高中人教A版 (2019)4.4 对数函数当堂检测题

对数函数的图象和性质的应用

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.已知函数f(x)=3+loga(2x+3)(a>0且a≠1)的图象必经过定点P,则P点坐标是(　　)

A.(1,3)  B.  C.(-1,3) D.(-1,4)

【解析】选C.令2x+3=1,解得x=-1,所以f(-1)=3,因此函数f(x)=3+loga(2x+3)的图象过定点(-1,3).

2.函数f(x)=|lox|的单调递增区间是(　　)

A. B.(0,1]

C.(0,+∞) D.[1,+∞)

【解析】选D.f(x)的图象如图所示,由图象可知单调递增区间为[1,+∞).

3.已知a>0且a≠1,函数y=ax与y=loga(-x)的图象可能是下图中的(　　)

【解析】选B.因为函数y=loga(-x)中,-x>0,

所以x<0,故其图象应在y轴左侧,排除A、D;

又函数y=ax与y=loga(-x)的单调性相反,排除C.

4.设a=log3,b=log5,c=log7,则(　　)

A.c>b>a B.b>c>a

C.a>c>b D.a>b>c

【解析】选D.因为log3=log32-1,log5=log52-1,log7=log72-1,log32>log52>log72,故a>b>c.

5.函数y=log2(x+)(x∈R)的奇偶性为(　　)

A.奇函数   B.偶函数

C.非奇非偶函数 D.既是奇函数又是偶函数

【解析】选A.当x∈R时,f(-x)=log2(-x+)=log2(-x)

=log2=log2

=-log2(+x)=-f(x).故函数是奇函数.

6.若函数f(x)=loga(6-ax)在[0,2]上为减函数,则a的取值范围是(　　)

A.(0,1)  B.(1,3)  C.(1,3]  D.[3,+∞)

【解析】选B.函数由y=logau,u=6-ax复合而成,因为a>0,所以u=6-ax是减函数,那么函数y=logau就是增函数,所以a>1,因为[0,2]为定义域的子集,且当x=2时,u=6-ax取得最小值,所以6-2a>0,解得a<3,所以1<a<3.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.函数f(x)=ln x2的定义域是　　　,减区间为　　　. 

【解析】由x2>0知定义域为{x|x≠0}.

由复合函数的单调性知单调递减区间是(-∞,0).

答案:{x|x≠0}　(-∞,0)

8.已知函数f(x)=log2为奇函数,则实数a的值为　　　　. 

【解析】由奇函数得f(x)=-f(-x),log2

=-log2,=,a2=1,

因为a≠-1,所以a=1.

答案:1

【补偿训练】

下列函数中,其定义域和值域分别与函数y=10lg x的定义域和值域相同的是(　　)

A.y=x　　B.y=lg x　　C.y=2x　　D.y=

【解析】选D.函数y=10lg x的定义域与值域均为(0,+∞).函数y=x的定义域与值域均为(-∞,+∞).函数y=lg x的定义域为(0,+∞),值域为(-∞,+∞).函数y=2x的定义域为(-∞,+∞),值域为(0,+∞).函数y=的定义域与值域均为(0,+∞).

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.设f(x)=lo满足f(-x)=-f(x),a为常数.

(1)求a的值.(2)证明f(x)在(1,+∞)内单调递增.

【解析】(1)因为f(-x)=-f(x).

所以lo=-lo⇒=>0⇒1-a2x2=1-x2⇒a=±1,检验a=1(舍),

所以a=-1.

(2)任取x1>x2>1,所以x1-1>x2-1>0.

所以0<<⇒1<1+<1+⇒1<<⇒lo>lo,即f(x1)>f(x2),

所以f(x)在(1,+∞)内单调递增.

10.设函数f(x)=(log2x+log24)(log2x+log22)的定义域为.

(1)若t=log2x,求t的取值范围.

(2)求y=f(x)的最大值与最小值,并求出取最值时对应的x的值.

【解析】(1)因为t=log2x为单调递增函数,而x∈,

所以t的取值范围为,即t∈[-2,2].

(2)记t=log2x,则y=f(x)=(log2x+2)(log2x+1)

=(t+2)(t+1)(-2≤t≤2).

因为y=-在上是减函数,在上是增函数,

所以当t=log2x=-,即x==时,

y=f(x)有最小值f=-;

当t=log2x=2,即x=22=4时,

y=f(x)有最大值f(4)=12.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.函数y=|log2x|的图象是图中的(　　)

【解析】选A.有关函数图象的变换是高考的一个考点,本题目的图象变换是翻折变换,可知这个函数是由y=log2x经上折而得到的.

2.若函数f(x)=log3x在区间[2,2a]上的最大值比最小值大,则实数a=(　　)

A.  B.2  C.2  D.4

【解析】选A.因为函数f(x)=log3x在区间[2,2a]上单调递增,所以f(2a)-f(2)=log3(2a)-log32=,解得a=.

3.函数y=f(x)=lg的图象的对称性为(　　)

A.关于直线y=x对称

B.关于x轴对称

C.关于y轴对称

D.关于原点对称

【解析】选D.因为y=f(x)=lg=lg ,所以f(-x)=lg =-lg =-f(x),又因为函数的定义域为(-1,1),关于原点对称,则函数为奇函数,所以函数图象关于原点对称.

4.已知函数f(x)=|lg x|,若0<a<b,且f(a)=f(b),则a+2b的取值范围是(　　)

A.(2,+∞) B.[2,+∞)

C.(3,+∞)  D.[3,+∞)

【解析】选C.因为f(a)=f(b),所以|lg a|=|lg b|,

所以a=b(舍去)或b=,所以a+2b=a+,

又0<a<b,所以0<a<1<b,令f(a)=a+.

由“对勾”函数的性质知f(a)在a∈(0,1)上为减函数,

所以f(a)>f(1)=1+=3.

即a+2b的取值范围是(3,+∞).

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.方程log5(2x+1)=log5(x2-2)的解为　　　　. 

【解析】由题意,知解得x=3.

答案:x=3

6.函数f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],则b-a的最小值为　　　　. 

【解析】由题知函数f(x)=|log3x|在区间[a,b]上的值域为[0,1],当f(x)=0时,x=1;当f(x)=1时,x=3或.故要使值域为[0,1],定义域可以为[x,3],也可以为(1≤x≤3),因此,b-a的最小值为.

答案:

7.方程2|x|+x=2的实数根的个数为　　　　. 

【解析】由2|x|+x=2,得2|x|=2-x.

在同一平面直角坐标系中作出y=2|x|与y=2-x的图象,如图所示,两个函数图象有且仅有2个交点,故方程有2个实数根.

答案:2

8.已知f(x)是定义在R上的偶函数,且在[0,+∞)上为增函数,f=0,则不等式f(lox)>0的解集为　　　　.不等式f(lox)<0的解集为　　　　. 

【解析】因为f(x)是R上的偶函数,所以它的图象关于y轴对称.

因为f(x)在[0,+∞)上为增函数,

所以f(x)在(-∞,0]上为减函数.由f=0得f=0.所以f(lox)>0⇒lox<-或lox>⇒x>2或0<x<,所以x∈∪(2,+∞).所以不等式f(lox)<0的解集为.

答案:∪(2,+∞)　

三、解答题(共30分)

9.(10分)已知函数y=lo(x2-ax+a)在区间(-∞,)上单调递增,求实数a的取值范围.

【解析】令g(x)=x2-ax+a,g(x)在上单调递减,

因为0<<1,所以y=log(x)是减函数,而已知复合函数y=lo(x2-ax+a)在区间(-∞,)上单调递增,所以只要g(x)在(-∞,)上单调递减,且g(x)>0,x∈(-∞,)恒成立,即

所以2≤a≤2(+1),

故所求a的取值范围是[2,2(+1)].

10.(10分)(1)已知函数y=lg(x2+2x+a)的定义域为R,求实数a的取值范围.

(2)已知函数f(x)=lg[(a2-1)x2+(2a+1)x+1],若f(x)的定义域为R,求实数a的取值范围.

【解析】(1)因为y=lg(x2+2x+a)的定义域为R,

所以x2+2x+a>0恒成立,

所以Δ=4-4a<0,所以a>1.

故a的取值范围是(1,+∞).

(2)依题意(a2-1)x2+(2a+1)x+1>0对一切x∈R恒成立.

当a2-1≠0时

解得a<-.

当a2-1=0时,显然(2a+1)x+1>0,对x∈R不恒成立.

所以a的取值范围是.

11.(10分)已知函数f(x)=loga在区间[1,2]上的值恒为正,求实数a的取值范围.

【解析】(1)当a>1时,只需x+1>1,

即x>0.

因为1≤x≤2,所以-2>0,

即a<,这与a>1矛盾.

(2)当0<a<1时,设g(x)=x+1,

只需0<g(x)<1.

①当a=时,g(x)=1,f(x)=0,不符合题意;

②当0<a<时,-2>0,g(x)是增函数,只要g(1)>0,且g(2)<1,解得<a<1,与0<a<矛盾;

③当<a<1时,-2<0,g(x)是减函数,只要g(2)>0,且g(1)<1,解得<a<.

综上可知,a的取值范围是.