高中数学5.5 三角恒等变换课后测评

正弦函数、余弦函数的性质(一)

(30分钟　60分)

一、选择题(每小题5分，共30分)

1．函数f(x)＝sin 的最小正周期为(　　)

A．    B．π    C．2π    D．4π

【解析】选D.函数f(x)＝sin 的最小正周期为T＝＝4π.

2．(多选题)下列函数不是奇函数的是(　　)

A．y＝      B．y＝|sin x|

C．y＝cos x      D．y＝ex－e－x

【解析】选A、B、C.对于选项D，f(x)＝ex－e－x的定义域为R，f(－x)＝e－x－ex＝－f(x)，故y＝ex－e－x为奇函数．而y＝的定义域为{x|x≥0}，不具有对称性，故y＝为非奇非偶函数．y＝|sin x|和y＝cos x为偶函数．

【补偿训练】

 下列函数是以π为周期的函数是(　　)

A．y＝sin x　　　　　　B．y＝sin x＋2

C．y＝cos 2x＋2      D．y＝cos 3x－1

【解析】选C.y＝sin x及y＝sin x＋2的周期为2π，

y＝cos 2x＋2的周期为π，y＝cos 3x－1的周期为.

3．若函数y＝cos (ωx＋φ)是奇函数，则(　　)

A．ω＝0        B．φ＝kπ(k∈Z)

C．ω＝kπ(k∈Z)     D．φ＝kπ＋(k∈Z)

【解析】选D.由函数y＝cos (ωx＋φ)是奇函数，可知y＝cos (ωx＋φ)＝sin ωx或y＝cos (ωx＋φ)＝－sin ωx，由诱导公式，得φ＝kπ＋(k∈Z).

4．定义在R上的函数f(x)周期为π，且是奇函数，f＝1，则f的值为(　　)

A．1      B．－1    C．0    D．2

【解析】选B.由题意得f＝f

＝f＝－f＝－1.

5．设函数f(x)＝sin ，则f(x)是(　　)

A．最小正周期为π的奇函数

B．最小正周期为π的偶函数

C．最小正周期为的奇函数

D．最小正周期为的偶函数

【解析】选B.因为f(x)＝sin ＝－sin ＝－cos 2x，所以该函数的最小正周期为π，且为偶函数．

6．设f(x)是定义域为R，最小正周期为的函数，若f(x)＝则f的值等于(　　)

A．1    B．    C．0    D．－

【解析】选B.f＝f

＝f＝sin ＝.

二、填空题(每小题5分，共10分)

7．函数f(x)是周期函数，10是f(x)的一个周期，且f(2)＝，则f(22)＝________．

【解析】f(22)＝f(22－20)＝f(2)＝.

答案：

8．已知f(x)＝ax＋b sin3x＋3且f(－3)＝7，则f(3)＝________．

【解析】f(－3)＝－3a－b sin33＋3＝7.

所以3a＋b sin33＝－4，

所以f(3)＝3a＋b sin33＋3＝－4＋3＝－1.

答案：－1

【补偿训练】

已知函数f(x)＝ax＋b sin x＋1，若f(2 018)＝7，则f(－2 018)＝________．

【解析】由f(2 018)＝2 018a＋b sin 2 018＋1＝7，

得2 018a＋b sin 2 018＝6，

所以f(－2 018)＝－2 018a－b sin 2 018＋1

＝－(2 018a＋b sin 2 018)＋1＝－6＋1＝－5.

答案：－5

三、解答题(每小题10分，共20分)

9．作出函数f(x)＝的图象，并求f(x)的最小正周期．

【解析】将f(x)＝化为f(x)＝|sinx|，

因为f(x)＝|sin x|，

所以作出f(x)＝的图象如图所示．

由图象可知f(x)的最小正周期为π.

10．判断函数f(x)＝cos(2π－x)－x3sinx的奇偶性．

【解析】因为f(x)＝cos (2π－x)－x3sin x＝cos x－x3sin x，其定义域为R，f(－x)＝cos (－x)－(－x)3sin (－x)＝cos x－x3sin x＝f(x)，

所以f(x)为偶函数．

(35分钟　70分)

一、选择题(每小题5分，共20分)

1．函数y＝sin 是(　　)

A．奇函数        B．偶函数

C．非奇非偶函数      D．既是奇函数又是偶函数

【解析】选B.y＝sin

＝sin

＝－sin ＝－cos 2 010x，所以为偶函数．

2．已知函数f(x)＝sin 是奇函数，则φ的值可以是(　　)

A．0    B．－    C．    D．π

【解析】选B.方法一：f(x)＝sin 为奇函数，则只需＋φ＝kπ，k∈Z，从而φ＝kπ－，k∈Z.

显然当k＝0时，φ＝－满足题意．

方法二：因为f(x)是奇函数，所以f(0)＝0，

即sin ＝0，所以φ＋＝kπ，k∈Z，

即φ＝kπ－，k∈Z.令k＝0，则φ＝－.

3．设函数f(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)是以π为周期的周期函数，当≤x≤时，f(x)＝sin x＋a，则f＝(　　)

A．    B．－    C．    D．－

【解析】选B.由f(x)是奇函数可得f＝－f，由f(x)是以π为周期的周期函数可得f＝f，故f＝f＝0.

又f＝sin ＋a＝a＋1，故a＝－1，

所以f＝f＝sin －1＝－.

4．函数y＝cos (k>0)的最小正周期不大于2，则正整数k的最小值应是(　　)

A．10    B．11    C．12    D．13

【解析】选D.因为T＝＝≤2，

所以k≥4π，又k∈Z，

所以正整数k的最小值为13.

二、填空题(每小题5分，共20分)

5．函数y＝cos 的最小正周期是________．

【解析】y＝cos ＝cos

＝cos ＝sin x.

所以最小正周期为T＝＝4.

答案：4

6．已知f(x)＝cos x，则f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝______．

【解析】因为f(1)＝cos ＝，

f(2)＝cos ＝－，f(3)＝cos π＝－1，

f(4)＝cos ＝－，f(5)＝cos ＝，

f(6)＝cos 2π＝1，

所以f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＋f(6)＝0，

又f(x)的周期为T＝＝6，

所以f(1)＋f(2)＋…＋f(2 015)＝335×0＋f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)＋f(5)＝－f(6)＝－1.

答案：－1

7．设定义在R上的函数f(x)满足f(x)·f(x＋2)＝13.若f(1)＝2，则f(99)＝________．

【解析】因为f(x)·f(x＋2)＝13，

所以f(x＋2)＝，f(x＋4)＝＝f(x)，

所以f(x)是以4为周期的函数．

所以f(99)＝f(24×4＋3)＝f(3)＝＝.

答案：

8．设函数f(x)＝3sin ，ω>0，x∈(－∞，＋∞)，且以为最小正周期．若f＝，则sin α的值为________．

【解析】因为f(x)的最小正周期为，ω>0，

所以ω＝＝4.所以f(x)＝3sin .

由f＝3sin ＝3cos α＝，

所以cos α＝.所以sin α＝±＝±.

答案：±

三、解答题(共30分)

9．(10分)已知函数y＝sinx＋|sin x|.

(1)画出函数的简图．

(2)这个函数是周期函数吗？如果是，求出它的最小正周期．

【解析】(1)y＝sin x＋|sin x|

＝

函数图象如图所示．

(2)由图象知该函数是周期函数，其图象每隔2π重复一次，则函数的周期是2π.

10．(10分)已知f(x)是以π为周期的偶函数，且x∈时，f(x)＝1－sin x，求当x∈时，f(x)的解析式．

【解析】当x∈时，3π－x∈，

因为x∈时，f(x)＝1－sin x，

所以f(3π－x)＝1－sin(3π－x)＝1－sin x.

又f(x)是以π为周期的偶函数，

所以f(3π－x)＝f(－x)＝f(x)，

所以f(x)的解析式为f(x)＝1－sin x，x∈.

11．(10分)设函数f(x)＝a sin 和函数g(x)＝b cos (2kx－)(a>0，b>0，k>0)，若它们的最小正周期之和为，且f＝g，f＝－g－1，求这两个函数的解析式．

【解析】因为f(x)和g(x)的最小正周期之和为π，

所以＋＝，解得k＝2.

因为f＝g，

所以a sin ＝b cos ，

即a·sin ＝b·cos ，

所以a＝b，即a＝b.①

又f＝－g－1，

则有a·sin ＝－b·cos －1，

即a＝b－1.②

由①②得a＝b＝1，

所以f(x)＝sin ，g(x)＝cos .