人教A版 (2019)必修 第一册4.2 指数函数同步测试题

指数函数的图象和性质的应用

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.已知指数函数f(x)=(2a2-5a+3)ax在R上单调递增,则a的值为(　　)

A.3  B.2  C.  D.

【解析】选B.由2a2-5a+3=1,解得a=2,a=,

又函数在R上单调递增,则a=2,f(x)=2x.

2.函数y=的单调递增区间是(　　)

A.(-∞,2]  B.[2,+∞)

C.[1,2]  D.[1,3]

【解析】选A.令u=-3+4x-x2,y=3u为增函数,所以y=的增区间就是u=-3+4x-x2的增区间(-∞,2].

3.能满足不等式<的a的取值范围为(　　)

A.  B.(1,2)

C.(0,4)   D.

【解析】选D.因为y=在R上是减函数且<,所以2a+1>3-2a,即a>.

结合选项知D符合.

4.若2x+1<1,则x的取值范围是(　　)

A.(-1,1)    B.(-1,+∞)

C.(0,1)∪(1,+∞)  D.(-∞,-1)

【解析】选D.不等式2x+1<1=20,

因为y=2x在R上是增函数,所以x+1<0,

即x<-1.

5.若f(x)=3x+1,则(　　)

A.f(x)在[-1,1]上单调递减

B.y=3x+1与y=+1的图象关于y轴对称

C.f(x)的图象过点(0,1)

D.f(x)的值域为[1,+∞)

【解析】选B.f(x)=3x+1在R上单调递增,则A错误;y=3x+1与y=3-x+1的图象关于y轴对称,则B正确;由f(0)=2,得f(x)的图象过点(0,2),则C错误;由3x>0,可得f(x)>1,则D错误.

6.函数y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为,则函数y=3a2x-1在[0,1]上的最大值为(　　)

A.16 B.15 C. 12 D.

【解析】选C.因为函数y=ax在定义域上是单调函数,且y=ax在[0,1]上的最大值与最小值的和为,所以1+a=,解得a=,所以函数y=3·a2x-1=3·=12·,因为函数y=在定义域上为减函数,所以y=3·a2x-1在[0,1]上的最大值为当x=0时,函数值是12.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.设f(x)是定义在R上的奇函数,且当x>0时f(x)=2x-3,则当x<0时f(x)=　　　　. 

【解析】设x<0,则-x>0,所以f(-x)=2-x-3,

又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x),

所以-f(x)=2-x-3,所以f(x)=3-2-x.

答案:3-2-x

8.若函数f(x)=则不等式f(x)≥的解集为　　　　. 

【解析】当x≥0时,由f(x)≥,得≥,所以0≤x≤1.当x<0时,不等式≥明显不成立,综上可知不等式f(x)≥的解集是{x|0≤x≤1}.

答案:{x|0≤x≤1}

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.解下列方程:(1)33x-2=81.

(2)=.

(3)52x-6×5x+5=0.

【解析】(1)因为81=34,所以33x-2=34,

所以3x-2=4,解得x=2.

(2)因为=,所以=,所以=,解得x=.

(3)令t=5x,则t>0,原方程可化为t2-6t+5=0,解得t=5或t=1,即5x=5或5x=1,所以x=1或x=0.

10.已知f(x)=9x-2×3x+4,x∈[-1,2].

(1)设t=3x,x∈[-1,2],求t的最大值与最小值.

(2)求f(x)的最大值与最小值.

【解析】(1)设t=3x,x∈[-1,2],函数t=3x在[-1,2]上是增函数,故有≤t≤9,故t的最大值为9,最小值为.

(2)由f(x)=9x-2×3x+4=t2-2t+4=(t-1)2+3,可得此二次函数的对称轴为t=1,且≤t≤9,故当t=1时函数有最小值3,t=9时函数有最大值67.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.已知>,则a,b的大小关系是(　　)

A.1>a>b>0 B.a<b

C.a>b   D.1>b>a>0

【解析】选B.因为f(x)=是减函数且>,所以a<b.

2.若函数f(x)=(1-2a)x在实数集R上是减函数,则实数a的取值范围是(　　)

A.  B.

C.   D.

【解析】选B.由已知,得0<1-2a<1,解得0<a<,

即实数a的取值范围是.

3.(多选题)若4x+2x+1+m>1对一切实数x成立,则能满足不等式的实数m的取值可以是(　　)

A.-1 B.1  C.0  D.2

【解析】选BD.4x+2x+1+m>1等价于(2x)2+2·2x+1>2-m,即(2x+1)2>2-m.

因为2x∈(0,+∞),所以2x+1∈(1,+∞),所以2-m≤1.解得m≥1.

4.若方程++a=0有正数解,则实数a的取值范围是(　　)

A.(-3,0) B.(0,1)

C.(0,3)  D.(3,6)

【解析】选A.令=t,因为方程有正根,所以t∈(0,1).方程转化为t2+2t+a=0,所以a=1-(t+1)2.因为t∈(0,1),所以a∈(-3,0).

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.若-1<x<0,a=2-x,b=2x,c=0.2x,则a,b,c的大小关系是　　　　. 

【解析】因为-1<x<0,所以由指数函数的图象和性质可得:2x<1,2-x>1,0.2x>1,又因为0.5x<0.2x,所以b<a<c.

答案:b<a<c

6.已知定义在R上的奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)+g(x)=ax-a-x+2(a>0,且a≠1).若g(2)=a,则a=　　　;f(2)=　　　. 

【解析】因为f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,

所以由f(x)+g(x)=ax-a-x+2,①

得-f(x)+g(x)=a-x-ax+2,②

①+②,得g(x)=2,①-②,得f(x)=ax-a-x.

又g(2)=a,所以a=2,所以f(x)=2x-2-x,

所以f(2)=22-2-2=.

答案:2　

7.若0<a<1,函数y=ax在[-1,1]上的最大值与最小值的差是1,则底数a=　　　　. 

【解析】若0<a<1,则a-1-a=1,即a2+a-1=0,

解得a=或a=(舍去).

答案:

8. 已知函数f(x)=2|x-a|(a为常数),若f(x)在[1,+∞)上是增函数,则a的取值范围是　　　　. 

【解析】由函数f(x)=2|x-a|=可得,

当x≥a时函数为增函数,而已知f(x)在[1,+∞)上为增函数,所以a≤1.

答案:(-∞,1]

三、解答题(共30分)

9.(10分)已知3x≤,求函数y=的值域.

【解析】由3x≤,得3x≤3-2x+6,

所以x≤-2x+6,解得x≤2.

又因为y=在x∈(-∞,2]上是减函数,

所以y=≥=,

故y=的值域为.

10.(10分)已知函数f(x)=-1.

(1)作出f(x)的简图.

(2)若关于x的方程f(x)=3m有两个解,求m的取值范围.

【解析】(1)f(x)=如图所示:

(2)作出直线y=3m,当-1<3m<0,即-<m<0时函数y=f(x)与y=3m有两个交点,即关于x的方程f(x)=3m有两个解.

11.(10分)已知函数f(x)=1-.

(1)求函数f(x)的定义域,判断并证明f(x)的奇偶性.

(2)用单调性定义证明函数f(x)在其定义域上是增函数.

(3)解不等式f(3m+1)+f(2m-3)<0.

【解析】(1)因为3x>0,3x+1≠0,函数f(x)的定义域为R,f(x)=1-==,

所以f(-x)===-f(x).

所以f(x)是定义在R上的奇函数.

(2)任取x1,x2∈R且x1<x2,则

f(x1)-f(x2)=1--=-==,

因为x1<x2,所以-<0.

f(x1)-f(x2)<0即f(x1)<f(x2),所以函数f(x)在其定义域上是增函数.

(3)由f(3m+1)+f(2m-3)<0得f(3m+1)<-f(2m-3),因为函数f(x)为奇函数,所以-f(2m-3)=f(3-2m),

所以f(3m+1)<f(3-2m).由(2)已证得函数f(x)在R上是增函数,所以f(3m+1)<f(3-2m)⇔3m+1<3-2m,所以m<.

不等式f(3m+1)+f(2m-3)<0的解集为.