习

函数奇偶性的应用

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.(多选题)已知函数y=f(x)是定义在R上的奇函数,则下列函数中是偶函数的是(　　)

A.y=f(|x|)　　 B.y=f(x2)

C.y=x·f(x)  D.y=f(x)+x

【解析】选A、B、C.因为f(x)的定义域为R,又因为f(|-x|)=f(|x|),所以A是偶函数;

令F(x)=f(x2),则F(-x)=f(x2)=F(x),

所以F(x)是偶函数,即B是偶函数;

令M(x)=x·f(x),则M(-x)=-x·f(-x)=x·f(x)=M(x),所以M(x)是偶函数,即C是偶函数;

令N(x)=f(x)+x,则N(-x)=f(-x)-x=-f(x)-x=-[f(x)+x]=-N(x),所以N(x)是奇函数,即D是奇函数.

2.已知函数f(x)=|x-1|+a|x+1|,则“a=-1”是“f(x)为奇函数”的(　　)

A.充分而不必要条件  B.必要而不充分条件

C.充分必要条件   D.既不充分也不必要条件

【解析】选C.若函数f(x)为奇函数,且函数f(x)的定义域为R,

f(x)+f(-x)=|x-1|+a|x+1|+|-x-1|+

a|-x+1|=|x-1|+|x+1|+a|x+1|+a|x-1|=

(a+1)(|x-1|+|x+1|)=0,

所以a+1=0,解得a=-1.

所以“a=-1”是“f(x)为奇函数”的充分必要条件.

3.偶函数y=f(x)在区间[0,4]上单调递减,则有(　　)

A.f(-1)>f>f(-π)

B.f>f(-1)>f(-π)

C.f(-π)>f(-1)>f

D.f(-1)>f(-π)>f

【解析】选A.因为f(x)是偶函数,所以f(-1)=f(1),f(-π)=f(π).又f(x)在[0,4]上单调递减,所以f(1)>f>f(π).所以f(-1)>f>f(-π).

4.已知函数y=f(x)是偶函数,其图象与x轴有四个交点,则方程f(x)=0的所有实根之和是(　　)

A.4　　　　B.2　　　　C.1　　　　D.0

【解析】选D.因为偶函数y=f(x)的图象关于y轴对称,所以f(x)与x轴的四个交点也关于y轴对称.

因此,若一根为x1,则它关于y轴对称的根为-x1;

若另一根为x2,则它关于y轴对称的根为-x2.

所以f(x)=0的四根之和为x1+(-x1)+x2+(-x2)=0.

5.已知f(x)在[a,b]上是奇函数,且f(x)在[a,b]上的最大值为m,则函数F(x)=f(x)+3在[a,b]上的最大值与最小值之和为(　　)

A.2m+3 B.2m+6

C.6-2m  D.6

【解析】选D.因为奇函数f(x)在[a,b]上的最大值为m,所以它在[a,b]上的最小值为-m,所以函数F(x)=f(x)+3在[a,b]上的最大值与最小值之和为m+3+(-m+3)=6.

6.已知f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-4x,则不等式xf(x)>0的解集为(　　)

A.(-∞,-4)∪(4,+∞)

B.(-4,0)∪(4,+∞)

C.(-∞,-4)∪(0,4)

D.(-4,4)

【解析】选A.因为f(x)是定义在R上的奇函数,当x>0时,f(x)=x2-4x,

所以当x<0时,f(x)=-x(x+4),

当x>0时,xf(x)>0⇒f(x)>0⇒x2-4x>0⇒x>4,

当x<0时,xf(x)>0⇒f(x)<0⇒-x(x+4)<0⇒x<-4,

所以不等式xf(x)>0的解集为(-∞,-4)∪(4,+∞).

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.设f(x)是偶函数,g(x)为奇函数,又f(x)+g(x)=,则f(x)=　　　　,g(x)=　　　　. 

【解析】因为f(x)+g(x)=,　①

所以f(-x)+g(-x)=.又f(x)为偶函数,

g(x)为奇函数,所以f(x)-g(x)=.　②

①+②,得f(x)=,①-②,得g(x)=.

答案:　

8.已知f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,f(1)=0,则不等式f(x)>0的解集为　　　　. 

【解析】根据题意,由于f(1)=0,

则f(x)>0⇒f(x)>f(1),

f(x)是R上的偶函数,且在[0,+∞)上单调递减,

则f(x)>f(1)⇒f(|x|)>f(1)⇒|x|<1,

解得-1<x<1,

则不等式f(x)>0的解集为{x|-1<x<1}.

答案:{x|-1<x<1}

【补偿训练】

定义在R上的奇函数f(x)单调递减,则不等式f(2x+1)+f(x2-4)>0的解集为　　　　. 

【解析】因为f(x)是R上的奇函数,且单调递减,

所以由f(2x+1)+f(x2-4)>0得

f(2x+1)>f(4-x2);

所以2x+1<4-x2;

解得-3<x<1;

所以原不等式的解集为(-3,1).

答案:(-3,1)

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,且f(x)+g(x)

=(x2+1)(x+1),求f(x),g(x).

【解析】因为f(x)是偶函数,g(x)是奇函数,

所以f(-x)=f(x),g(-x)=-g(x).

在已知条件中,将x全部换成-x,

得f(-x)+g(-x)=(x2+1)(-x+1),

即f(x)-g(x)=(x2+1)(-x+1).

由

得f(x)=x2+1,g(x)=x(x2+1).

10.判断函数f(x)=|x+a|-|x-a|(a∈R)的奇偶性.

【解析】对a进行分类讨论.

若a=0,则f(x)=|x|-|x|=0.

因为定义域为R,关于坐标原点对称.

所以f(x)既是奇函数又是偶函数.

若a≠0,因为f(-x)=|-x+a|-|-x-a|=|x-a|-|x+a|=-(|x+a|-|x-a|)=-f(x),所以f(x)是奇函数.

综上,当a=0时,函数f(x)既是奇函数又是偶函数;当a≠0时,函数f(x)是奇函数.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.已知f(x)=ax3+bx+1,且f(5)=7,则f(-5)的值是(　　)

A.-5 B.-7 C.5  D.7

【解析】选A.因为f(x)=ax3+bx+1,令g(x)=ax3+bx,f(x)=g(x)+1,则g(-x)=a(-x)3+b·(-x)=-(ax3+bx)=-g(x),

即g(x)=ax3+bx为奇函数,

又f(5)=7,所以f(5)=g(5)+1=7,

所以g(5)=6,所以g(-5)=-g(5)=-6,

所以f(-5)=g(-5)+1=-6+1=-5.

2.函数f(x)在R上为减函数,且为奇函数,若f(1)=-1,则满足-1≤f(x-2)≤1的x的取值范围是(　　)

A.[-2,2]　　 B.[-1,1]

C.[0,4]   D.[1,3]

【解析】选D.因为f(x)为R上的奇函数,f(1)=-1,

所以f(-1)=-f(1)=1,

由-1≤f(x-2)≤1,得f(1)≤f(x-2)≤f(-1),

又因为f(x)在R上单调递减,

所以-1≤x-2≤1,所以1≤x≤3.

3.(多选题)定义在(-∞,+∞)上的偶函数f(x)满足f(x+1)=-f(x),且f(x)在[-1,0]上是增函数,则(　　)

A.f(x)是周期函数

B.f(x)的图象关于x=1对称

C.f(x)在[0,1]上单调递增

D.f(x)在[1,2]上单调递减

【解析】选A、B.由于f(x+1)=-f(x),所以f(x+2)=-f(x+1)=f(x),周期为2,故A正确;

由于f(2-x)=f(-x)=f(x),图象关于直线x=1对称,故B正确;

偶函数在定义域内关于坐标原点对称的区间上的单调性相反,故C不正确;

根据周期性,函数在[1,2]上的单调性与[-1,0]上的单调性相同,故D不正确.

4.已知f(x)=ax7-bx5+cx3+2,且f(-5)=m,则f(5)+f(-5)的值为(　　)

A.4　　　B.0　　　C.2m　　　D.-m+4

【解析】选A.由f(-5)=a(-5)7-b(-5)5+c(-5)3+2=-a·57+b·55-c·53+2=m,

得a·57-b·55+c·53=2-m,则f(5)=a·57-b·55+c·53+2=2-m+2=4-m.

所以f(5)+f(-5)=4-m+m=4.

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.已知f(x)为定义在R上的奇函数,当0≤x≤1时,f(x)=x(1-x) ,则当-1≤x<0时,f(x)=　　　　　. 

【解析】当-1≤x<0时,

f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x).

答案:x(1+x)

6.设函数f(x)=为奇函数,则实数a=　　　　　. 

【解析】因为函数f(x)=为奇函数,

所以f(-x)+f(x) =+=0,

化简可得a+1=0,解得a=-1.

答案:-1

7.f(x)是定义在R上的奇函数,且单调递减,若f(2-a)+f(4-a)<0,则a的取值范围为　　　　. 

【解析】因为f(2-a)+f(4-a)<0,

所以f(2-a)<-f(4-a).

又因为f(x)为奇函数,所以-f(4-a)=f(a-4),

所以f(2-a)<f(a-4).又因为f(x)是单调递减函数,所以2-a>a-4,所以a<3.

答案:a<3

8.已知f(x)为奇函数,且当x<0时,f(x)=x2+3x+2.若当x∈[1,3]时,f(x)的最大值为m,最小值为n,则m-n的值为　　　　. 

【解析】因为x<0时,f(x)=x2+3x+2=-,

所以当x∈[-3,-1]时,

f(x)min=f=-,f(x)max=f(-3)=2.

因为f(x)为奇函数,所以f(x)在x∈[1,3]上的最小值和最大值分别是-2,,

所以m=,n=-2.所以m-n=-(-2)=,即m-n的值为.

答案:

三、解答题(共30分)

9.(10分)已知函数f(x)是偶函数,当x∈[0,+∞)时,f(x)=x-1,求满足f(x-1)<0的x的取值范围.

【解析】设x<0,则-x>0,所以f(-x)=-x-1,

因为f(x)为偶函数,所以f(-x)=f(x),即f(x)=-x-1(x<0),

所以f(x)=

所以f(x-1)=

当x≥1时,由f(x-1)=x-2<0,得x<2,

所以1≤x<2;

当x<1时,由f(x-1)=-x<0,得x>0,

所以0<x<1,

综上可知,满足f(x-1)<0的x的取值范围为{x|0<x<2}.

10.(10分)已知函数f(x)=(x+a)(x+b)(a,b∈R)为R上的偶函数.

(1)求a,b的关系式.

(2)求关于x的方程f(x)=0的解集.

【解析】(1)因为f(x)=(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab是偶函数,所以f(-x)=f(x)对于x∈R恒成立,

所以(-x)2-(a+b)x+ab=x2+(a+b)x+ab,

即2(a+b)x=0对于x∈R恒成立,

所以a+b=0,即b=-a.

(2)由(1)可知,f(x)=x2-a2.

当a=0时,f(x)=x2=0,解得x=0;

当a≠0时,f(x)=x2-a2=0,解得x=±a.

综上所述,当a=0时,方程f(x)=0的解集为{0};

当a≠0时,方程f(x)=0的解集为{-a,a}.

11.(10分)定义在(-1,1)上的函数f(x)满足:

①对于任意x,y∈(-1,1)都有f(x)+f(y)=f;

②f(x)在(-1,1)上单调递增,且f=1.

(1)求f(0).

(2)证明f(x)为奇函数.

(3)解不等式f(2x-1)<1.

【解析】(1)令x=y=0,则f(0)+f(0)=f(0),所以f(0)=0.

(2)令y=-x,则f(x)+f(-x)=f(0)=0,

即f(-x)=-f(x),所以f(x)是奇函数.

(3)因为f(x)在(-1,1)上单调递增,f=1,

所以f(2x-1)<1=f可化为

解得0<x<.所以不等式f(2x-1)<1的解集为.