人教A版 (2019)必修 第一册5.5 三角恒等变换课时练习

二倍角的正弦、余弦、正切公式

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．cos4－sin4等于(　　)

A．－    B．－    C．    D．

【解析】选D.原式＝(cos2－sin2)(cos2＋sin2)＝cos＝.

2.＝(　　)

A．    B．    C．1    D．

【解析】选A.＝tan (82°－22°)＝tan 60°＝.

3．(2018·全国卷Ⅱ)若sin α＝，则cos 2α＝(　　)

A．    B．    C．－    D．－

【解析】选B.因为sin α＝，所以cos 2α＝1－2sin2α＝1－＝.

4．若＝，则tan 2α＝(　　)

A．    B．－    C．    D．－

【解析】选A.因为＝，整理得tan α＝－3，所以tan 2α＝＝＝.

5．已知tan θ＝－2，则＝(　　)

A．－2    B．1    C．    D．

【解析】选B.因为tanθ＝－2，

所以＝

＝tan2θ＋2tanθ＋1＝(tan θ＋1)2＝1.

【补偿训练】

 －等于(　　)

A．－2cos 5°　　　　　　　　B．2cos 5°

C．－2sin 5°         D．2sin 5°

【解析】选C.原式＝－

＝(cos50°－sin 50°)＝2

＝2sin (45°－50°)＝－2sin 5°.

6．(多选题)下列关于函数f(x)＝1－2sin2的说法正确的是(　　)

A．最小正周期为π

B．最大值为1，最小值为－1

C．函数图象关于直线x＝0对称

D．函数图象关于点对称

【解析】选A、B、D.函数f(x)＝1－2sin2＝cos＝sin 2x，函数的最小正周期T＝π，A正确．

最大值为1，最小值为－1，B正确．

由2x＝kπ＋⇒x＝＋，k∈Z，得函数图象关于直线x＝＋，k∈Z对称，C不正确．

由2x＝kπ⇒x＝，k∈Z，得函数图象关于点，k∈Z对称，D正确．

二、填空题(每小题5分，共10分)

7．求值＝________．

【解析】＝＝tan 60°＝.

答案：

8．已知cos cos ＝，则cos 2θ＝________，sin4θ＋cos4θ＝________．

【解析】因为coscos

＝

＝(cos2θ－sin2θ)＝cos2θ＝.所以cos 2θ＝.

故sin4θ＋cos4θ＝＋＝＋＝.

答案：　

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．(1)已知sin ＝，求sin 2θ的值．

(2)已知cos ＝，求cos 的值．

【解析】(1)sin 2θ＝－cos ＝

－＝2sin2－1＝－.

(2)因为cos＝，所以cos

＝cos ＝，得－sin ＝，

即sin ＝，cos

＝1－2sin2＝.

10．已知sinα＝，α∈，求sin 2α，cos 2α，tan 2α的值．

【解析】因为sin α＝，α∈，

所以cos α＝－＝－＝－，

所以sin2α＝2sin αcos α＝2××＝－，

cos 2α＝cos2α－sin2α＝－＝，

tan 2α＝＝÷＝－.

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．已知tan ＝2，则cos 2α＝(　　)

A．－    B．    C．－    D．

【解析】选D.由tan ＝＝2，解得tan α＝，

则cos 2α＝cos2α－sin2α＝＝＝＝.

2．已知α满足cos2α＝，则cos cos ＝(　　)

A．　　　B．　　　C．－　　　D．－

【解析】选A.因为α满足cos 2α＝，

则cos cos ＝

cos cos

＝cos sin ＝sin

＝cos 2α＝.

3．若α∈，且3cos 2α＝sin ，则sin 2α的值为(　　)

A．－    B．    C．－    D．

【解析】选C.由3cos 2α＝sin ，可得3(cos2α－sin2α)＝(cosα－sin α)，又由α∈，可知cos α－sin α≠0，于是3(cos α＋sin α)＝，所以1＋

2sin αcos α＝，故sin 2α＝－.

4．(多选题)若函数f(x)＝－sin2x＋(x∈R)，则f(x)是(　　)

A．最大值为

B．最小值为－1

C．最小正周期为π的奇函数

D．最小正周期为π的偶函数

【解析】选A、D.f(x)＝－＋＝cos 2x.

所以函数的最大值为，最小值为－，是最小正周期为π的偶函数．

二、填空题(每小题5分，共20分)

5．已知0<α<，若sin α＋cos α＝，则sin 4α＝________．

【解析】方法一：因为0<α<，且sin α＋cos α＝，则0<2α<，(sin α＋

cos α)2＝，得1＋sin 2α＝，所以sin 2α＝，cos 2α＝＝，所以sin4α＝2sin 2αcos 2α＝.

方法二：因为0<α<，则sin α<cos α，且sin α＋cos α＝，则＝，得1＋2sin αcos α＝，sin αcos α＝，解得sin α＝，cos α＝，所以sin 2α＝，cos 2α＝cos2α－sin2α＝，所以sin4α＝2sin 2αcos 2α＝.

答案：

6.－＝________．

【解析】原式＝

＝＝＝4.

答案：4

7．已知sin ＝，则sin 2x的值等于________．

【解析】方法一：因为sin ＝，

所以cos ＝1－2sin2＝1－2×＝，所以sin2x＝

cos ＝.

方法二：由sin ＝，得(sin x－cos x)＝－，所以sin x－cos x＝

－，两边平方得1－sin 2x＝，所以sin 2x＝.

答案：

8．已知1＋sin2β＝3sinα＋cos 2α，则sin2α＋sin2β的取值范围是________．

【解析】由1＋sin2β＝3sinα＋cos 2α，得sin2β＝3sinα＋cos 2α－1＝3sin α－2sin2α，所以0≤3sinα－2sin2α≤1，解得0≤sinα≤，或sin α≥1，所以0≤sin α≤，或sin α＝1.

当sin α＝1时，sin2β＝3sinα－2sin2α＝1，所以sin2α＋sin2β＝2；当0≤sinα≤时，sin2α＋sin2β＝3sinα－sin2α＝－＋，结合二次函数的图象性质，得0≤sin2α＋sin2β≤.综上所述，sin2α＋sin2β的取值范围是{2}∪.

答案：{2}∪

三、解答题(共30分)

9．(10分)已知α是第一象限的角，且cos α＝，求的值．

【解析】＝

＝＝·.

由已知可得sin α＝，

所以原式＝×＝－.

10．(10分)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c.已知cos 2A＋6sin2＝4.求角A的度数．

【解析】因为2sin2＝2cos2＝1＋cosA，

所以4＝cos 2A＋6sin2＝2cos2A－1＋3(1＋cosA)，

化为2cos2A＋3cosA－2＝0，

又|cos A|≤1，解得cos A＝，因为A∈(0，π)，所以A＝.

11．(10分)已知α为锐角，且cos ＝，

求sin 的值．

【解题指南】注意到2α＋＝2－，故把2作为一个整体，先由cos ＝，依据二倍角公式求出2的正、余弦值，再据两角差的正弦公式求出sin 的值．

【解析】因为cos ＝，且α为锐角，

所以sin ＝＝.

所以sin2＝2sin cos ＝；

cos 2＝2cos2－1＝.

所以sin＝sin

＝sin 2cos －cos 2sin ＝×－×＝.

【总结】本题若将cos ＝依据两角和的余弦公式展开，然后结合cos2α＋sin2α＝1，解出α的正、余弦值，其次求2α与的正、余弦，最后依据两角和的正弦公式也可以求sin的值，由于没有应用整体化归的思想，则解题过程较为烦琐，故不高效，所以解决此类问题的策略，就是将所求的三角函数值化归成题设条件中“整角”的倍角的三角函数值解决．