高中数学人教A版 (2019)必修 第一册5.1 任意角和弧度制一课一练

弧度制

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分,共30分)

1.在半径不相等的两个圆内,1弧度的圆心角(　　)

A.所对弧长相等

B.所对的弦长相等

C.所对弦长等于各自半径

D.所对弧长等于各自半径

【解析】选D.根据角度和弧度的定义,可知无论是角度制还是弧度制,角的大小与圆的半径长短无关,而是和弧长与半径的比值有关,所以由|α|=得,l=|α|r.

2.若θ=-5,则角θ的终边在(　　)

A.第四象限 B.第三象限

C.第二象限 D.第一象限

【解析】选D.2π-5与-5的终边相同,因为2π-5∈,所以2π-5是第一象限角,则-5也是第一象限角.

【补偿训练】

 -所在的象限是(　　)

A.第一象限　　 B.第二象限

C.第三象限  D.第四象限

【解析】选D.-=-2π-,

因为-是第四象限角,所以-是第四象限角.引入弧度制后,与α终边相同的角的集合可以表示为{β|β=α+2kπ,k∈Z}.

3.时钟的分针在1点到3点20分这段时间里转过的弧度为(　　)

A.π  B.-π  C.π  D.-π

【解析】选B.显然分针在1点到3点20分这段时间里,顺时针转过了周,转过的弧度为-×2π=-π.

4.(2021·恩施高一检测)已知扇形OAB的圆心角为8 rad,其面积是4 cm2,则该扇形的周长是(　　)

A.10 cm B.8 cm  C.8 cm D.4 cm

【解析】选A.设扇形的半径为R,则×8×R2=4,故R=1,故弧长为l=8×1=8,故该扇形的周长为2R+8=10.

5.把-π表示成θ+2kπ(k∈Z)的形式,使|θ|最小的θ值是(　　)

A.-π B.-2π C.π  D.-π

【解析】选A.因为-π=-2π+

=2×(-1)π+,所以θ=-π.

6.《九章算术》是我国古代数学的杰出代表作之一.其中《方田》章给出计算弧田面积所用的经验公式为:弧田面积=×(弦×矢+矢2).弧田(如图)由圆弧和其所对弦围成,公式中“弦”指圆弧所对的弦长,“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差.现有圆心角为,半径为4 m的弧田,按照上述经验公式计算所得弧田面积约是(　　)

A.6 m2  B.9 m2  C.12 m2 D.15 m2

【解析】选B.根据题设,弦=2×4sin=4(m),圆心到弦的距离=4cos=2(m),矢=4-2=2(m),故弧田面积=×(弦×矢+矢2)=×(4×2+22)=4+2≈9(m2).

二、填空题(每小题5分,共10分)

7. rad=　　　　度,　　　　rad=-300°. 

【解析】==15°;-300°=-300×=-.

答案:15　-

8.扇形的半径是,圆心角是60°,则该扇形的面积为　　　　. 

【解析】60°=,扇形的面积公式为S扇形=αr2=××()2=π.

答案:π

【补偿训练】

如果一扇形的弧长变为原来的倍,半径变为原来的一半,则该扇形的面积为原扇形面积的　　　　. 

【解析】由于S=lR,若l'=l,R'=R,则S'=l'R'=×l×R=S.

答案:

三、解答题(每小题10分,共20分)

9.已知α=2 000°.

(1)把α写成2kπ+β[k∈Z,β∈(0,2π)]的形式.

(2)求θ,使得θ与α的终边相同,且θ∈(4π,6π).

【解析】(1)α=2 000°=5×360°+200°=10π+π.

(2)θ与α的终边相同,故θ=2kπ+π,k∈Z,又θ∈(4π,6π),所以k=2时,θ=4π+π=.

10.已知扇形面积为25 cm2,当扇形的圆心角为多大时,扇形的周长取最小值?

【解析】设扇形的半径为R,弧长为l,扇形的周长为y,则y=l+2R.由题意,得lR=25,则l=,故y=+2R(R>0).

利用函数单调性的定义,可以证明当0<R≤5时,函数y=+2R是减函数;当R>5时,函数y=+2R是增函数.

所以当R=5时,y取最小值20,此时l=10,α==2,即当扇形的圆心角为2时,扇形的周长取最小值.