高中人教A版 (2019)第四章 指数函数与对数函数4.5 函数的应用（二）当堂达标检测题

函数的零点与方程的解

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.函数f(x)=log2x的零点是(　　)

A.1  B.2  C.3  D.4

【解析】选A.令f(x)=0即log2x=0得x=1.

2.以下函数在区间(0,2)上必有零点的是(　　)

A.y=x-3 B.y=2x  C.y=x3  D.y=lg x

【解析】选D.画出A,B,C,D四个选项的函数图象可知,只有D选项中y=lg x在区间(0,2)上有零点.

3.函数f(x)=x-的零点有(　　)

A.0个  B.1个  C.2个  D.无数个

【解析】选C.令f(x)=0,即x-=0,所以x=±2.故f(x)的零点有2个.

4.已知函数f(x)=ex-x-2有一个零点所在的区间为(k,k+1)(k∈N*),则k可能等于(　　)

A.0  B.1  C.2  D.3

【解析】选B.因为f(1)=e-1-2<0,f(2)=e2-2-2>0,f(3)=e3-3-2>0,f(4)=e4-4-2>0,所以f(1)f(2)<0,且函数的图象连续不断,所以函数f(x)=ex-x-2有一个零点所在的区间为(1,2),故k可能等于1.

5.函数f(x)的图象是连续不断的曲线,求方程f(x)=0在(1,2)内近似解的过程中得f(1)<0,f(1.5)>0,f(1.25)<0,则方程的解所在区间为(　　)

A.(1.25,1.5) B.(1,1.25)

C.(1.5,2)  D.不能确定

【解析】选A.由于f(1.25)·f(1.5)<0,则方程的解所在区间为(1.25,1.5).

6.(多选题)已知函数f(x)=则该函数零点为(　　)

A.4　　　　B. 3　　　　C. -4　　　　D.0

【解析】选A、C、D.当x<0时,x(x+4)=0,所以x=0或x=-4,因为x<0,所以x=-4.当x≥0时,x(x-4)=0,所以x=0或x=4,因为x≥0,所以x=4或x=0.故函数的零点为-4,0,4.

二、填空题(每小题5分,共10分)

7.已知方程mx2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,则实数m的取值范围是　　　　. 

【解析】设f(x)=mx2-x-1,因为方程mx2-x-1=0在(0,1)内恰有一解,当m=0时,方程-x-1=0在(0,1)内无解;当m≠0时,由f(0)=-1<0,得f(1)=m-2>0,解得m>2.

答案:(2,+∞)

8.(1)将函数y=ex的图象先向右平移1个单位,再向下平移3个单位,得到函数y=f(x)的图象,则函数y=f(x)的零点为　　　　. 

(2)函数f(x)=的零点个数为　　　个. 

【解析】(1)将函数y=ex的图象先向右平移1个单位,再向下平移3个单位,得到函数y=ex-1-3.令y=ex-1-3=0,得到其零点为1+ln 3.

(2)方程x+2=0(x<0)的解为x=-2,方程x2-1=0(x>0)的解为x=1,所以函数f(x)有两个零点:-2与1.

答案:(1)1+ln 3　(2)2

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.判断下列函数是否存在零点,如果存在,求出零点.

(1)f(x)=.

(2)f(x)=4x+5.

(3)f(x)=log3(x+1).

【解析】(1)令=0,解得x=1,所以函数存在零点,且零点为1.

(2)令4x+5=0,显然方程4x+5=0无实数根,所以函数f(x)不存在零点.

(3)令log3(x+1)=0,解得x=0,所以函数f(x)存在零点,且零点为0.

10.确定函数f(x)=lox+x-4的零点个数.

【解析】设y1=lox,y2=4-x,则f(x)的零点个数,即y1与y2的交点个数,作出两函数的图象如图.

由图知,y1与y2在区间(0,1)内有一个交点,

当x=4时,y1=-2,y2=0;

当x=8时,y1=-3,y2=-4,

所以在(4,8)内两函数图象又有一个交点,

所以两函数图象有两个交点,

即函数f(x)=lox+x-4有两个零点.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分,共20分)

1.已知函数f(x)的图象是连续不断的,有如下x,f(x)的对应值表:

则函数f(x)在区间[1,6]上的零点至少有(　　)

A.2个　　　B.3个　　　C.4个　　　D.5个

【解析】选B.由已知数表可知f(2)·f(3)=10×(-7)<0,f(3)·f(4)=(-7)×6<0,f(4)×f(5)=6×(-4)<0,故函数f(x)在(2,3),(3,4),(4,5)上分别存在零点,故至少有3个零点.

2.高斯是德国著名的数学家,近代数学奠基者之一,享有“数学王子”的称号,设x∈R,用[x]表示不超过x的最大整数,y=[x]也被称为“高斯函数”,例如[2.1]=2,[3]=3,[-1.5]=-2,设x0为函数f(x)=log2x--1的零点,则[x0]=(　　)

A.2  B.3  C.4  D.5

【解析】选B.f(x)=log2x--1,函数在(0,+∞)上单调递增,f(3)=log23-2<0,f(4)=log24--1=>0,若f(x0)=0,则x0∈(3,4),所以[x0]=3.

3.已知曲线y=与y=x的交点的横坐标是x0,则x0的取值范围是(　　)

A. B.

C. D.(1,2)

【解析】选A.设f(x)=-x,则f(0)=1>0,f=-=-<0,f(1)=-1<0,f(2)=-2<0,显然有f(0)·f<0.

4.(多选题)若函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象为一条连续不断的曲线,则下列说法不正确的是(　　)

A.若f(a)f(b)>0,不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0

B.若f(a)f(b)<0,存在且只存在一个实数c∈(a,b)使得f(c)=0

C.若f(a)f(b)>0,有可能存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0

D.若f(a)f(b)<0,有可能不存在实数c∈(a,b)使得f(c)=0

【解析】选ABD.对于选项A,可能存在根;对于选项B,必存在但不一定唯一;选项D显然不成立.

二、填空题(每小题5分,共20分)

5.函数f(x)=-的零点个数是　　　　. 

【解析】函数f(x)=-的零点个数,即方程-=0的根的个数,即函数y=的图象与函数y=图象的交点个数;画出两者的图象(如图),可得交点的个数为1.

答案:1

6.已知函数f(x)=2x+x,g(x)=log3x+x,h(x)=x-的零点依次为a,b,c则a,b,c的大小关系为　　　. 

【解析】在同一坐标系下分别画出函数y=2x,y=log3x,y=-的图象,如图,观察它们与y=-x的交点可知a<b<c.

答案:a<b<c

7.(2018·全国卷Ⅰ改编)已知函数f(x)=g(x)=f(x)+x+a,若g(x)存在2个零点,则a的取值范围是　　　　. 

【解析】因为g(x)=f(x)+x+a存在2个零点,即y=f(x)与y=-x-a有两个交点,图象如图所示:

要使得y=-x-a与f(x)有两个交点,则有-a≤1,即a≥-1.

答案:

8.若关于x的方程3x2-5ax+a=0的一个根大于1,另一个根小于1,则实数a的取值范围为　　　　. 

【解析】令f(x)=3x2-5ax+a,根据条件,结合函数图象得f(1)=3-5a+a<0,

解得a>.所以,实数a的取值范围为.

答案:

三、解答题(共30分)

9.(10分)判断下列函数是否存在零点,如果存在,请求出.

(1)y=.(2)y=x2-2x+4.

(3)y=2x-3.(4)y=1-log5x.

【解析】(1)令y=0,得=0,无解.故函数不存在零点.

(2)令y=0,得x2-2x+4=0,Δ=4-4×4=-12<0.故函数不存在零点.

(3)令y=0,得2x-3=0,2x=3,解得x=log23.故函数的零点为log23.

(4)令y=0,得1-log5x=0,log5x=1,解得x=5.故函数的零点为5.

10.(10分)求实数m的取值范围,使关于x的方程x2+2(m-1)x+2m+6=0,

(1)有两个正实数根.

(2)有两个实数根,且一个比2大,一个比2小.

【解析】(1)所以-3<m≤-1.

(2)设f(x)=x2+2(m-1)x+2m+6,则f(2)<0,所以m<-1.

11.(10分)已知函数f(x)=lox+-.

(1)用单调性的定义证明f(x)在定义域上是单调函数.

(2)证明f(x)有零点.

(3)设f(x)的零点x0落在区间内,求正整数n.

【解析】(1)显然f(x)的定义域为(0,+∞),

设0<x1<x2,则x2-x1>0,

x1x2>0⇒-=>0,

lox1>lox2⇒lox1-lox2>0,

因为f(x1)-f(x2)=(lox1-lox2)+>0,所以f(x1)>f(x2),

故f(x)在定义域(0,+∞)上是减函数.

(2)因为f(1)=0+-=-8<0,

f=4+8-=>0,

所以f(1)·f<0.又因为f(x)在区间上连续不断,所以f(x)有零点.

(3)f=lo+-

=log211-3>log28-3=0,

f=lo+5-

=log210-=log25-

=log2-log2<0,

所以ff<0,

所以f(x)的零点在区间内,故n=10.